MattieT-tehtäväportaali

Sisällysluettelo

---

1. mplBas000

   mplBas000
   

   Teknillinen korkeakoulu Alestalo
   Matematiikka

   Peruskurssien Maple-käskyjä

   Tämä tiivistelmä sisältää tärkeimmät Maple-käskyt version 17 mukaan. (Muutettu linalg-tyyppiset LinearAlgebra-tyyppisiksi (Apiola) 10.3.14)

   • Valitse ponnahdusikkunasta "Start with Blank Worksheet".

   • Käsky suoritetaan painamalla Return. Käskyn lopussa voi olla kaksoispiste tai ei mitään. Kaksoispisteeseen päättyvän käskyn tulosta ei näytetä. Samalla rivillä voi olla useita käskyjä, jotka täytyy erottaa toisistaan välimerkillä : tai ; Pitkä käsky kannattaa jakaa useille riveille painamalla Shift + Return.

   • Kaikista käskyistä saa lisätietoja kirjoittamalla ?käskynnimi ja painamalla Return. Erityisesti kannattaa katsoa esimerkkejä.

   • Edellisen käskyn tulokseen voi viitata symbolilla %, toiseksi edelliseen symbolilla %%. Aikaisempien käskyjen tuloksiin voi viitata niiden numeroiden perusteella: Valitse Insert \(\to\) Label tai Ctrl + l.

   • Vakioille voidaan antaa arvoja esim. muodossa alpha:= 1.5; Huomaa, että ohjelma ymmärtää vain desimaalipisteen.

   • Tavalliset laskutoimitukset kirjoitetaan samaan tapaan kuin paperilla, \(x^2\) muodossa x^2. Nuolinäppäimellä \(\to\) pääsee pois yläindeksistä.

   • Myös pidemmille lausekkeille tai funktioille voidaan antaa uusia nimiä: esim. p:= 2*x^2-3*x määrittelee p:n lausekkeena, mutta poly:= x -\(>\) 2*x^2-3*x määrittelee poly:n funktiona. Funktiosta saadaan helposti lauseke, mutta vastakkainen suunta on hankalampi: Maplen kannalta p ja poly(x) ovat sama asia, mutta funktiota poly voi käyttää paljon monipuolisemmin.

   • Muuttujan arvon voi poistaa kirjoittamalla esim. alpha:= ’alpha’; Kaikki määritelmät voi poistaa restart-käskyllä, mutta teksti jää näkyviin ja käskyt voi antaa (esim. korjattuina) uudelleen.

   • Laskutoimituksia lukuunottamatta muut käskyt toimivat kuten funktiot, eli niitä käytetään tyyliin funktionnimi(muuttuja); tai mahdollisesti tarkenteiden kanssa muodossa funktionnimi(muuttuja, tarkenteita); alkuhaparoinnin jälkeen ei saa enää tehdä sellaisia virheitä kuin sin x, sinx, exp^x, exp^(x). Oikeat muodot ovat siis sin(x), exp(x).

   • Jos käsky kirjoitetaan heittomerkkien sisään, saadaan sen symbolinen muoto: esim. ’sin(Pi)’=sin(Pi);

   • Ohjelman toimintaan ei vaikuta se, missä järjestyksessä käskyt ovat työarkilla, vaan se, missä järjestyksessä käskyt on suoritettu. Selvyyden vuoksi kannattaa toki edetä ylhäältä alas.

   • Työarkin lataaminen (FILE-valikon avulla) Mapleen ei aiheuta siinä olevien komentojen suorittumista. Komennot on joko “napsuteltava” ENTER:llä tai suoritettava EDIT-valikon “Execute worksheet”-valinnalla, jos näin halutaan.

   • abs

     Itseisarvo tai moduli: abs(-3);

   • arcos, arcsin, arctan, arccot

     Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot: arctan(1);

   • argument

     Kompleksiluvun argumentti (vaihekulma): argument(I);

   • cos, sin, tan, cot

     Trigonometriset funktiot: sin(Pi/6);

   • exp

     Eksponenttifunktio: exp(2*x); Huom: Neperin luku on exp(1) eikä sitä voi kirjoittaa millään muulla tavalla.

   • I

     Imaginaariyksikkö: z:= 1+2*I;

   • ln

     tai log Luonnollinen logaritmi (exp-funktion käänteisfunktio)

   • Pi

     Ympyrän kehän pituuden suhde halkaisijaan \(\approx 3,\! 14\). Symboli pi tarkoittaa kreikkalaista kirjainta \(\pi\).

   • Re, Im

     Kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosa: Re(1-I);
     Huom: Helpoin tapa muuntaa kompleksiluku tason pisteeksi (= lista): [Re,Im](2+3*I);

   • sqrt

     Neliöjuuri: sqrt(1+x^2);

   • symbolien indeksointi: a[1]:= 6; a[2]:= 9;

   • add

     Summaa jonon termit: add(n^2, n=1..100); Ylärajan oltava numeerinen. Vrt. sum. (sum osaa myös symboliselle ylärajalle, jos mahdollista.)

   • alias

     Annetaan oma (lyhyt) “lempinimi”: Esim: alias(rref=ReducedRowEchelonForm)

   • assign

     Määrittelee muuttujien arvot annetuista yhtälöistä:
     fsolve(x^3+x+1=0,x); assign(%); (“vaarallinen, mutta helppo”)

   • CrossProduct

     Vektoreiden ristitulo: CrossProduct(a,b);

   • D

     Derivaatta funktiolle: f:= x -\(>\) x^2; D(f);

   • Determinant

     Neliömatriisin determinantti: Determinant(A);

   • diff

     Lausekkeen derivaatta:
     diff(p,x); diff(p,x,x); diff(p, x$5);

   • display

     Grafiikkojen yhdistäminen:
     A:= plot(sin(x),x=0..Pi):
     B:= implicitplot(sin(x+cos(y))=x, x=0..1, y=0..Pi):
     display(A,B);

   • DotProduct

     Vektoreiden pistetulo: DotProduct(a,b);

   • eigenvals

     Matriisin ominaisarvot: eigenvals(A);

   • Eigenvectors

     Matriisin ominaisarvot kertalukuineen ja vastaavat ominaisvektorit: Eigenvectors(A);

   • eval

     Evaluoi lausekkeen (laskee arvon). Useimmin käytetty muoto: eval(lauseke, x=a) (Vrt. subs, jossa päinvastainen järjestys.)

   • evalc

     Sieventää kompleksilukuja koskevia lausekkeita:
     sqrt(1+I); evalc(%);

   • evalf

     Laskee liukulukulikiarvon (määrätyllä tarkkuudella):
     evalf(Pi); evalf(Pi,100); (f - float)

   • expand

     Laskee lausekkeen auki: expand((x+y)*(1-x));

   • for

     Toistokäsky: for n from 1 to 10 do a[n]:= sin(Pi/n) end do;
     Huom: Tämän toiston jälkeen muuttujalle \(n\) jää arvoksi 11.

   • fsolve

     Yhtälön numeerinen ratkaiseminen: fsolve(x^3+x=1,x); fsolve(x^3+x=1,x,complex);

   • implicitplot

     Piirtää tasokäyrän pelkän yhtälön perusteella:
     implicitplot(x^2-x*y+y^2=1, x=-2..2, y=-2..2); (Vrt. contourplot)

   • int

     Integroimiskäsky: int(sqrt(x+x^2), x=0..1);
     Numeerisesti: evalf(Int(f(x), x=a..b));

   • inverse

     Käänteismatriisi: inverse(A); (vanhassa linalg:ssa (Uudempi MatrixInverse LinearAlgebra-kirjastossa )

   • LinearSolve

     Yhtälöryhmän \(A{\bf x}={\bf b}\) ratkaiseminen: LinearSolve(A,b);
     Toimii vain silloin, kun ratkaisu on yksikäsitteinen.

   • map

     Kuvaa funktion jokaiseen listan alkioon: map(x-\(>\)x^3, [a,b,c]);

   • Matrix

     Matriisin rakentaminen:
     Matrix([[a,b],[c,d]]);

   • nops

     listan pituus (number of operands): nops([a,b,c,d]);

   • plot

     Kuvaajan piirtäminen:
     plot(sin(x),x=0..Pi); plot([sin(x),cos(x)],x=0..Pi);

   • product

     eli tulo, kertoo jonon termit: product(1/n^2, n=1..10);

   • restart

     Poistaa muistista kaikki määrittelyt.

   • seq

     Jonon muodostaminen: seq(n^2, n=1..5);

   • simplify

     Lausekkeen sieventäminen: simplify(%);

   • solve

     Yhtälön ratkaiseminen (tarkasti): solve(x^2+x=1,x);

   • subs

     Sijoituskäsky: subs(x=1,polynomi); Huom: Ei muuta \(polynomi\)n määrittelyä. (Vrt. eval(polynomi,x=1);)

   • sum

     Summaa jonon termit: sum(n^2, n=1..100); (vrt. add). sum suorittaa myös symbolista summausta.

   • Vector

     Vektorin muodostaminen: Vector ([1,3,5]);

   • with

     Lisäpakettien latauskäsky: with(plots); with(LinearAlgebra);

   • Jono on Maplessa kokoelma pilkulla erotettuja olioita, esim. jonoA:= 3,4,5,f,sin(7); tai jonoB:= seq(n^3, n=-3..8); Jonojen alkioihin voi viitata muodossa jononnimi[moneskoalkio].

   • Lista on täsmälleen sama kuin [jono].

   • Käsky on väärin kirjoitettu: sulkuja puuttuu tai ne eivät täsmää.

   • Määrittelyssä on käytetty = eikä :=

   • Jonot, listat tai vektorit sekaisin: kaikki ovat eri asioita.

   • Lausekkeet ja funktiot sekaisin.

   • Muuttujilla on vanhoja arvoja aikaisemmista laskuista.

   • restart

     -käskyn jälkeen ei ole suoritettu kaikkia tarvittavia käskyjä.

   • %-merkki viittaa viimeisen suoritetun käskyn tulokseen, esimerkiksi virheilmoitukseen. % ei automaattisesti tarkoita työarkilla heti yläpuolella

   Tiedoston Latex-koodi: (Muokkaa tarpeittesi mukaan)
   ../mplteht/mplBasic/mplBas000.tex

   ---

2. mplBas001

   Tiedosto: mplBas001.tex
   Ohjelmat: Maple, [Mathematica]

   Sievennä lauseke \[\frac{x-1}{(1-\frac{1}{\sqrt{x}})(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}.\]

   Vihje
   Kokeile funktiota simplify.

   Vaativuus: 1-
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas001.tex
   Avainsanat:mplBasic, Mapleperusteet, simplify
   

   ---

3. mplBas002

   mplP002.tex (P. Alestalo P1 s.2011)
   

   1. Tässä on ohje-ja pohjatyöarkki (mw), lataa se Mapleen.
      ( Tässä näet työarkin pdf-muodossa.)

      Käy läpi työarkin tehtävät ja siirry sen jälkeen alla oleviin tehtäviin.

   2. a) Kokeile Maplen voimia seuraavien sarjojen kohdalla: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2},\ \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},\ \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1}, \ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}.\] b) Montako termiä hajaantuvasta sarjasta \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\] on otettava mukaan, jotta vastaava osasumma olisi vähintään 100?
      (sum, evalf, infinity)

   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas002.tex
   Avainsanat: Mapleperusteet, sarjan summa, sum, evalf, infinity
   

   ---

4. mplBas002a

   mplBas002a.tex (P. Alestalo P1 s.2011)
   

   Fibonaccin lukujono \((f_n)\) määritellään alkuehdoilla \(f_0=0,\ f_1 = 1\) ja palautuskaavalla \(f_{n+2}=f_{n}+f_{n+1}\), kun \(n\ge 2\). Samat luvut saadaan suoraan lausekkeesta \[f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-(-\varphi)^{-n})\] arvolla \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Määrittele \(f_n=f(n)\) funktiona ja osoita, että sekä alkuehdot että palautuskaava toteutuvat.
   Vihje: Määrittele aluksi phi:= ... Palautuskaavan kohdalla on helpompi osoittaa jokin lauseke nollaksi kuin verrata kahta hankalaa lauseketta.
   (sqrt, simplify, expand)

   Muista funktiomääritys:
   f:=n->...

   Vaativuus: 2
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas002a.tex
   Avainsanat: Fibonacci, funktiomääritys, palautuskaava, simplify, expand
   
   

   ---

5. mplBas002b

   mplP002b.tex (Pekka Alestalo P1 s.2011)
   Intialaisen matemaatikon Srinivasa Ramanujanin (1887–1920) keksimän kaavan mukaan \[\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1103+26390n)(4n)!}{396^{4n}(n!)^4}.\] Tutki (numeerisesti), monennenko osasumman avulla saadaan luvun \(1/\pi\) likiarvo 50 desimaalin tarkkuudella.
   b) Määrittele sarjan yleinen termi \(a_n=a(n)\) funktiona ja laske raja-arvo \[q = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.\] Sarja suppenee siis suunnilleen samaa vauhtia kuin sellainen geometrinen sarja, jonka suhdeluku on \(q\).
   (Pi, sqrt, sum, evalf(luku, desimaalien lkm), limit)

   Muista funktiomääritys:
   a:=n-> ...

   Vaativuus: 2-
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas002b.tex
   Avainsanat:Mapleperusteet,mplBasic, sarjat, Pi, sqrt, evalf
   
   

   ---

6. mplBas004

   mplBas004
   Suorita Maplella :

   > series(exp(x), x = 0, 10);  # tai taylor(…);
   > p:=convert(%,polynom);
   > c:=coeffs(p,x);
   > evalf(%);

   Selitä, mitä näissä tapahtuu. (Tutki tarvitessasi helpillä tyyliin ?convert.)

   Piirrä polynomin p kuvaaja sopivalla välillä.

   Vaativuus: 1
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas004.tex
   Avainsanat: Mapleperusteet,mplBasic, polynomin kertoimet, coeffs, convert(sarja,polynom)
   
   

   ---

7. mplBas005

   mplBas005
   

   Etsi lukujen \(1234^{3243}\) ja \(7681\) suurin yhteinen tekijä.

   Suurin yhteinen tekijä lasketaan funktiolla igcd. Jos myös kertoimet halutaan tietää, kannattaa käyttää funktioita igcdex.

   Vaativuus: 1-
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas005.tex
   Avainsanat:Mapleperusteet, mplBasic,syt, suurin yhteinen tekija, igcd,igcdex

   ---

8. mplBas006

   mplBas006 (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)

   1. Laske \(2^{123}, \pi^3, e^5\) neljälläkymmenellä (40) numerolla.

   2. Mikä rationaaliluvuista \({\frac{22}{7}},{\frac{311}{99}},{\frac{355}{113}}\) approksimoi parhaiten \(\pi\):tä ?

   3. Kumpi luvuista \(\pi^e\) , \(e^\pi\) on suurempi?

   4. Jaa tekijöihin polynomi \(x^3- y^3\)

   Vihje

      ?evalf
      ?factor

   Vaativuus: 1
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas006.tex
   Avainsanat:mplBasic,Mapleperusteet, evalf, factor
   
   

   ---

9. mplBas007

   mplBas007.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)

   Määrittele polynomilauseke \(p=x^3-4x^2+3x+2\).
   Määritä \(p\):n juuret ja piirrä kuvaaja välillä, joka sisältää juuret. Määritä myös paikalliset ääriarvot.

      p:= ...   (ei siis p = ... (kuten Matlabissa))
      plot(p,x=a..b)
      ?plot
      solve   yrittaa tarkkaa analyyttista ratkaisua (vaikka onnistuisi, voi olla turhan mutkikas)
      fsolve  numeerinen ratkaisija

   Luokittelu: Maple perusteet, lausekkeet, yhtälöt, nollakohdat, grafiikka

   Vaativuus: 1+
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplBasic/mplBas007.tex
   Ratkaisu:
   pdf-muodossa
   mw-tiedosto
   

   Avainsanat:mplBasic,Mapleperusteet, polynomi,nollakohdat, minimit, maksimit, solve, fsolve, diff
   
   

   ---

10. mplBas008

    mplP008.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)

    Piirrä samaan kuvaan \(x^4\) ja \(2^x\) ja selvitä, kuinka monessa pisteessä ne leikkaavat. Varmaan joudut piirtämään useita kuvia eri alueilta.

    Suurimman juuren etsimisessä voi oikean alueen ehkä löytää nopeimmin tyyppiä seq([x^4,2^x],x=a..b); olevalla komennolla.

    Tutki fsolve-komennon help-teksti ja määritä likiarvo suurimmalle juurelle.

    seq(f(x),x=a..b) toimii kokonaislukuaskelin.
    Uusimmissa Maplen versioissa voidaan antaa askel h näin:

      jono:=seq(f(x),x=a..b,h);

    (Vrt Matlab: jono=a:h:b )

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplBasic/mplBas008.tex
    Avainsanat: Maple perusteet, jonot (seq), yhtälöt, nollakohdat, grafiikka
    
    

    ---

11. mplBas009

    mplP009.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)
    Mitä tekevät seuraavat Maple-komennot:

    > sum(i^2,i=1..10);
    > ifactor(1998); # Maple-oppaan kirjoitusvuosi
    > ifactor(2015); # Aikaa on kulunut.
    > solve({x+2*y=5,x^2+y^2=10},{x,y});
    > solve([x+2*y = 5, x^2+y^2 = 10], [x, y])

    Kaksi solve-komennon muotoa liittyvät tietorakenteisiin. Edellinen käsittelee joukkoina, jälkimmäinen listoina. (Joukon alkioilla ei ole määrättyä järjestystä päinvastoin kuin listassa.)

    Vaativuus: 2-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplBasic/mplBas009.tex
    Avainsanat: Mapleperusteet, yhtälöryhmä, joukko, lista, tekijöihin jako.
    
    

    ---

12. mplBas010

    mplBas010.tex
    Muodosta funktion \(\cos(x) \sin(x)\) ensimmäinen ja toinen derivaatta ja piirrä kunkin kuvaaja sopivaksi katsomallasi välillä kenties mieluiten eri koordinaatistoihin.

    Vaativuus: 1-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplBasic/mplBas010.tex

    Avainsanat: Mapleperusteet, mplBasic, diff, simplify, perusssievennys, plot
    
    

    ---

13. mplBas011

    mplBas011.tex (HA:n Maple-kirja ss. 48-50)
    

    Funktiolausekkeen derivaatta muodostetaan diff-komennolla.

    Määritä seuraavien funktioiden 1. ja 2. derivaatta ja sievennä tulokset simplify-komennolla.

    \(6x^3+3x^2-2x+1\) , \({\frac {x+1}{{x}^{2}+1}}\) , \(\cos(x^2+1)\) , \(\arcsin(2x+3)\) , \(\sqrt{1+x^4}\) , \(\arctan x\) Vaativuus: 1
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplBasic/mplBas011.tex
    Avainsanat: Mapleperusteet, Maplediffint, lauseke, symbolinen derivointi, diff
    
    

    ---

14. mplBas014

    mlBas014.tex, mplBas014.tex
    Maple [Mathematica] , Matlab (erityisesti b)-kohta).
    Tarkastellaan funktiota

    \[f(x)=1 +\frac{sin(x)}{1+x^2} .\]

    a) Maple: Määrittele f lausekkeeksi, laske f:n arvo pisteessä \(x=-2.0\) ja piirrä kuvaaja välillä \(\left[-5,5\right]\).

    Matlab:
    Tee vastaava asia Matlabilla, kirjoita skripti. Huomaa, että Matlabissa täytyy ensin antaa x:lle numeerinen (vektori)arvo.

    b) Tee samat asiat, mutta nyt määrittelemällä f funktioksi.

    a)

       Maple                               Matlab:
      
    > f:=1-...                            >> x=...
    > subs...                             >> f=...
    > plot                                >> plot

    b)

        Maple                             Matlab
    
    > f:=x->1-...                        >> f:=@(x) 1-...

    Vaativuus: 2-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplBasic/mplBas014.tex
    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplBasic/ratkaisut/mplBas014R.pdf
    ../mplteht/mplBasic/ratkaisut/mplBas014R.mw (Maple worksheet)
    

    Avainsanat:
    Mapleperusteet, funktiot, lausekkeet, Matlabperusteet
    
    

    ---

15. mplBas015

    mplBas015.tex
    Laske funktion \(f(x)= e^{-x^2}\) arvoja \(0.5\):n välein välillä \(0 \ldots 5\), ja piirrä taulukoiduista arvoista kuvaaja

    Vihje
    Määrittele f funktioksi tyyliin f:=x-> ...
    Muodosta jono seq-funktion avulla ja ympäröi se listasuluilla tyyliin: h:=0.5: x:=[seq(k*h),k=...]
    Nykyversioissa on myös muoto seq(a,b,h), joka vastaa Matlab:n lauseketta:
    a:h:b. Muodosta funktion arvot tyyliin y:=map(f,x)
    Taulukon saat kenties selkeimmän tyyliin

     with(linalg)
     transpose(matrix([x,y]))

    (Vaikka suosimme uudempaa, LinearAlgebra-kirjastopakkausta, joihinkin operaatioihin “vanha” linalg soveltuu paremmin.)

    Datan voi piirtää nykyisin myös "Matlab-tyylillä": plot(x,y)

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplBasic/mplBas015.tex
    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplBasic/ratkaisut/mplBas015R.mpltxt(Maplekomennot tekstimuodossa)
    

    ---

16. mplBas017

    mplBas017.tex [mplODE017.tex]
    Opiskelija ottaa lainaa \(10 000\) euroa hetkellä \(k=0\) ja ryhtyy maksamaan sitä takaisin kuukauden päästä hetkellä \(k=1\). Kuukausikorko on \(1\)% (huh!) ja takaisinmaksu tapahtuu kiintein maksuerin \(450\) EUR/kk Olkoon \(y_k\) \(k\):n kuukauden kuluttua jäljellä olevan velan määrä. Muodosta taulukko ja graafinen esitys, jossa on pisteet \((k, y_k)\), ja selvitä sen perusteella, miten kauan velan maksu kestää ja miten paljon rahaa opiskelijaparka käyttää koko projektiin.

    Vaativuus: 1
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplBasic/mplBas017.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE019R.pdf
    ../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE019R.mw
    

    Avainsanat: mplODE,Mapledifferenssiyhtälöt,Mapleperusteet,mplBasic
    

    Luokittelu: Differenssi- ja differentiaaliyhtalot, Maple-perusteet.