TEKNILLINEN KORKEAKOULU

DIPLOMITYÖN TIIVISTELMÄ

Tekijä:	Kenrick Bingham
Työn nimi:	Lokaalin röntgentomografian matematiikkaa
English title:	Mathematics of Local X-Ray Tomography
Päivämäärä:	18.8.1998	Sivumäärä: 107
Osasto:	Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto
Professuuri:	Mat-1 Matematiikka
Työn valvoja:	Professori Olavi Nevanlinna
Työn ohjaaja:	Professori Erkki Somersalo
Työssä käydään läpi lokaalin röntgentomografian matemaattista teoriaa. Tämä teoria osoittaa, milloin ja miten n-ulotteinen kappale ($n \ge 2$) voidaan rekonstruoida käyttämällä mittaustuloksia siitä, kuinka paljon röntgensäteet vaimenevat kappaleen läpi kulkiessaan. Matemaattisesti kyse on kompaktikantajaisen funktion $f: {{{\mathbb{R} }^n}}\to {\mathbb{R} }$määrittämisestä sen integraaleista eri suoria pitkin. Itse funktion f rekontruktio on numeerisesti epästabiili toimitus, mutta työssä johdetaan lähteen [SK] mukaisesti kaavat, joiden avulla e * f ja $\Lambda e * f$ voidaan rekonstruoida stabiilisti. Tässä e * f ja $\Lambda e * f$ ovat eräiden oletusten vallitessa funktioiden f ja $\Lambda f = {\mathcal{F}^{-1}}\big(\vert\xi\vert \, \hat{f}(\xi)\big)$ approksimaatioita, joissa pienimmät yksityiskohdat ovat sumentuneet. Rekonstruktiokaavoja johdettaessa tarvittavaa Calderón-Zygmund-teoriaa käydään myös läpi, pitkälti teoksen [Ner] esitystapaa seuraten. Funktio $\Lambda f$ antaa käyttökelpoista tietoa kappaleen sisäisestä rakenteesta, sillä Calderónin pseudodifferentiaalioperaattori $\Lambda$säilyttää epäjatkuvuuskohtien sijainnin. Tämä osoitetaan lähteestä [RK] löytyvän hahmotelman mukaisesti näyttämällä, että funktioiden f ja $\Lambda f$aaltorintamajoukot ovat samat. Todistuksessa ei tarvita pseudodifferentiaalioperaattoreiden teoriaa. Eräs syy funktion $\Lambda f$ tarkastelemiseen on, että sen likimääräinen rekonstruktio onnistuu paikallisesti: jos kiinnostuksen kohteena on vain osa kappaleesta, rekonstruointia varten tarvitaan mittaukset ainoastaan niitä suoria pitkin, jotka kulkevat kiinnostavan alueen läpi tai aivan sen läheltä. Funktioita f ja e * f ei voida rekonstruoida paikallisesti. Kaksi stabiilisuustulosta, joita ei ole suoraan esitetty kirjallisuuslähteissä, todistetaan myös. Niiden mukaan mittausvirheen L2-normi rajoittaa tasaisesti funktioiden e * f ja $\Lambda e * f$ rekonstruktioiden virheitä. Lukijalta edellytetään reaalianalyysin, distribuutioteorian ja Fourier-analyysin perustietoja; näiden keskeisimpiä kohtia luetellaan liitteessä. Työssä esitetään todistukset kaikille tuloksille, joita käytetään teorian johtamisessa, lukuunottamatta edellä mainittuja esitietoja sekä kahta Rieszin muunnosten jatkuvuutta koskevaa lausetta, joiden osalta viitataan lähteeseen [Zie]. Näistä lauseista seuraa myös se, että lähteessä [SK] esiintyvä funktioavaruus ${D_{\textup{xr}}}$ onkin itse asiassa vain neliöintegroituvien funktioiden avaruus. Tästä seikasta ei löydy mainintoja aikaisemmassa kirjallisuudessa.
Avainsanat:	tomografia, tietokonetomografia, CT, lokaali, inversio-ongelmat, singulaariset integraalit, Calderón-Zygmund-teoria

Bibliography

Ner

Umberto Neri.
Singular Integrals.
Number 200 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1971.
ISBN 3-540-05502-9.

RK

A. G. Ramm and A. I. Katsevich.
The radon transform and local tomography.
CRC Press, Boca Raton, U.S.A., 1996.
ISBN 0-8493-9492-9.

SK

Kennan T. Smith and F. Keinert.
Mathematical foundations of computed tomography.
Applied Optics, 24(23):-3957, December 1, 1985.
ISSN 0003-6935.

Zie

William P. Ziemer.
Weakly Differentiable Functions.
Number 120 in Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, U.S.A., 1989.
ISBN 0-387-97017-7.

12.8.1999