MattieT-tehtäväportaali

Sisällysluettelo

---

1. mplCA000

   mplCA000.tex
   Maple-ohjeita muutamaan seuraavaan tehtävään

   plot, seq, map, subs, with(plots), complexplot, plot3d 

   seuraavassa xploty tarkoittaa mitä tahansa piirtofunktiota.

     with(plots):       # Ladataan lisägrafiikkakirjasto
     kuva1:=xploty(...): # Kuvan tallettaminen muuttujaan.
     kuva2:=xploty(...): #  ... ja toinen.
     display(kuva1,kuva2);  # Näin yhdistetään grafiikkoja.
   
     F:=2*x+exp(x*y); # Lausekkeen arvo muuttuu, kun x ja y muuttuvat.
                  # MUTTA:  F(x,y) tai F(a,b) on vailla mieltä!
                  # Jos halutaan laskea F:n arvo, kun x=a, y=b, komennetaan:
     subs(x=a,y=b,F);
   
     f:=(x,y)-> 2*x+exp(x*y);  # Funktiomääritys. 
     f(a,b)   # toimii nyt.

   Lisää tähän omia ohjeitasi/poista tarpeettomia!

   “Tehtävän” Latex-koodi:
   ../mplteht/mplComplAnal/mplCA000.tex

   Avainsanat: mplComplAnal,Kompleksianalyysia Maplella, Maple-ohjeita, mapleohjeet.
   Maplefunktioita:
   
   

   ---

2. mplCA002

   mplK002.tex
   Lausu De Moivre’n kaavaa hyödyntäen \(\cos 3\varphi\) ,\(\cos 4\varphi\) ja \(\sin 5\varphi\) \(\cos \varphi\):n ja \(\sin \varphi\):n avulla.

   Sopii käsinlaskuksi, mutta voidaan hyödyntää myös Maplea.

   Avainsanat: Kompleksiluvut, De Moivre’n kaava, trigonometriset yhtälöt.

   ---

3. mplCA003

   mplCA003.tex
   Käsinlasku
   Kompleksiluvulla \(e^{i\alpha}\) kertominen suorittaa kierron kulman \(\alpha\) verran. Tämähän on vanha tuttu olio, tason \(\mathbb{R^2}\) lineaarikuvaus, jolla niin ollen on matriisiesitys. Johda kiertokuvauksen matriisiesitys muodostamalla tulo \(w=e^{i\alpha} z\), \(z=x+iy=re^{i\Theta}\)

   Pieni ("vapaaehtoinen") jatko-osa:

   Tästä on helppo yleistää mielivaltaisella kompleksiluvulla \(R e^{i\alpha}\) kertomiseen. Miten kuvausta voi sanoin kuvailla ?

   Vaativuus: 1+
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplComplAnal/mplCA003.tex

   Ratkaisu: (Hae esiin!)
   

   Avainsanat: Kompleksiluvut, tason kiertokuvaus.

   Maplefunktioita:
   
   

   ---

4. mplCA004

   mplK004.tex
   Ykkösen n:nsien juurien käsittelyä varten määrittele Maple-funktio

   w:=(k,n)->exp(I*2*k*Pi/n);

   Piirrä yksikköympyrä ja kaikki \(\root n \of 1\):t joillakin \(n\):n arvoilla.

   Laadi sitten Maple-skripti, jolla voidaan laskea ja piirtää syötteenä annetun mielivaltaisen kompleksiluvun kaikki n:nnet juuret.

   > z:=2+3*I : n:=10:   % Muuteltava syöterivi
   > juuret:=seq(w(k,n),k=0..n-1);
   > ? complexplot

   Huomaa, että \(e^{i\Theta}, \ \ \Theta\in [0,2\pi)\) “piirtää” yksikköympyrän. complexplot on juuri reaalimuuttujan kompleksiplotti.

   Kts. tarkemmin
   http://www.math.hut.fi/teaching/v/2/02/H/complex6.html
   

   Tässä pikatietoisku kompleksiluvuista:
   

   http://www.math.hut.fi/opetus/Mattie/MattieO/Luentomatskua/
   kompleksianalyysi/kompluvut.html

   Avainsanat: Kompleksiluvut, ykkösen juuret, complexplot

   ---

5. mplCA005

   mplK002.tex
   Lausu De Moivre’n kaavaa hyödyntäen \(\cos 3\varphi\) ,\(\cos 4\varphi\) ja \(\sin 5\varphi\) \(\cos \varphi\):n ja \(\sin \varphi\):n avulla.

   Sopii käsinlaskuksi, mutta voidaan hyödyntää myös Maplea.

   Avainsanat: Kompleksiluvut, De Moivre’n kaava, trigonometriset yhtälöt.