Tilastollinen Mallinnus Piilotetuilla Muuttujilla
Tilastollisia malleja on käytetty varsin monimutkaisten todellisten ilmiöiden tutkimiseen. Jos haluamme rakentaa kohtuullisen mukavia tilastollisia malleja, jotka voisivat selittää näiden todellisten ilmiöiden monimutkaiset piirteet, meidän on usein kerättävä suuri määrä tietoa ja tämä prosessi voi olla aikaa vievä, kallis tai yksinkertaisesti mahdoton toteuttaa. Voimme voittaa nämä rajoitukset sisällyttämällä malleihimme piilotettuja satunnaismuuttujia, jotka vastaavat mittaamattomia muuttujia. Tässä opinnäytetyössä keskitymme kahteen tärkeään esimerkkiin piilomuuttujamalleista: fylogeneettiseen malliin ja tekijäanalyysimalliin.
Fylogenetiikka on biologian ala, joka tutkii biologisten kokonaisuuksien välisiä evoluutiosuhteita. Biologisista tiedoista, kuten DNA-sekvensseistä, voimme poimia hyödyllistä tietoa, jonka avulla voidaan päätellä evoluutiosuhteita, jotka esitetään verkostoina. Fylogeneettisten mallien piilomuuttujat vastaavat esi-isiä, joiden DNA-näytteitä ei voida mitata.
Fylogenetiikassa keskitymme tutkimuksessamme upotus- ja verkon erottuvuusongelmiin. Karkeasti sanottuna upotusongelma kysyy, kuinka rajoittavaa on mallintaa evoluutioprosesseja, jotka pitävät aikaa jatkuvana muuttujana ja olettavat, että korvaustapahtumat tapahtuvat aina samalla nopeudella. Toisaalta verkon erottuvuusongelmien tutkimisen tavoitteena on erottaa kahdesta fylogeneettisesta verkkomallista syntyvä todennäköisyysjakaumien joukko.
Upotusongelmaa varten tarjoamme joihinkin fylogeneettisiin malleihin kuuluvien Markov-matriisien upottavuuskriteerit, jotka sisältävät yleisimmät kirjallisuudessa tutkitut mallit. Näiden tulosten avulla voimme arvioida, kuinka suuri upotettavien Markov-matriisien joukko on mallien Markov-matriisien joukossa. Lisäksi tarjoamme joitain ehtoja, joilla voimme erottaa tietyt fylogeneettiset verkkomallit.
Tekijäanalyysimallit pyrkivät vähentämään havainnoitavien muuttujien määrää, joka on usein melko suuri, sillä taustalla olevia piilotekijöitä on vähemmän ja joiden uskotaan selittävän paremmin havaittavien muuttujien välistä kovarianssia. Pudottamalla klassisen tekijäanalyysimallin Gaussianity-oletuksen, otamme käyttöön korkeamman kertaluvun tekijäanalyysimallin, joka ottaa huomioon korkeamman kertaluvun momentin tai kumulatiiviset tensorit. Lisäksi laskemme tämän mallin ulottuvuuden, jota voidaan käyttää mallin monimutkaisuuden mittaamiseen.
Yhteystiedot:
| Sähköposti | muhammad.ardiyansyah@aalto.fi |
| Puhelin | 0504552250 |
Perustieteiden korkeakoulun väitöskirjat: https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/52
Väitöskirjan nimi: Interactions of Algebra, Statistics and Optimization
Tohtoriopiskelija: Olga Kuznetsova
Vastaväittäjä: professori Serkan Hoşten, San Francisco State University, Yhdysvallat
Kustos: apulaisprofessori Kaie Kubjas, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Tilastollisten ja algebrallisten optimointiongelmien rakenne ja monimutkaisuus
Aloitetaan kysymyksestä, miten ennustetaan sairaalahoitojaksojen kesto eri osastoilla kuluneen vuoden havaintojen perusteella? Samanlaisia haasteita esiintyy sairaanhoidon aikataulutuksessa, liikenteen ohjauksessa ja lentoyhtiöiden hinnoittelussa. Optimoinnin teoria tarjoaa työkalut tällaisten haasteiden ratkaisemiseen. Optimoinnin tarkoitus on tunnistaa paras ratkaisu useiden vaihtoehtojen joukosta.
Väitöskirjassa tutkitaan optimointiongelmien rakennetta, optimaalisen ratkaisun olemassaolon ehtoja ja optimin laskemisen monimutkaisuutta. Keskitymme Gaussin ja log-konkaavin suurimman uskottavuuden estimointiin (engl. Maximum Likelihood Estimation – MLE) sekä polynomirajoitteiseen optimointiin.
Teoreettisten ominaisuuksiensa sekä biologian ja talouden prosessien edustuskykynsä takia Gaussin satunnaismuuttujat ovat yleisluonteisia tilastotieteessä ja koneoppimisessa. Tutkimuksessamme sovelletaan verkkoja mallintamaan satunnaismuuttujien välisiä suhteita, esim. sairaalan eri osastojen samankaltaisuutta. Tutkimuksessa kehitettiin GraphicalModelsMLE-paketti Macaulay2-tietokonealgebrajärjestelmälle tutkimaan Gaussin satunnaismuuttujien verkkomalleja ja ehdotetaan jatkotutkimusteemoja.
Satunnaismuuttujat, joilla on log-konkaavit tiheysfunktiot, ovat Gaussin satunnaismuuttujien yleistys ja ovat herättäneet huomiota viime vuosina. Osoitamme, että optimaalinen ratkaisu on usein transsendenttinen. Tämän seurauksena nykyaikaiset tietokoneet voivat ratkaista tällaiset ongelmat vain epätarkasti. Tutkimme myös log-konkaavin MLE:n ominaisuuksia lisäämällä suuntaamattomien verkkojen asettamia rajoituksia.
Polynomirajoitetun optimoinnin tavoitteena on löytää polynomiyhtälöryhmän täyttävien ratkaisuvaihtoehtojen joukosta optimaalinen ratkaisu. Tällaisia optimointiongelmia tilastotieteessä ovat diskreettien satunnaismuuttujien MLE ja Gaussin satunnaismuuttujien keskiarvojen MLE. Keskimääräisen sairaalahoitojakson keston arvioiminen on esimerkki jälkimmäisestä. Edellytämme että kriittiset pisteet, eli optimointiongelman ratkaisuehdokkaat, täyttävät eksplisiittisen kaavan. Tämän kaavan tarkka muoto määräytyy datan perusteella. Osoitamme, että kriittisiä pisteitä on rajallinen määrä aina, kun data on riittävän yleistä. Kriittisten pisteiden lukumäärä on arvokas indikaattori optimointiongelman monimutkaisuudesta, koska usein on laskettava kaikki kriittiset pisteet optimaalisen ratkaisun tunnistamiseksi.
Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 10 päivää ennen väitöstä):
https://aaltodoc.aalto.fi/doc_public/eonly/riiputus/
Perehdytyskummi on Aallossa uuden työntekijän kollega, joka auttaa häntä pääsemään sisälle työyhteisöön. Ensimmäiset kesäjuhlat uusille työntekijöille ja perehdytyskummeille järjestettiin 6. kesäkuuta Trap Factoryssa. Kaikki vuoden 2022 uudet työntekijät ja heidän kumminsa oli kutsuttu, ja tilaisuuteen osallistui noin 50 henkilöä. Osallistujat jakoivat kokemuksiaan vapaamuotoisten puheenvuorojen ja palauteasemien avulla.
Palautteen mukaan perehdytysohjelma voi auttaa uutta työntekijää saamaan Aallossa ystäviä ensimmäisten kuukausien aikana. Joillekin uusille työntekijöille esimerkiksi Suomen sää saattaa olla haastava kokemus. Rakennetun ympäristön laitoksen tutkijatohtorin Ozias Hounkpatinin perehdytyskummina oli staff scientist Mika Jalava.
"Ulkona oli hyvin kylmää, kun saavuin Suomeen, mutta tunsin oloni sisäisesti lämpimäksi", Hounkpatin kertoo.
Kielikeskuksen lehtori Anya Siddigin mukaan perehdytysohjelma voi auttaa uutta työntekijää tuntemaan, että on osa organisaatiota. Johtamisen tukipalveluissa työskentelevä Sustainability Science Days -koordinaattori Sophia Hagolani-Albov piti perehdytyskummiaan "ehkä parhaana perehdytyskummina koskaan", auttaen häntä tutustumaan Aallon joskus hämmentävään mutta samalla mahtavaan organisaatiokulttuuriin. Ja Minna-Kaarina Forssén, Unite!:n johtaja, tunsi perehdytyksen avulla kuuluvansa tiimiin.
Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen väitöskirjatutkija Pattanun Chanpiwat tuli Aaltoon Thaimaasta. Hänen perehdytyskumminsa oli Muhammad Ardiyansyah, väitöskirjatutkija samalta laitokselta.
”Minulla oli Zoom-kokous ennen Aaltoon tuloa. Kaikki sujui loistavasti. Sain jopa apua lastemme päivähoidon järjestämisessä. Perehdytyskummini lisäksi myös HR:n Johanna Glader oli erittäin avulias.”
Joskus uudesta työntekijästä ja perehdytyskummista tulee ystäviä. Näin taisi käydä Perustieteiden korkeakoulussa, jossa Nicoletta Michieletto toivotti Juhani Lehtisen tervetulleeksi koulun omaan tapahtumatiimiin.
”Me sovimme täydellisesti yhteen, minä olen kontrollifriikki ja Giovanni - kuten Juhania kutsun - on meistä se rennompi tyyppi”, Michioletto kertoo.
Tapahtuman järjestivät HRD-asiantuntija Mari Kaarni, joka vastaa perehdytysohjelmasta, Aalto Networking Platformin projektipäällikkö Heidi Henrickson ja alustan viestintä- ja tapahtumakoordinaattori Hanna-Mari Ylinen. Kuvat juttuun otti uusi työntekijä, Perustieteiden korkeakoulun viestintäharjoittelija Oona Hilli, ja sen kirjoitti hänen perehdytyskumminsa Tiina Aulanko-Jokirinne. Kaikki kerätty palaute otetaan huomioon ohjelman kehittämisessä.
Väitöskirjan nimi: Modelling and solution methods for renewables-driven energy markets
Tohtoriopiskelija: Nikita Belyak
Vastaväittäjä: Prof. Carlos Henggeler Antunes,Universidade de Coimbra, Portugali
Kustos: Prof. Fabricio Oliveira, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 10 päivää ennen väitöstä): https://aaltodoc.aalto.fi/doc_public/eonly/riiputus/
Perustieteiden korkeakoulun väitöskirjat: https://aaltodoc.aalto.fi/handle/123456789/52
Aalto-yliopiston poikkitieteellinen ”Kristallikukkia peilisaleissa: Matematiikka kohtaa taiteen ja arkkitehtuurin” -kurssi huipentuu tänään tiedekeskus Heurekassa avattavaan Kurotuksia – Higher Powers -loppunäyttelyyn. Se juhlistaa kurssin kymmenvuotista taivalta monialaisen vuorovaikutuksen lisäämiseksi, ja on samalla kurssin toinen näyttely Heurekassa.
”Taittelu, origamit, kirigamit, leikkaukset, rypistely ja muut menetelmät, jotka mahdollistavat tasomaisen materiaalin muuntumisen kolmiulotteiseen tilaan, on vahvasti mukana kurssilla ja myös näyttelyssä. Olemme halunneet näyttelyssä tuoda myös esiin harmonisia värejä, kuten vuoden tekstiilitaiteilija Laura Isoniemen johdolla tehdyn harmaan sateenkaaren”, kertoo kurssista vastaava matematiikan vanhempi yliopistonlehtori Kirsi Peltonen.
Kurssin opiskelijat edustavat Aallon eri kouluja kandivaiheesta jatko-opiskelijoihin, ja mukana on opiskelijoita myös Helsingin yliopistosta. He ovat toteuttaneet näyttelyn, joka sijaitsee Heurekassa miltei katonrajassa, noin kolmen metrin korkeudessa.
”Näyttelyssä leikitellään geometrioilla, symmetrioilla ja orgaanisilla muodoilla. Edellinen Kristallikukkia-näyttely oli Heurekassa kuusi vuotta sitten ja aiheutti katsojissa kauneuden huokauksia. Päätimme tuolloin juuri kauneuden vuoksi jatkaa näyttelyä vielä muutaman kuukauden ylimääräistä”, Heurekan johtaja Mikko Myllykoski sanoo.
Myllykoskea myötäilee Heurekassa työskentelevä Eija Myötyri, jonka mukaan matematiikka on taustalla oleva rakenne kaikelle olevalle.
”Matematiikka on esimerkiksi muotoja, sitä voi visualisoida, ja se on hyvin kaunista katsottavaa.”
Limasieniä ja haurautta
Näyttelyssä on yhteensä kahdeksan teosta. Kahden automaatin balladi on veistos, joka sisältää kaksi limasienen mallisimulaatiota. Sen suunnittelivat ja toteuttivat Poonam Chawda, Petri Juntunen, Emma Kamutta ja Jonas Tjepkema. Inspiraation teokseensa he saivat Physarum polycephalumista -limasienestä, jonka avulla on mallinnettu myös Tokion rautatieverkostoa.
Kamuttan mukaan tiimi oli kiinnostunut näiden kahden olion välisestä vuorovaikutuksesta ikiliikkujan kaltaisessa ikuisen liikkeen tilassa.
”Kahden automaatin balladissa on kaksi outoa olentoa, joista ei tiedä, ovatko ne ystäviä vai vihollisia, surullisia vai iloisia”, sanoo Tjepkema, jonka mielestä kurssin tärkein anti oli tiimityö. Hänen mukaansa veistoksen tuotanto-osuus tuntui ajoittain siltä, kuin olisi työskennellyt liukuhihnalla tehtaassa, yhdessä muiden tiimiläisten kanssa.
”Kurssilla oli kiinnostavaa oppia keskustelemaan eri alojen opiskelijoiden kanssa ymmärrettävällä tavalla”, sanoo Kamutta, joka osallistui kurssille Helsingin yliopiston opiskelijana. Hän löysi kurssin myötä kuitenkin Aallosta kesätyön ja samalla sekä aiheen että ohjaajan lopputyölleen.
Limasienien inspiroimana syntyi niin ikään teos nimeltä Olio, jonka suunnittelivat ja toteuttivat Hitomi Asaka, Nina Jokiaho, Jason Selvarajan ja Henrik Kankaanpää.
”Olio rakentuu kauhun, toiseuden ja määrittelemättömyyden varaan. Pohdimme siinä outoutta, vierautta ja ällöttävyyttä – hajottajaeliöt kun helposti liitetään lahoamiseen, hajoamiseen ja kuolemaan”, sanoo Jokiaho, joka tarkasteli kurssin aikana monialaista yhteistyötä kuvataidekasvatuksen näkökulmasta.
Teoksista Meren verho taas on saanut inspiraationsa siitä, miltä vedenpinta näyttää merenpohjasta käsin katsottuna. Opiskelijaryhmässä olivat mukana Helena Hartman, Seyed Alireza Fatemi Jahromi, Meri Aho, Xiao Mou ja Irmuun Tuguldur.
”Materiaalien valitseminen ja niiden kanssa työskentely oli minulle uutta. Olen suorittanut matematiikan ja taiteen yhdistävän sivuaineen kokonaisuudessaan, ja minulle tekniikan alan opiskelijana se oli eräänlainen portti taiteisiin”, sanoo Seyed Alireza Fatemi Jahromi.
”Hain Aaltoon opiskelemaan matematiikkaa juuri siksi, että voin samalla suorittaa myös taiteen opintoja. Kurssin aikana opin luottamaan luovaan prosessiin ja ajattelemaan uudella tavalla: menimme esimerkiksi keskustakirjasto Oodiin ompelemaan ilman varsinaista suunnitelmaa. Se oli hyvin inspiroivaa”, Aho kertoo.
Katso Susanna Oksasen kuvareportaasi Curves through folding -teoksen synnystä. Ryhmään kuuluivat Oksasen lisäksi Joel Knippare, Okko Riekki ja Venja Salminiitty. Oksanen on tehnyt myös englanninkielisen blogipostauksen teoksen eri vaiheista.
Kurotuksia – Higher Powers -näyttely 6. kesäkuuta – 31. elokuuta Heurekan aukioloaikoina.
Todennäköisyydet riskien ja epävarmuuksien hallinnassa
Vastaväittäjä: professori Ali Abbas,University of Southern California, Yhdysvallat
Kustos: professori Ahti Salo, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu, matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Erityisesti kriisi- ja konfliktitilanteissa päätöksiä joudutaan väistämättä tekemään epävarmuuden vallitessa. Julkishallinnossa ja yritystoiminnassa suuriin päätöksiin liittyy epävarmuuden lisäksi myös paljon kustannuksia, työtä ja kauaskantoisia seurauksia. Siksi hyvän päätösvaihtoehdon löytäminen, tai ainakin huonoimpien välttäminen, on ensiarvoisen tärkeää.
Päätöksentekoa epävarmuuden vallitessa tukevien menetelmien perusideat ovat pysyneet samana jo pitkään. Jos tavoitteiden toteutumista voidaan kuvata yksiselitteisesti esimerkiksi rahallisella hyödyllä ja päätösvaihtoehtojen epävarmuuksia todennäköisyysjakaumilla, paras päätösvaihtoehto voidaan löytää käyttäen lukiomatematiikkaa. Ongelmallista on kuitenkin se, että todellisuudessa sekä hyödyn että todennäköisyyksien määrittäminen on usein vaikeaa. Monimutkaista maailmaa kuvattaessa huomioitavien yksityiskohtien suuren määrän takia tarvitaankin monimutkaisempia laskennallisia malleja. Väitöskirjassa on kehitetty menetelmiä ihmisten toimintaan ja tulevaisuuden kehityskulkuihin liittyvien epävarmuuksien käsittelyyn.
Mallinnettaessa useiden ihmisten päätöksiä konfliktiasetelmassa, kuten sodassa, käytetään hyväksi peliteoriaa. Vastakkainasettelullinen riskianalyysi, jota väitöskirjassa on kehitetty, soveltaa peliteorian ratkaisukonsepteja ilman vahvoja oletuksia eri osapuolien käytettävissä olevasta tiedosta ja toimintalogiikasta. Tämä mahdollistaa tilanteen epävarmuuksien ja siten todennäköisyyksien arvioimisen käytettävissä olevan rajallisen tiedon pohjalta.
Tulevaisuuden epävarmuuksia väitöskirjassa käsitellään todennäköisyyksiin perustuvan skenaarioanalyysin avulla. Skenaariotodennäköisyydet arvioidaan käyttäen todennäköisyyspohjaista ristivaikutusanalyysiä. Tarkasteltaessa monimutkaisia ilmiöitä, kuten teknologian kehittymistä, tärkeiden epävarmuustekijöiden määrä kasvaa suureksi. Eri epävarmuustekijät, kuten esimerkiksi uuden teknologian hinta, tekninen suorituskyky ja käytön laajuus, eivät myöskään ole toisistaan riippumattomia. Jos uusi teknologia on nopeampi ja halvempi kuin vanhemmat kilpailijat, se yleistyy nopeasti. Tällaisten keskinäisriippuvuuksien huomioimista varten väitöskirjassa on kehitetty ristivaikutusanalyysimenetelmiä, joilla epävarmuustekijöiden todennäköisyydet ja pareittaiset riippuvuudet voidaan huomioida asiantuntijatietoon tukeutuen. Laskemalla riskit ja skenaariotodennäköisyydet voidaan siten tukea päätöksentekoa.
Aalto-yliopiston apulaisprofessori Eveliina Peltola tarttuu uudessa tutkimusprojektissaan matemaattisen fysiikan haasteisiin. Peltolan tutkimus on saanut innoituksensa sellaisten matemaattisten mallien tutkimuksesta, jotka kuvaavat erittäin suuria systeemejä – esimerkiksi hiukkasten kulkeutumista aineessa, tartuntatautien leviämistä väestössä, tai tietoverkkojen välisiä yhteyksiä.
“Malleja, joiden tarkastelun kohteena on valtava määrä atomeja tai kaikki maailman ihmiset, pitää tarkastella kokonaisuutena ja niiden ominaisuuksia pitää pystyä kuvailemaan erilaisissa skaaloissa”, Peltola kuvaa haastetta.
Tutkimusprojekti on saanut lähes 1,4 miljoonan euron ERC Starting grant -rahoituksen Euroopan tiedeneuvostolta. Tavoitteena on luoda yhteyksiä matematiikan eri osa-alueiden välille ja tuoda uusia työkaluja satunnaisgeometrian ja matemaattisen fysiikan mallien tutkimukseen.
Matemaattisen fysiikan alalla matematiikan työkalut rakentavat yhtäältä perustaa fysiikan teorioille ja toisaalta luovat uusia matematiikan osa-alueita, joita voidaan soveltaa myös klassisissa matematiikan kysymyksissä.
“Fyysikoilla on luonnonilmiöille erilaisia malleja, joita he ovat testanneet kokeellisesti tai havainnollisesti. Matematiikka puolestaan luo aukottoman perustan mallien soveltuvuudelle haluttuihin tilanteisiin”, Peltola kuvaa.
Peltolan erityisenä kiinnostuksen kohteena ovat symmetriat satunnaisgeometrian malleissa. Symmetriaa voidaan konkreettisesti havaita esimerkiksi silloin, kun aineessa esiintyvää atomirykelmää kierretään tai skaalataan. Jos tällaisessa muunnoksessa tarkasteltava systeemi itsessään muuttuu, mutta sen makroskooppiset tilastolliset ominaisuudet säilyvät, on kyse tilastollisesta – tai satunnaisesta – symmetriasta.
“Symmetriat auttavat luomaan matematiikkaan rakennetta, jonka avulla voidaan tarkastella muita ominaisuuksia. Toisin sanoen symmetrioiden tärkeys tulee ensisijaisesti siitä, että ne antavat matemaatikoille lisää työkaluja”, Peltola kuvaa.
Peltolan tarkastelun kohteena ovat erityisesti Schramm-Loewner-evoluutiokäyrät ja niiden yhteys konformikenttäteoriaan ja satunnaisgeometriaan. Projektin nimi on Interplay of Structures in Conformal and Universal Random Geometry (ISCoURaGe). Viisivuotinen projekti käynnistyi alkuvuodesta.
Sivusta vastaa: webmaster-math [at] list [dot] aalto [dot] fi