MATLAB-opas

Grafiikka

MATLAB sisältää monipuoliset piirtokomennot datan 2- ja 3-ulotteiseen visualisoimiseen. Katso esimerkiksi komentoja plot ja plot3.

Käyrien piirtäminen

Käyriä voi piirtää plot-komennon avulla. Ajatellaan, että haluamme piirtää käyrän y=x³-2x+1 välillä [-2,2]. Näin se käy: Muuttujaksi x otetaan sataan osaan diskretoitu x-akseli.

» x=linspace(-2,2,100);

Luvun 100 voi jättää pois, sillä 100 on oletusarvo. Lasketaan y-vektoriin vastaavat funktion arvot. Huomaa .^ (mieti tarkkaan pisteen merkitys).

» y=x.^3-2*x+1;

komento

» plot(x,y)

piirtää x-vektorin ja y-vektorin vastinkomponenttien ilmaisemat koordinaattipisteet (x(i),y(i)), ja yhdistää ne välijanoilla. Kun pisteitä on tarpeeksi (usein 100 riittää), saadaan sileä käyrä kuvaksi.

Kokeile minkälaisen käyrän saat jos 100:n sijasta käytät arvoa 10.

Kuvan skaalausta voi muuttaa komennolla axis. Perusmuoto on axis([xmin xmax ymin ymax]), joka määrää koordinaatiston rajat. axis-komennon argumenttina voi olla myös erinäisiä merkkijonoja, joista useimmin tarvittavia lienevät axis('equal') ja axis('square'). Alkutilaan päästään komennolla axis('normal').

axis('equal') ja axis('square'), jotka muuten voi antaa myös tyyliin axis equal, ovat erityisen tarpeellisia silloin, kun halutaan esim. ympyrän näyttävän ympyrältä.

Kokeile miten äsken saamasi kuva muuttuu kun käytät yllä mainittuja axis-komennon eri muotoja. Kuvaa voi käsitellä kuvaikkunan työkalunauhan valikosta näkyvillä tavoilla. Sitä voi "zoomata" (suurennuslasi), kuvaan voi lisätä tekstejä (insert-valikosta "text") jne. Samoja asioita voi hoitaa myös komennoilla, kuten zoom on.

Jos haluat piirtää toisen käyrän jo olemassaolevaan kuvaan, niin anna komento hold on. Tämän jälkeen kaikki seuraavat käyrät tulevat edellisten 'päälle', kunnes annetaan komento hold off. Piirrä yllä saadun käyrän kanssa samaan kuvaan y=2cos(x²-5x+17).

Toinen tapa usean käyrän piirtämiseksi samaan kuvaan on plot-komennon muoto plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,...). plot-komennossa voi lisätä viivatyyppimääreen kullekin haluamalleen käyrälle. Jos haluttaisiin vaikkapa piirtää sinikäyrä sinisellä, kosinikäyrä katkoviivalla ja lisäksi merkitä jälkimmäiselle rinkuloilla kaikki /2:n monikerrat välillä [0,10], olisi sopivaa tehdä näin:

» x=linspace(0,10);
» x1=0:pi/2:10;
» plot(x,sin(x),'b',x,cos(x),'--',x1,cos(x1),'o')
» grid

Huom 1: plot(x1,cos(x1),'o') ('o' :n sijalla käy esim. 'x' tai '.') piirtää vain ao. pisteet, mutta jättää yhdistysjanat piirtämättä.

Huom 2: Yleinen muoto on plot(x1,y1,'mjono1',x2,y2,'mjono2',x3,y3,...), missä 'mjono1', 'mjono2',... ovat yllä esiintyvän tyylisiä merkkijonoja, joilla ilmaistaan väri tai viivatyyppi. Argumentit voidaan mieltää kolmikoiksi, yksi kolmikko kutakin piirrettävää käyrää kohti. Mistä tahansa kolmikosta voidaan jättää merkkijono-osa pois, jolloin ko. käyrä piirretään oletusvärillä ja -tyypillä.

Komennollagrid- voidaan kuvaan lisätä koordinaatti- (hila-) viivat, mikä on usein hyödyllistä. Kokeile joitakin yllä esitetyn kaltaisia yhdistelmiä.

Uuden piirtoikkunan saa avatuksi komennolla figure. Piirtoikkunoilla on numero, jonka avulla useista ikkunoista voidaan valita se, johon halutaan piirtää: komento figure(n), missä n on ikkunan numero, ohjaa seuraavat käyrät ikkunaan n.

Piirtämishuomioita

Funktiossa linspace on oletusarvona jako sataan osaan, mikä on usein sopiva 2D-piirroksiin. Tavallisimmin piirto tehdään siten tähän tapaan:

» x=linspace(a,b); % a:lla ja b:llä oltava numeeriset arvot.
» y=lauseke;

Lauseke, jossa esiintyy x, kuten y=exp(sin(x))+x.^3;

» plot(x,y)

Toinen tapa x-diskretointiin on antaa jakovälien lukumäärän sijasta jakovälin pituus h, jolloin kirjoitettaisiin
>> x=a:h:b;

Yllä kannattaa panna merkille puolipisteen käyttö, joka säästää tarpeettomalta pitkän vektorin tulostukselta.

Yhteenveto käyrän ja (x,y)-taulukon piirtämisestä

Muodostetaan vektorit x ja y. Ne voivat olla annettua dataa tai y-arvot ovat tarkasteltavan funktion arvoja x-pisteissä.
plot(x,y) piirtää tasoon (x_i,y_i)-pisteet ja yhdistää jananpätkillä.
plot(x,y,'o') piirtää pelkät pisteet ilman yhdistysjanoja käyttäen 'o'-merkkejä.

Yhteenveto käyrän ja (x,y)-taulukon piirtämisestä
Muodostetaan vektorit x ja y. Ne voivat olla annettua dataa tai y-arvot ovat tarkasteltavan funktion arvoja x-pisteissä. `plot(x,y)` piirtää tasoon (x_i,y_i)-pisteet ja yhdistää jananpätkillä. `plot(x,y,'o')` piirtää pelkät pisteet ilman yhdistysjanoja käyttäen 'o'-merkkejä.

Yhteenveto grafiikkaikkunoiden hallinnasta

hold on aiheuttaa edellä piirretyn kuvan jäädyttämisen, jolloin seuraavat piirtokomennot piirtävät edellisen kuvan päälle.
Takaisin "pyyhkimistilaan": hold off
figure avaa uuden kuvaikkunan. Jos halutaan jatkaa piirtämistä aiemmassa tai uudessa ikkunassa, voidaan komentaa esim.
figure(2)

Yhteenveto grafiikkaikkunoiden hallinnasta
`hold on` aiheuttaa edellä piirretyn kuvan jäädyttämisen, jolloin seuraavat piirtokomennot piirtävät edellisen kuvan päälle. Takaisin "pyyhkimistilaan": `hold off` `figure` avaa uuden kuvaikkunan. Jos halutaan jatkaa piirtämistä aiemmassa tai uudessa ikkunassa, voidaan komentaa esim. `figure(2)`

Kompleksilukujen piirto

Piirtofunktion plot argumentiksi voidaan antaa myös kompleksiluku(vektori). Tällöin ohjelma piirtää kyseiset kompleksipisteet tasoon. Pisteet yhdistetään taas oletusarvoisesti. Pelkät pisteet saadaan vastaavasti kuin edellä.

Esim

Piirrä kompleksitasoon pisteet 0,1,1+i,i.

>> plot([0,1,i,1+i])     % Kuva on ääriään myöten täynnä.
>> axis([-.2 1.2 -.2 1.2]) % Väljennetään akseleita
>> axis square             % Sama skaala molemmilla akseleilla.

Sama uudelleen, mutta pelkät pisteet punaisella ristillä

('xr').
>> plot([0,1,i,1+i],'xr')     % Kuva on ääriään myöten täynnä.
>> axis([-.2 1.2 -.2 1.2])    % Väljennetään akseleita
>> axis square                % Sama skaala.


 Matlab-funktion piirto, fplot 
fplot on vaihtoehtoinen tapa funktion
piirtämiseen. Tällöin funktion on oltava joko MATLAB-funktio (kuten
sin, cos, exp, ...) tai itse määritelty
funktio (joko m-tiedosto tai ns. "inline"-määrittely).
Versiossa 6 sallitaan myös Matlab-lauseke, jossa esiintyy yksi muuttuja.
Esim: fplot('sin',[0,2*pi]) tekee saman kuin
x=linspace(0,2*pi);plot(x,sin(x)). Erona on se, että fplot
suorittaa ns. adaptiivisen diskretoinnin, joka mahdollistaa tarkan kuvan
vähemmällä laskentatyöllä.


Esim: 
Määrittelemme funktion ns.
  "inline"-tavalla.
>> f=inline('x.^2','x')
f =
     Inline function:
     f(x) = x.^2
>> fplot(f,[0,1])

Näinkin yksinkertaisesti voidaan menetellä:
fplot('x.^2',[0,1])

Tämä toimii sillä filosofialla, että merkkijono 'x.^2' on 
merkkijonona annettu Matlab-lauseke, jossa esiintyy vain yksi muuttuja. 
Tällöin Matlab ymmärtää
sen tässä yhteydessä tämän yhden muuttujan funktioksi.

Saman filosofian mukaisesti myös inline-määrittely voidaan kirjoittaa
lyhyemmin muodossa 
 
 >> f=inline('x.^2') , mikäli siinä esiintyy vain
yksi muuttujasymboli. 
 Parametrimuotoiset käyrät tasossa 
Funktio plot soveltuu sellaisenaan parametrimuotoiseen piirtoon.
Ajatellaanpa yksinkertaisimpana esimerkkinä ympyrää, jonka luonnollinen
parametriesitys on x=cos(t), y=sin(t), t  [0,2].
>> t=linspace(0,2*pi);
>> x=cos(t); y=sin(t);
>> plot(x,y)
>> axis equal; axis square;

3D-grafiikka
 Avaruuskäyrät 
Parametrimuodossa annettuja avaruuskäyriä voidaan piirtää funktiolla 
plot3 lisäämällä z-koordinaatti mukaan.
Esimerkki selvittäköön asian. 
Jatketaan parametripiirtoesimerkkiä ottamalla mukaan z-koordinaatti, joka
nousee lineaarisesti kulman t funktiona. Toisin sanoen piirrämme
ruuviviivan:
x=cos(t), y=sin(t), z=t, t  [0,6]
>> t=linspace(0,6*pi);
>> x=cos(t); y=sin(t); z=t;
>> plot3(x,y,z)
>> axis equal; axis square;
>> grid

Tämä on periaatteessa sama esimerkki kuin funktion plot3 
avustussivulla. Kuvakin näkyy siellä (tosin hiukan eri parametrein).
 Pintapiirrokset ja korkeuskäyrät 

Olkoon piirrettävänä funktion 
f(x,y)=e^-x²-y²
määrittelemä pinta(pala) xy-tason neliön [-2,2] x [-2,2] alueella.
Ajatus on, että jaetaan alue koordinaattiviivoilla suorakulmiohilaksi
ja lasketaan kussakin hilapisteessä (x_i, y_j)
funktion arvo z_i,j=f(x_i, y_j).
Näin saadaan korkeusmatriisi Z=(z_i,j).
Ajatellaan, että asetetaan kuhunkin hilapisteeseen 
(x_i, y_j) sauva, jonka (merkillä varustettu)
pituus on 
z_i,j. 
Näin syntyneen "sauvametsän" päällee asetetaan lepäämään "pintamatto".

Sama korkeusmatriisi soveltuu niin
pinta- (surf), korkeuskäyrä-
(contour) kuin yhdistelmäkuviin
(surfc).
» x=-2:.1:2; y=x;       % x-ja y-akselin diskretoinnit tässä samoja.
» [X,Y]=meshgrid(x,y);  % X ja Y määräävät xy-alueen hilapisteistön.
» size(X), size(Y)
ans =
    41    41
ans =
    41    41

» Z=exp(-X.^2-Y.^2);   % Korkeusmatriisin arvot hilapisteissä. 
                       % Huomaa "pisteittäiset" laskutoimitukset.
» surf(X,Y,Z)          % surf-funktio "asettaa maton
                       % sauvametsän päälle".


Demonstroidaan view-komentoa:
» for j=1:5;view(-20+10*j,20*j),pause,end;  

Kuvan pyörittäminen käy vuorovaikutteisemmin kuvaikkunan työkalunauhan 
oikeanpuolimmaisesta painikkeesta.
  Korkeuskäyräpiirros 
» contour(X,Y,Z)       


 Tehtäviä 2


[Edellinen]
[Seuraava]
[Alkusivu]