Koealueet

1. välikoe 13.10.03

• Luennot 4. ensimmäisen viikon osalta. Viimeinen mukaan tuleva siis pe 3.10, viimeinen asia: Matriisin diagonalisointi.
• Harjoitukset 1--4.

• Jaetut prujut, jotka ovat luentohakemistossa täällä. (LA3.html ja omnaisarvopruju täydentyvät vielä ja tulevat prujuina jakoon.)
• Kirjallisuusvitteet ovat jokseenkin kattavasti ainakin KRE8:n osalta harjoitustehtäväpapereissa.

2. välikoe 10.11.03

Luennot ti 4.11. loppuun saakka
Harjoitukset 5--8.

Aiheesta on alkanut tulla kyselyjä. Tässä päällimmäiset huolenaiheet:

• Prujut? Tässä toisessa jaksossa ne ovat jääneet varsin vähiin, kuten luennolla olen maininnut. Asiat ovat suurelta osalta oppikirjoista luettavissa. Alkupään asioihin on ortogonaalisuuteen, matriisinormeihin ym. liittyvä pruju, muutahan ei ole. Mahdollisesti jotain yhteenvetoa voi tulla, mutta varma en ole siitäkään.
  Mallivastauksia tulee entiseen tapaan, ensimmäinen erä jo ensi viikon alussa luultavasti.
• Mitä kaavoja pitää osata ja mitä annetaan
  • Kaikki Laplace-muunnoksiin liittyvät kaavat, jotka on harj6-paperissa, osamurtokaavoja myöten annetaan kokeissa.
  • Yritteet diffyhtälösysteemiin:
    • Osattava perusyrite, joka johtaa ominaisarvotehtävään.
    • Kompleksisten ominaisarvojen tapuksessa osattava johtaa reaalinen ratkaisukanta. Jos johtamista ei tehtävässä kysytä, niin kaavan "yleisilme" annetaan tyyliin: similariteettimuunnos, kierto ja venytys/kutistus (ehkä kaavana, jossa kaikkia symboleja ei selitetä).
    • Tapaukseen, jossa ominaisvektori puuttuu, annetaan yritteen muoto.
    • (EHY):n erityisratkaisun muotoa ei anneta, jos se on "hyvin luonnollinen", muussa tapauksessa annetaan.
  • Trigonometriasta annetaan tarvittaessa sin:n ja cos:n yhteenlaskukaavat (sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b), ...). Jos tarvitaan (vaikka integrointiin) sinsin/coscos/sincos-kaavoja, ne on osattava johtaa (eipä ole vaikeaa!)
  • Cramerin sääntö annetaan tarvittaessa (voi tulla kyseeseen 2x2-systeemiä L-muunnoksella ratkaistaessa).
  • Eulerin kaava ja vastaavat (kuten kompleksieksponenttifunktion määritelmä) on tietysti osattava.
  • Erinäiset peruskaavat, kuten osittaisintegrointi ym. on tietysti osattava.

  2. välikoe, tarkennetut ohjeet

  1. Normi, sisätulo, ortogonaalisuus,häiriöalttius, ym.
     • Pruju (ei lausetta 1.3) , kts. myös KRE8: 7.3,7.4 (ei aihetta "Forms")
     • KRE8 18.4 Linear systems, ill-conditioning, norms
     • LU-hajotelmaa ei kysellä, esiteltiin niin pintapuolisesti.
  2. Laplace-muunnokset
     • KRE8 Chapter 5, ei pykälää 5.4 (F(s):n derivaatta ja integraali).
       ei myöskään 5.6:tta ("Partial Fractions") systemaattisesti. Osamurtokehitelmistä riittää tietää senverran, kuin tehtäväpaperissa annetaan (vrt. harj 6)
  3. Differentiaaliyhtälösysteemit matriisitekniikalla
     • KRE8 Ch 3: Systems of Differential Equations
       • 3.1,3.2 (Ei Wronskin determinanttia, mutta perusmatriisi Y(t) (jonka determinantti W(t) on). Peruslauseet ja päättelyt kootaan vielä www:stä saatavaan pikkuprujuun.
       • 3.3 Homog. syst. faasitasoanalyysia. Osattava tyypit harj8-paperin tyyliin.
         Kompleksiset ominaisarvot tarkemmin kuin KRE-kirjassa. Kaava annetaan yhteenvetoprujussa mainitussa muodossa, mutta ei selitetä kaikkia esiintyviä symboleja.
       • Osattava päätellä ominaisavoista ja -vektoreista faasitasokuvan perusluonne ja osattava hahmotella faasikuva suuntanuolineen.
         Myös kääntäen osattava päätellä kuvasta ominaisarvojen reaalisuus,merkkisyys ym, ja ominaisvektorit, jos mahdollista, ym.
       • Ulkoa opetellut "p":n ja "q":n avulla lausutut säännöt (vrt. KRE8 3.4 "Crieria for Critical Points") ovat 0:n arvoisia, ellei selitetä a) mitä p ja q tarkoittavat ja b) miksi niiden perusteella voidaan päätellä. (Siis toisen asteen yhtälön juurien ominaisuuksia saa toki käyttää, jos se tehtävään riittää, mutta pitää osata selittää, miten johtopäätös kulkee ominaisarvojen kautta.)
       • 3.6 Epähomogeeninen yhtälö. Riittää osata ratkaista yhdellä kolmesta tavasta, tosin diagonalisoinnin varaan ei voi kokonaan rakentaa, sillä matriisi voi olla diagonalisoitumaton. (Voin luvata, että EHY-ratkaisu onnistuu määräämättömin kertoimin kohtuuajassa, mutta voihan ainakin periaatteessa joku muu tapa olla lyhyempi.)

  Huom!

  Epälineaariset diffyhtälösysteemit ja diffyhtälöiden numeriikka siirtyvät kolmanteen välkikokeeseen (alkukaavailusta poiketen).

Luennot to 6.11 - loppuun saakka.
Harjoitukset 9 - 12.

Vaatimuksiin kuuluvat alueet

1. Diffyhtälösysteemit, kvalitatiivista teoriaa, linearisointi KRE8 3.5, Lop 12.21-23. Linearisointisääntöjä ei tarvitse opetella ulkoa. (Lue kuitenkin huvin vuoksi.)
2. Diffyhtälöiden numeriikkaa
   Lyhyesti: pelkästään eksplisiittisiä yksiaskelmenetelmiä.
   KRE8: 19.1 -> s. 949 (ei enää "Step size control, RKF"), 19.3. (Voidaan kysyä myös Heunia tms., vaikkei sitä kirjassa ole esitetty syteemeille.)
   Lop: 4.1,4.2,4.4, 13 (Ei Runge-Kutta-Nyströmiä) (vaikka Nyström olikin suomalainen ja jopa TKK:n matematiikan professori).
3. Fourier-sarjat
   • KRE8 10.1 - 10.7
   • Lop 10.1,10.3-10.6. (Lopezissa ei esitetä Fourier-kertoimien johtamista, se kuuluu kyllä vaatimuksiin ja on myös prujussa.)
   • Fourier-pruju
4. Osittaisdiffyhtälöt
   • Lämpöyhtälö sekä Laplace-yhtälö KRE 11.5, Lop 25.1,25.3
   • Lämpöyhtälön numeriikkaa KRE 19.6 (Methods for parabolic ..), Lop 25.4 (Lop:sta puuttuu implisiittinen Crank-Nicholson, joka kuuluu vaatimuksiin.)
   • Laplace/Poissonin numeeriset. KRE: 19.4 (Methods for elliptic ..), 19.5 otsikkoon "irregular boundary" (s. 972) saakka. Esimerkeissä esiintyviä lineaarisen yhtälösysteemin iteratiivisia ratkaisumenetelmiä ei vaadita (tietenkään).

Kaavat, jotka annetaan (tarvittaessa)

• Runge-Kutta
• Fourier-kertoimet (Tarvitaan varmasti.) Annetaan samassa muodossa kuin Harj.10 tehtäväpaperissa,
• Jos kompleksimuotoa tarvitaan, sekin annettaan, samoin neliöintegraaliapproksimointiin liittyvät kaavat (vrt. harj. 10 LV teht. 6)
• Lämpöyhtälö ja Laplacen yhtälö
• Differenssikaavat 1. 2. osittaisderivaatoille
• Sekä eksplisiittisen että implisiittisen (Crank-Nicholsonin) menetelmän differenssikaava.

Kaavat ja periaatteet, jotka osattava (johtaa)

Differentiaaliyhtälöiden numeriikkaa

• Eulerin menetelmä. (Tiedettävä, että alkupisteestä lähdetään ratkaisukäyrän tangentin suuntaan ja osattava kirjoittaa Eulerin askel sen perusteella.) Muistettava virhekäytös: O(h) ja miten se käytännössä ilmenee.
• Heunin menetelmä. Kysymys voisi olla muotoiltu tähän tapaan: Heunin menetelmä tarkoittaa, että otetaan yksi Euler-askel, lasketaan sen avulla loppupisteessä kulmakerroin, ja edetään alkupisteestä kulmakeroimien keskiarvon suuntaan. Yhtä hyvin voitaisiin kysyä jotain tämän muunnelmaa näin kuvattuna. Siis yksinkertaisen kuvailun avulla osattava kirjoittaa algoritmin askel. (Runge-Kutta on senverran mutkikas, että sen johtamista ei voida tähän tyyliin kysyä.)
• Osattava tulkita edellä olevat algoritmit vektorisuureille ja soveltaa diffyhtälösysteemiin. (Tietysti osattava muuntaa korkeamman kertaluvun yhtälö 1. kertaluvun systeemiksi.)

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden analyyttiset ratkaisut

• Osattava johtaa muuttujanerottelua käyttäen lämpöyhtälön ja Laplacen yhtälön ratkaisu, kun on annettu sopivat reuna/alkuarvoyhdistelmät. (Itse yhtälöt annetaan.)
  Mahdollista on, että jossain laskutehtävässä annetaan ratkaisukaava, jos siinä on liian paljon tekemistä muuten. Tämän varaan ei kannata kuitenkaan laskea.
  Huom! Tarkoitus ei ole opetella ratkaisukaavoja ulkoa, vaan ymmärtää askeleet ja päättelyt, joilla niihin päästään.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeeriset ratkaisut

• Laplacen/Poissonin yhtälön differenssikaava (helppo ja symmetrinen)