/home/apiola/musmat/
Matematiikkaa ja musiikkia
Heikki Apiola (heikki.apiola@tkk.fi) Pentagrammi
Kvintti soi, klikkaa kuvaa! |
|
Mitä, miksi ja kenelle
Kyse on avauskirjoituksestani hiljattain TKK:n matematiikan laitoksella perustettuun matematiikkaportaaliin
Intmath. Kirjoitin keväällä 2007
matematiikkalehti Solmuun hieman
rönsyilevän jutun,
jonka tarkoitus oli johdatella mm. matematiikasta
kiinnostuneita lukiolaisia vektoreiden ja matriisien
perusasioihin.
Tavanomaisista sovelluksista poiketen
tuli mieleeni esitellä joitakin sivujuonteita, joihin kuuluivat
äänenkäsittelyvektorit,
alkaen "Tuiki tuiki tähtösestä" ja
huipentuen näytteeseen Händelin Messias-oratorion Halleluja-kuorosta Matlab-
ohjelman "tulkitsemana".
Sysäyksen tälle suunnalle antoi eläkkeelle siirtyessäni aloittamani kuorolauluharrastus
Helsingin kannelkuorossa. (Sattumoisin olimme tuona
keväänä harjoitelleet samaista Halleluja-kuoroa.)
Kirjoitelmaani voi lukea musiikin ja matematiikan vuorovaikutuksen historiallis- esteettisestä näkökulmasta, digitaalisen äänenkäsittelyn matemaattisten perusteiden näkökulmasta tai puhtaasti kuorolaisen kannalta, jolloin matemaattiset perusteet voi unohtaa ja ryhtyä kokeilemaan kehittelemiäni pikku työkaluja suoraan käytännön stemmaharjoitteluun.
Esiintyvä matematiikka sisältyy kokonaisuudessaan lukion oppimäärään, lukuunottamatta paria viittausta Fourier-sarjoihin ja -muunnokseen. Musiikin teorian tuntemusta ei juurikaan oleteta. Tekstin linkeissä ja lopun viiteluettelossa on runsaasti musiikkimateriaalia kiinnostuneille.
Viimeisenä, vaan ei vähäisimpänä näkökulmana on matemaattisten ohjelmistojen käyttö. Niistäpä riittää aiheita myös jatkokirjoituksiin. Tämän jutun ohjelmina ovat Matlab ja sen vapaasti saatavilla olevat "kloonit" Scilab ja Octave. Ohjelmien suhteen tarvitaan vain aivan "infinitesimaalinen" osajoukko niiden arsenaalia. Solmu-kirjoituksen "Lyhyt Matalab/Scilab-ohje" s. 3 alkaen on riittävä. Esimerkeissä käytän kahta ensinmainittua ohjelmaa. Perusteellisempaa Matlab-oppia voi katsoa vaikka täältä.
Tarunhohtoinen Pythagoras
Samoksen saarella Kreikassa n. 570-580 (eaa) syntynyt ja myöhemmin Etelä-Italiassa toiminut, pythagoralaisen matemaattis-mystisen koulukunnan oppi-isä on suuresti vaikuttanut niin matematiikan kuin länsimaisen musiikin perusteisiin. (Eri lähteissä esiintyy elinajan suhteen hajontaa, joka tapauksessa mies saavutti varsin kunnioitettavan iän, ehkä jopa n. 80 vuotta.) Pythagoralaisten keskuudessa lienee tullut käyttöön opetussuunnitelma, jossa geometrialla, aritmetiikalla, astronomialla ja musiikilla, myöhemmin latinankielisellä nimellä quadrivium tunnetulla yhdistelmällä, oli keskeinen asema.
Pythagoras loi matemaattisen ja akustisen musiikinteorian perusteet mm. havaitsemalla, että värähtelevän kielen pituus on kääntäen verrannollinen sen tuottaman äänen korkeuteen. Erityisesti hän huomasi, että jos kielen pituus puolitetaan, niin sävelkorkeus nousee oktaavilla. Hän loi myös ajatuksen maailmankaikkeuden, ihmisen ja musiikin perustumisesta yksinkertaisiin lukusuhteisiin.
Pythagoraan ajattelussa vuorovaikutus matematiikan ja musiikin kesken kulki molempiin suuntiin. Esimerkkinä musiikin vaikutuksesta matematiikkaan mainittakoon, että hän määritteli
joukon keskiarvoja,
joista tunnetuimmat ovat aritmeettinen
ja geometrinen , hieman vähemmän tunnettu on harmoninen .
Harmoninen keskiarvo määritellään kaavalla $k_h={\frac {2 a\,b}{a+b}}.$
Jos ajattelemme, että $c$ edustaa c-nuotin värähtelytaajuutta, niin $2\,c$ on oktaavia
korkeampi taajuus. Vastaavat värähtelevän kielen pituudet ovat verrannollisia
käänteislukuihin. Jos sijoitetaan edellä olevaan kaavaan $a=\frac{1}{c}$
ja $b=\frac{1}{2 c}$, saadaan $k_h = \frac{2}{3 c}$, joten värähtelytaajuus on
$ \frac{3 c}{2}$. Tämä tarkoittaa, että oktaavin päähän toisistaan viritettyjen kielten
pituuksien harmoninen keskiarvo on kielen pituus, joka soi puhtaan kvintin päässä
alkuperäisestä sävelestä (tässä c). Kvintti-intervalli lienee soinut Pythagoraan korvassa
erityisen harmonisena.
Kun
erityisesti lukujen $6$ ja $12$ harmoninen keskiarvo on $8$, saattoi Pythagoras
hyvällä syyllä kutsua
lukukolmikkoa
$(6,8,12)$ harmoniseksi.
Tästä syystä esimerkiksi
kuutio, jossa on 6 sivutahkoa, 8 kärkeä ja 12 särmää, oli harmoninen kappale. Toisin sanoen
kuution geometrinen harmonisuus perustui
kvintin harmoniseen sointiin.
Pythagoralaisten veljeskunnan symboli oli yllä vasemmalla kuvassa esiintyvä pentagrammi, säännöllisen viisikulmion lävistäjien muodostama viisisakarainen tähti, jonka keskustan muodostaa säännöllinen viisikulmio. Symbolin ja kuvioon sisältyvän matematiikan yhteydestä janojen yhteismitattomuuden keksimiseen on spekuloitu. Musiikkiin liittyen luku $5$ luonnehtii edellä mainittua kvintti-intervallia, jolla on tärkeä sija musiikissa, onhan monen kieli-instrumentin, kuten viulun, sellon, mandoliinin ym. kielet viritetty kvintin päähän toisistaan.
Lopussa mainituista Pythagoras-lähteistä noudattelen läheisimmin Matti Lehtisen Matematiikan historiaa Solmu-verkkolehdessä
Sinisointia
Kuten tunnettua, ääni on ilmassa (tai muussa väliaineessa) etenevää aaltoliikettä.
Oivallinen johdatus ääni-ilmiöihin on sivustolla:
Äänipää, akustiikan ja äänitekniikan erikossivu.
Jos äänessä on vain yksi taajuus, se on puhdasta sinivärähtelyä. Jos
siniaalto värähtelee "yksiviivaisen" perus a:n taajuudella, 440 Hz,
sitä esittää funktio
$$y=\sin (2\pi\,440\,t) .$$
Kuvaaja voidaan piirtää Matlab tai Scilab-ohjelmalla komennoilla:
t=linspace(0,1,8192); % Aikaväli (0,1) jaetaan 8192:een osaan.
y=sin(2*pi*440*t); % 440 Hz:n siniaalto t-pisteissä.
plot(t(1:100),y(1:100)) % Rajoitutaan 100:aan ensimmäiseen arvoon,
% jotta kuva ei tule sotkuiseksi liiasta datasta.
Miksi juuri 8192 ? Kyseessä on "näytteenottotaajuus", kuinka monta näytettä
siniaallosta otetaan, kun analoginen signaali digitoidaan. Tällöin yhtä jaksoa kohti tulee
n. 20 näytettä, jolloin silmä hahmottaa syntyvän murtoviivan sileänä
sinikäyränä. (Luku 8192 sattuu olemaan $2^{13}$. Näytteenottotaajuudeksi
pyritään ottamaan kakkosen potenssi, jotta ns. nopea Fourier-muunnos
toimisi mahdollisimman tehokkaasti.)
Edellä muodostettu diskreetti y-signaali voidaan
ohjata tietokoneen grafiikkakortin sijasta äänikortille yksinkertaisesti korvaamalla yllä
"plot" komennolla
"sound(y)" Tässä tapauksessa saadaan ihastella sekunnin ajan
puhtaan siniaallon tuottamaa steriiliä äänisignaalia.
Tasavireinen sävelasteikko
Kuten todettu,
oktaavi on taajuusalue, jossa taajuus kaksinkertaistuu, ja korva tietyllä tavalla samaistaa oktaavin päässä olevat
äänet. Kuuloalue 20-20 000 Hz sisältää n. 10 oktaavia.
Länsimaisessa musiikissa oktaaviala jaetaan kahteentoista osaan. Yksinkertaisimmalta tuntuisi jakaa
taajuudet tasan niin, että kahden peräkkäisen sävelen taajuuksien suhde on vakio. Jos näin menetellään,
saadaan tasavireinen asteikko, jonka peräkkäisiä sävelaskelia kutsutaan puolisävelaskeleiksi.
Itse asteikko on nimeltään kromaattinen asteikko.
Tämä onkin varsin yleinen tapa nykyään ja erityisesti
kiinteästi viritettäville instrumenteille (kuten piano) se on eniten käytetty.
Tehtävä:
Määritä tasavireisen kromaattisen asteikon kahden peräkkäisen nuotin taajuuksien suhde q .
Ratkaisu: Olkoon $\omega_0$ jokin taajuus, kuten vaikka yksiviivainen a=440 Hz.
Oktaavia ylempi taajuus on $\omega_{12} = 2 \omega_0.$ Seuraava nuotti saadaan
edellisestä $q:$lla kertomalla, joten:
$$\omega_1=q\,\omega_0, \ \ \omega_2=q\,\omega_1 = q^2 \omega_0, \ldots , \omega_{12}= q^{12} \omega_0. $$
Siispä $q^{12}\omega_0 = 2\omega_0, $ joten $q=\root 12 \of 2.$
Taajuuksien suhde on siis irrationaaliluku, eikä pythagoralaisen ihanteen mukainen kahden pienen kokonaisluvun osamäärä. Jos verrataan puhtaan kvintin nuottien taajuuksien suhdetta vastaavaan tasavireiseen, saadaan: puhdas kvintti : $3/2 = 1.5000$ ja tasavireinen: $q^7 = 1.4983$, missä siis $q=\root 12 \of 2$. Tämä epätarkkuus johtaa ns. "Pythagoraan kommaan", josta tarkemmin mm. Tampereen yliopiston "Mute"-sivulla.
Oktaavin alue pianon koskettimilla rajautuu selkeästi valkoisiin koskettimiin, jotka soittavat c-duurin
säveliä: c,d,e,f,g,a,h.
Tätä 7:n sävelen jonoa kutsutaan diatoniseksi asteikoksi,
Kahden peräkkäisen valkoisen koskettimen välillä on puolisävelaskel, muuten kokoaskel. Siten puolisävelaskeleet ovat väleillä (e,f) ja (h,c). Jos mukaan otetaan myös pianon mustat koskettimet, saadaan koko
edellä esitelty kromaattinen asteikko.
Havainnollinen kuva sävelasteikoista nuottiviivastoilla nimityksineen
on tällä musiikin teorian opetussivulla. sekä
WIKI-sävelasteikkosivulle
Lainaan sivuston
Äänipää taajuutta koskevalta
alasivulta kiintoisaa viritystietoa:
"Musiikissa käytetään viritysäänenä normaali-a:ta, joka nykyisin on 440 Hz. Se sovittiin vuonna 1939 Lontoossa. Viritysääni saadaan ääniraudasta. Viritystaajuus on vuosisatojen kuluessa muuttunut Ennen toista maailmansotaa soittimet viritettiin matalammalle, normaali-a oli esim. Ranskassa vuodesta 1859 alkaen keskimäärin 435 Hz. Sitä ennen viritystaajuus oli hyvin vaihteleva. Eri maissa ja eri paikkakunnilla käytettiin tuolloin hyvinkin erilaisia virityksiä. Muusikot koettivat sopeutua tilanteeseen transponoimalla eli soittivat eri korkeudelta kuin säveltäjä oli kirjoittanut. 1700- ja 1800-luvuilla musiikkia soitettiin pienemmissä konserttisaleissa kuin nykyisin. Händelin kerrotaan suosineen viritystaajuutena 423 Hz ja Mozart käytti taajuutta 422 Hz. Viime vuosikymmeninä viritys on entisestään noussut; nykyisin orkesterit käyttävät viritysäänenä 443-444 Hz. Tätä on selitetty sillä, että konserttisalit ovat suuria ja siellä on paljon häiriöääniä, joiden läpi musiikin on tunkeuduttava. Korkeammat äänet ovat läpitunkevampia ja kirkkaampia. Erityisiä ongelmia tulee kuitenkin laulajille, jotka joutuvat sopeutumaan luonnottoman korkeisiin ääniin."
Matti Jordmanin laatimilla Musiikin teorian perusteiden opetussivuilla on havainnollisesti mm. nuottien ja oktaavialojen nimet. Esimerkiksi edellä mainittu "perus-a" kuuluu oktaavialaan "yksiviivainen".
Intervallit, asteikot
Tasavireinen asteikko vaikuttaa ensisilmäyksellä ainoalta oikealta, mutta asiaa tarkemmin tutkiessaan suorastaan
mykistyy eri sävelasteikkojen moninaisuuden edessä.
Otetaanpa aluksi muutama sana intervalleista.
Edellä puhuttiin kvintistä. Musiikkiopissa esiintyviä intervallien nimiä ovat: priimi, sekuntti, terssi, kvartti,
kvintti, ... .
Erinomaisen selkeä taulukko kaikista intervalleista on
Wiki-Intervallit-sivuilla.
Nimitykset viittaavat siihen, kuinka suuri nuottien väli on diatonisella asteikolla, kun
myös "päätepistenuotit" otetaan mukaan. Siten priimi tarkoittaa joukkoa, jossa soi kaksi samaa nuottia
(lukumäärä 1) ja vaikkapa kvintti koostuu esimerkiksi nuoteista c,g, joiden välissä on kolme nuottia d,e,f. Siten
"suljetulla nuottivälillä" on 5 nuottia. Intervallit ovat "pieniä, suuria, ylinousevia" ym. riippuen
siitä, miten diatonisen asteikon puolisävelaskelet sijoittuvat välille.
Selkeintä on antaa puolisävelaskelien lukumäärä, kuten tuossa Wiki-taulukossa, joskaan lukumääriin viittaavat nimitykset eivät osu silloin
kohdalleen. Jos katsomme taas lempi-intervalliamme kvinttiä, niin siinä on $7$ puolisävelaskelta.
Samassa taulukossa on annettu puhtaiden intervallien (rationaaliset) taajuuksien suhteet, jotka siis
eivät voi olla samoja kuin tasaviritetyn asteikon irrationaaliset suhteet.
Tarkempaa tietoa yllä pinnallisesti esitellyistä aiheista on viitteissä:
- Mute - Musiikin teoriaa webissä/asteikot
- Mute - viritysjärjestelmät
- muhi-musiikin historiaa verkossa, Siba
Sävelasteikkojen esittäminen ja soittaminen tietokoneohjelmalla
Sävelasteikot voidaan nyt helposti saattaa muotoon, joka mahdollistaa niiden soittamisen yllä mainitulla Matlab:n sound-funktiolla. Muodostetaan tasavireinen asteikko. Kirjoitetaan Matlab-skripti, eli komentotiedosto nuotit.m, joka hoitaa homman. Tiedoston alku olkoon mukavuussyistä näkyvissä suoraan. (Kommenttirivit alkavat %-merkillä.) Periaatteesta saanee jonkinlaisen käsityksen, vaikka Matlab-kieli olisi vieras.
Huom: Valitettavasti olen alunperin kirjoituksessa erehtynyt nimittämään perus-a:ta "pieneksi", vaikka se oikeasti kuuluu oktaavialaan "yksiviivainen". Yllä olen korjannut nuo erehdykset, mutta alla olevaan Matlab-skriptiin en enää halua kajota. Niinpä siinä esiintyvät nuottisymbolit soivat nimeensä nähden oktaavia ylempänä. Tällä ei ole merkitystä muun kuin oktaavialojen nimien harhaisuuden kannalta. Valitan tätä, mutta muutokset vaikuttavat senverran moneen paikkaan, että en siihen ryhdy. (11.09.09)
% Tiedosto nuotit.m 11.4.2009 HA
% %-merkki rivin alussa alkaa kommentin, jos sen perässä on Matlab-komento,
% saat sen suoritukseen poistamalla %-merkin edestä.
% Nuottien värähtelytaajuudet, tasavireinen asteikko
% Oktaavit: SUURI, pieni, yksiviivainen,kaksiviivainen
% Kirjoita Matlab-komentoikkunaan: >> nuotit
q=2^(1/12); %Peräkkäisten taajuuksien suhde
a=440; % Perus-a.
% a=q*440; % Transponoi skaalan 1/2 sävelaskelta ylös.
% a=q^2*440; % Transponoi koko askeleen ylös
% a=440/q; % Transponoi 1/2 sävelaskelta alas.
% Transponoinnin jälkeen pitää ajaa nuotit-skripti ja stemma uudestaan.
%
pieni=a*q.^(-9:2); % Pienen kromaattisen skaalan kaikki 12 nuottia
SUURI=pieni/2;
yksiviivainen=2*pieni;
kaksiviivainen=2*yksiviivainen;
c=pieni(1);cis=pieni(2);d=pieni(3);dis=pieni(4);e=pieni(5);
f=pieni(6);fis=pieni(7);g=pieni(8);gis=pieni(9);a=pieni(10);
ais=pieni(11);h=pieni(12);
des=cis;es=dis;ges=fis;as=gis;b=ais;
...
Kunkin muuttujan c,cis,d,dis, ... arvona on tässä tapauksessa sävelasteikon
"pieni" asianomaisen nuotin taajuus.Loppuosassa tiedostoa tehdään vastaavat
sijoitukset vektorien SUURI,yksiviivainen ja
kaksiviivainen alkioille (taajuusarvoille).
Muuttujien nimet ovat C,Cis,... ja c1,cis1,...
sekä c2,cis2,... .
Nyt on helppo soittaa mitä tahansa melodioita yllä esitellyn
sound-funktion avulla.
Solmu-lehtikirjoituksessani esitin pienen ohjelmasilmukan, jolla soitetaan
laulu "Tuiki tuiki tähtönen". Tuo on helppo kirjoittaa yleiseksi ohjelmaksi,
jolle annetaan nuottien muodostama taajuuksien vektori argumentiksi:
Kirjoitetaan tiedostoon soita1.m
seuraavat komennot:
function soita1(nuotit)
FS=8192;
t=linspace(0,1,FS);
for k=1:length(nuotit)
y=sin(2*pi*nuotit(k)*t);
sound(y,FS)
pause(0.05)
end;
Voimme tällä soittimellamme soittaa heti vaikka vektorin cduuri: Matlab-istunto käy näin:
>> nuotit; % Nuottinimiin viedään ko. taajuusarvot
>> cduuri=[c d e f g a h c1];
>> soita1(cduuri)
"Soittimemme" virittäminen
Edellä esitetty komentotiedosto eli "skripti" nuotit.m virittää soittimemme tasavireisesti ja sen mukaan transponoiden, miten a-nuotin arvo valitaan. Tällaisen soittimen virittäminen mihin tahansa viritysjärjestelmään käy käden käänteessä. Jos taajuudet saadaan matemaattisella kaavalla, kuten tasavireisessä, asia hoituu vaivattomasti. Mutta miltei yhtä helppoa on hakea kromaattisen asteikon nuottien taajuusarvot annetusta taulukosta. Asteikkovektoriin sijoitetaan nuo 12 lukua, ja sitten koko vektori kerrotaan $2$:n potensseilla, saadaksemme eri äänialat. Jos tiedossa on vain diatonisen asteikon arvot, on luontevinta laskea puolisävelaskeleet geometrisen keskiarvon kaavalla: $$\omega_{1/2}=\sqrt{\omega_1\,\omega_2}.$$ Esimerkkinä kirjoitin Mute/sävelasteikot-viitteen mukaisesti pythagoralaisen skaalan tiedostoon pythagoras.m Jos sijoitat tiedoston Matlab-polulle ja kirjoitat Matlab:ssa pythagoras saat tuon sävelasteikon nuottiarvot käyttöösi. Siitäpä voit oman sävelkorvasi turvin arvioida, kumpi tuntuu oikeammalta.
Kuorolaisille stemmaharjoittelua
Muusikon ei välttämättä tarvitse tietää mitään edellä olevasta matemaattis-fysikaalisesta osuudesta, eikä myöskään soita-funktion tietotekniikasta yhtä vähän kuin vaikkapa pianistin on tarpeen tietää, mikä on soittimen äänen teoreettinen tausta.
Katsotaanpa alkutahteja Uusmaalaisten laulusta.
(Näiden nuottien suhteen ei
pitäisi olla tekijänoikeusongelmaa, kun ne ovat kaikkien nähtävillä
Järvenpään-Tuusulan paikkeilla Lahdentien varrella.)
Sopraanostemman, eli perusmelodian soittaminen käy näin: (kun varastetaan
vielä yksi nuotti ja "veet" seuraavalta riviltä).
>> uusmaa_alku=[d1 d1 g1 h1 d2 c2 h1 a1 g1 a1 h1 g1 a1];Kukin ääniala (sopraano, altto, tenori, basso) voi kirjoittaa oman stemmansa samaan tapaan ja sitten vaan antaa soida. Siniaalto soi väritöntä sointiaan oikein sävelkorkeuksin. Nuotti-informaatiosta on toistaiseksi käytetty vain sävelkorkeus. Miten saataisiin nuottien aika-arvot mukaan? Yksinkertaisin tapa on muuttaa soita1-funktiossa pause(0.05) pelkäksi pause:ksi, jolloin kunkin nuotin jälkeen soittimemme odottelee ENTER:n painallusta. Vastaava komento Scilab:ssa on halt(). Koko Scilab-funktio soita1.sce on tässä Soitto "soita1"-soittimella soi leikkimällä, että näppäimistön ENTER on pianon kosketin, jolla houkutellaan kukin nuotti soimaan sinisointiaan oikella sävelkorkeudella. Rytmi hoidetaan manuaalisesti laulamalla ja laskemalla se itse. Tämä vastaa melodian tapailua pianolla, mutta ei vaadi sävelkorkeuksien hapuilua kuin kerran. (Toki pianon sointi on korvalle nautittavampaa, mutta "oikean" harjoittelunhan kuuluu olla hieman ankeaa.) Etköhön jo kokeilisi!
>> soita1(uusmaa_alku)
Tehtävä:
(a) Soita Uusmaalaisten laulun alku.
(b) Kirjoita jokin muu stemma yllä olevan nuottirivin mukaan ja soita.
>> nuotit % Nuottinimille asetetaan taajuusarvot.(b)-kohta ei lisäneuvoja kaipaa. (2) Jos sinulla ei ole Matlabia, etkä sitä muuhun tarvitse, niin
>> uusmaa_alku= (kuten yllä) % Pianonäppäilyt talteen
>> soita1(uusmaa_alku) % Soitetaan talletetut näppäilyt.
- Lataa koneellesi Scilab täältä.
- Lataa itsellesi tiedostot nuotit.sce, soita1.sce ja sijoita ne sopivaan hakemistoon.
-
Käynnistä ohjelma ikonista ja mene tuohon sopivaan hakemistoon, esim näin:
-->cd C:\Users\Heikki\musiikki\Kannelkuoro - Suorita nuottiarvojen määritys ja ota käyttöön funktio soita1:
--> exec nuotit.sce; getf soita1.sce
-
Soita mitä haluat, kokeile nyt aluksi tuota samaa uusmaa_alku-
vektoria. Siis
-->soita1(uusmaa_alku)
Soitto jatkuu ENTER:llä nuottivektorin loppuun saakka.
Musiikin rytmi
Toinen musiikin peruskomponentti saadaan mukaan esittämällä sävelkulku 2-rivisenä matriisina. Yllä oleva Uusimaa-sopraanostemma voitaisiin esittää näin:d1 d1 g1 h1 d2 c2 h1 a1 g1 a1 h1 g1 a1
1 1 1 1 3/2 1/2 1 1 1 1 1 1 2
Tässä on otettu neljäsosanuotille aika-arvo 1, jolloin kahdeksasosanuotin aika-arvo=1/2, pisteellisen 8-osan 3/4 jne. Tauko voidaan esittää vaikkapa niin, että annetaan taajuusarvoksi 0 ja kestoksi tietenkin tauon kesto. (Kun taajuus on 0, mitään värähtelyä ei tapahdu, joten mitään ei kuulu.) Esimerkiksi neljäsosatauko ilmaistaisiin sarakkeella, jossa ylärivillä on 0 ja alarivillä 1.
Tällaisen musiikkitietorakenteen soittamiseksi tein Matlab-funktion
soita tiedostoon
soita.m
Käyttöohjeen saa komennolla help soita
>> help soita
22.3.09 HA
Ensin ajetaan skripti nuotit, joka asettaa nuottinimille niiden taajuusarvot (Hz).
Laulutiedostoon (esim. lauluja.m) kirjoitetaan nuottien korkeudet ja kestot.
Esim: Uusmaalaisten laulun alku:
Esitetään stemma 2-rivisenä matriisina, ylärivinä
sävelkorkeudet, alarivinä kestot alla olevan mallin mukaan.
nuotit % Skripti nuotit.m antaan taajuusarvot nuottinimille.
savelkorkeus=[d1 d1 g1 h1 d2 c2 h1 a1 g1 a1 h1 g1 a1];
kesto=[1 1 1 1 3/2 1/2 1 1 1 1 1 1 2];
Uusmaa=[savelkorkeus;kesto]; % 2-rivinen "stemmatietorakenne"
soita(Uusmaa,1/2) % 1/2 on aikaskaala (oletus 1)
soita.m-funktioon on kirjoitettu mahdollisuus antaa
aikaskaala lisäparametrina. Nyt on helppo harjoitella kuorostemmaa aluksi
hitaalla tempolla ja oppimisen edistyessä nopeammalla.
Funktio "soita" voitaisiin toteuttaa Scilabilla, mutta siitä en ole löytänyt
pause(t)/halt(t)-muotoista komentoa, mikä tekee funktiosta
hiukan vähemmän automaattisen. Toinen ilmainen mahdollisuus olisi Octave. Jos
joku ilmaisee kiinnostuksensa, niin selvittelen tarkemmin näitä.
Kuoroon!
Jotkut lukijat lienevät huomanneet Yle Teemalla viime vuonna olleen, Inari Nuuteron
ja Pasi Hyökin toteuttaman ohjelman, jossa innostettiin kuoroharrastuksen pariin.
Samalla otsikolla yllytän lukijaa. Kuoron valitsemiseksi kannattaa tutustua
SULASOL:n kuorosivuille
Oma kuorourani Helsingin kannelkuorossa alkoi vasta eläkeiässä, suosittelen lämpimästi aloittamaan viimeistään silloin.
Edellä esitelty stemmasoitin voi olla hyödyksi juuri itseni kaltaiselle aloittelevalle kuorolaulajalle,
omaan tarpeeseen sen kehitin.
Äänenkäsittelytekniikkaa
Jos haluttaisiin kehittää soitin, jolla oikeiden soittimien äänen väriä voitaisiin simuloida, pitäisi lisätä niille luonteenomaisia ylä-ääniä. Havainnollinen esitys on Äänipää-sivulla otsikolla "Taajuudet ja äänispektri". Tämä johtaa Fourier-analyysiin, voitaisiin ottaa mukaan ylä-äänien edustamia Fourier-komponentteja. Toisaalta maailmalla on hyvin kehittyneitä äänenkäsittelyohjelmia, äänieditoreita ja standardoituja äänitietorakenteita ja -formaatteja. Tällä suunnalla ehkä MIDI on samanhenkinen, toki huomattavasti kehittyneempi kuin edellä kuvattu äänimatriisi. (Tässä MIDI-määrittelyjä ja tässä tutkimusta: MIDI-toolbox for Matlab ) Äänieditoreista mainittakoon korkatasoinen julkisohjelma: Audacity ja samoilla sivuilla esitelltävä Nyqvist-kieli
Kiintoisaa olisi tietysti edetä oman soittimen kehittelyssä, nähdä, kuinka matemaattinen teoria (Fourier-analyysi) voidaan muuttaa musiikiksi. Toisaalta alkuperäinen tarkoitus stemmaharjoittelutyökalusta tulee yllä esitellyillä välineillä jo kohtuudella saavutetuksi, varsinainen sähköinen musiikin tuottaminen voidaan jättää alan erikoisohjelmistoilla toteutettavaksi.
Matematiikan ja musiikin kauneus
Pythagoras tarkasteli musiikkia sekä matemaattis-akustiselta että estetiikan kannalta.
Sävelten välisten matemaattisten suhteiden pohjalta hän kehitti oppinsa kosmisista suhteista, sfäärien harmonian.
Planeettojen välisten etäisyyksien ja musiikin värähtelyharmoniat meinivät ehkä jo enemmän mystiikan puolelle, mutta
jotain suurta kosmologista yhteyttä musiikin ja matematiikan kesken hän tavoitteli.
Musiikin ja matematiikan kauneudessa on varmasti paljon yhteisiä piirteitä.
Matematiikan kauneudesta tosin ei yleensä voi heittäytyä nauttimaan ilman asianomaisen alueen
perusteiden tuntemista. Mutta eroavaisuudet ovat ehkä hienovaraisempia kuin useinkaan tullaan
ajatelleeksi. Yhteisestä kauneushypoteesistä todistusaineistona
tulee näin pääsiäisen aikaan mieleen Matteus-passio. Bachin ylimaallisen kauniiden sävelten maailmasta
väliajalle laskeutuessaan törmää vuodesta toiseen moniin tuttuihin matemaatikoihin.
Viitteitä
Matematiikkaa ja historiaa- Solmuun, koululaisille suunnattu matematiikan verkkolehti, Helsingin yliopisto
- Matti Lehtinen, matematiikan historia: Pythagoras (Solmun sivustolla)
- Matemaattisia linkkejä, Intmat-portaali
- Pythagoras' life
- Äänipää-sivusto, taajuudet
- Mute - Musiikin teoriasivusto, Tampereen yliopisto
- Oktaavialat ja musiikin teoriaa, Sibelius-akatemia
- Intervallit, Wikipedia
- Muhi - Musiikin historiatietokanta, Sibelius-akatemia - viritys
- SULASOL (Suomen laulu ja soitto), kuorosivut
- Musiikin opetussivusto, Matti Jordman, asteikot
Blogit
Tason lineaarikuvaukset ja ominaisarvot (2010-09-27 14:03:33.815131)
Tiedostojani läpikäydessäni löysin Maple-työarkin ("worksheet") ja sen html-käännöksen, joiden avulla erityisesti ominaisarvojen geometrisen merkityksen opiskelua voisi toivoa auttavansa. (Itse olen sitä tällaisten kehitelmieni avulla yritellyt.)
ominaisarvot.mw, Maple-työarkki (Älä suotta klikkaa, ellei sinulla ole Maplea.)
Edellisen html-käännös .
Jälkimmäinen on html-dokumentti, joka siis saadaan Maple-työarkista suoraan EXPORT->HTML-valinnalla. Edellinen on vuorovaikutteisempi ja sitä voi Maple-ohjelman omaava modifioida oman makunsa ja tarpeidensa mukaan.
Vastaavia on tietysti paljon liikkeellä, itsekin olen käyttänyt ja tehnyt niitä Matlabilla, jolla yllä olevan työarkin "Strangin talot" on alunperin tehty. Työarkki ja Maplen animaatioiden teon helppous omien pikku apufunktioiden avulla antavat hyvän alustan tällaiselle dokumentille.
Abstrakti on kirjoitettu englanniksi, varsiniset opetustekstit suomeksi. Kopioin abstraktin tähän:
The purpose is to teach linear mappins, their geometric meaning in the plane and especially the geometric idea of eigenvelues/eigenvectors.
The worksheet contains several animations. They should be run by clicking the plot (the initial frame), which gives the user an animation toolbar. The most useful tool is perhaps the slider. This requires you to have Maple (or at least Maple reader (?)).
There is an html-export: ominaisarvot.html. In this case no user interaction is possible, the animations run continuously, but nevertheless, the specific behaviours can be clearly seen and understood.
Matemaattisia kaavoja (2008-11-29 18:17:34.473242)
Rakas Blogi! Aloitan kirjoittelun ihan kokeilemalla. Kiintoisaa nähdä, miten monipuolinen ja käyttökelpoinen tämä sinun kirjoitusalustasi on matemaattiseen tekstiin. Kas tässä nyt aluksi Maplella generoitu matriisi. $A= \left[ \begin {array}{ccc} a_{{1,1}}&a_{{1,2}}&a_{{1,3}} \\\noalign{\medskip}a_{{2,1}}&a_{{2,2}}&a_{{2,3}}\\\noalign{\medskip}a _{{3,1}}&a_{{3,2}}&a_{{3,3}}\end {array} \right] $ ja "display math:na": $$A= \left[ \begin {array}{ccc} a_{{1,1}}&a_{{1,2}}&a_{{1,3}} \\\noalign{\medskip}a_{{2,1}}&a_{{2,2}}&a_{{2,3}}\\\noalign{\medskip}a _{{3,1}}&a_{{3,2}}&a_{{3,3}}\end {array} \right] $$ Nähtävästi \emph{tulosta} ei pääse näkemään ennen tallennusta, jolloin riskinä on, että se menee heti "eetteriin". Siksipä jätän ensimmäisen kokeilun (miltei) tähän. (Vastailin \emph{Simo Kivelän} blogikirjoitukseen suunnilleen tähän samaan tyyliin, mutta se kai odottaa moderaattorin harkintaa ensin.) (Kokeilin samalla vähän fontteja niin $\LaTeX$ kuin html.) Tällaisiinkin on usein tarvetta: $$\begin{cases} x+y+z=1\\ 2\,x + 3 y +4z = 0 \\ x-z = 100. \end{cases} $$ Olkoon se nyt siinä! t. Heikki ApiolaHuomioita musiikista, matematiikasta ja ohjelmistoista (2009-11-09 10:44:03.746580)
Viime keväisen kirjoitukseni jälkeisen palautteen innoittamana olen tehnyt joitakin lisäkehitelmiä, huomioita, korjauksia.
Kuorolaisia ajatellen merkittävin on mahdollisuus kirjoittaa
stemma äänitiedostoksi, vaikkapa 'stemma.wav' .
Tällöin käyttäjän ei tarvitse muuta kuin sohaista hiirellä
tätä tiedostoa, niin se alkaa soida tietokoneen oletussoittimella
(esim. Mediaplayer). Matlab-toteutuksesta kiinnostuneille näytän
uuden tiedoston
soita.m
>> nuotit % Skripti nuotit.m antaan taajuusarvot nuottinimille. >> savelkorkeus=[d1 d1 g1 h1 d2 c2 h1 a1 g1 a1 h1 g1 a1]; >> kesto=[1 1 1 1 3/2 1/2 1 1 1 1 1 1 2]; >> Uusmaa=[savelkorkeus;kesto]; % 2-rivinen "stemmamatriiri" >> soita(Uusmaa,1/2,'uusmaa.wav') % 1/2 on aikaskaala
Tämä on muuten sama kuin ennen, mutta viimeisellä rivillä annetaan parametrina myös äänitiedoston nimi.
Mitä kuorolaisen tarvitsee tietää
Vastaus: Ei mitään muuta, kuin mistä kyseistä laulua ja stemmaa vastaava äänitiedosto löytyy.
Jonkun täytyy se äänimatriisi muodostaa ja Matlabilla ajaa.
Itseäni varten kirjoitan bassostemmat, jotka ajan ja jaan sopivaa
jakelukanavaa käyttäen oman kuoroni kiinnostuneille bassoille.
Muita stemmoja varten voin antaa pikakoulutuksen siitä, miten
stemmamatriisit kirjoitetaan. Itse voin sitten ajaa ne
äänitiedostoiksi.
Numeerista ja symbolista laskentaa
Koska kyseesä on matemaattinen blogi, kirjoitan samaan hengenvetoon hiukan muistakin kuin musiikkiaiheisista sovelluksista. Kysessä on Maplesoftin "Maple toolbox for Matlab" (sivun oikeassa alareunassa), jota jälleen kerran yritän asentaa koneelleni. Kannattaa huomata, että Maplesoft tarjoaa tuotetta tämän kuukauden ajan verkkokaupassaan ilmaiseksi.
Jos jollain on kokemuksia asennuksesta tai käytöstä, kuulen mielelläni. (Itselläni on käytön suhteen lupaavaa, mutta asennuksen suhteen lähes epätoivoista kerrottavaa.) Eräs ongelma näyttää olevan siinä, kun sekä Maple että Matlab päivittyvät varsin tiheällä aikavälillä ja toolboxista näkyy olevan erilainen asennustiedosto riippuen versiokombinaatiosta.
Harkitsen ilmoittautumista Maplesoftin "webinaariin", joka on Suomen aikaa klo 21-22 perjantaina 18.9. Onko kellään webinaarikokemuksia? Kerron omiani, jos pääsen sinne saakka.
Matematiikkaa ja musiikkia (2009-04-12 20:01:53.011477)
Harjoittelin kirjoittamista blogiin otsikon aiheesta, painopisteenä kuorolaulun stemmaharjoittelu. Kirjoitus venyi lopulta senverran laajaksi, että päädyin sijoittamaan sen artikkeliksi. Annan mieluusti tarkempaa tietoa ja "koulutusta", jos vain joku niin paljon kiinnostuu.Musiikkia ja matematiikkaa myös Facebookissa (2010-03-17 20:09:22.652287)
Jospa minäkin välillä kirjoittelisin (ettei jää ihan kokonaan Simon varaan). Ensinnäkin tein vuosi sitten kirjoittamaani "Musiikkia ja matematiikkaa"- juttuun pienen muutoksen aivan loppuun (jääköön tarkemmin spesifioimatta). Verkkojulkaisuissa on se hyvä/huono puoli, etteivät ne koskaan tule valmiiksi. Facebookiin on perustettu matematiikkaa käsitteleviä tai sivuavia ryhmiä: Matematiikka, Matematiikkaa lahjattomille, Erikoispitkä matematiikka, LUMA, Mathematics ... Joissakin näistä on myös Intmath seinällä linkkinä, tosin ei kovin hyvin näkyvästi. Olis varmaan hyvä suunnata näiden ryhmien huomiota tännekin päin, jotta saatais keskustelua ja vuorovaikutusta suuntaan ja toiseenkin. Tuo yllämainittu muutostarve lähti juuri noilla palstoilla olevasta keskustelusta, jossa varsinaisena primus motorina on ansiokkaasti toiminut oulululainen Alli Huovinen. Laitanpa siis jonkinlaisen puffin ainakin Matematiikka-ryhmään. Lisäys 17.3.10: Musiikin suhteen Facebookissa on muutama todella korkeatasoinen ryhmä. Itseäni miellyttää erityisesti "Riston valinta", joka liittyy samannimiseen radio-ohjelmasarjaan (Yle1). Jos vanha musiikki kiinnostaa, niin tuo alkaa olla "must". Kun vielä hankkiuduin Risto Nordellin ystäväksi, niin aivan loistavaa keskustelua ja musiikkivinkkejä saan silmieni eteen.Differentiaaliyhtälöiden numeriikkaa (2011-11-28 14:31:47.671703)
Simo Kivelän blogikirjoituksen innoittamana kirjoitin Maple-ohjelmalla työarkin, jonka pdf-tuloste on tässä.
Samalla jatkoin kokeilua matemaattisen dokumentin tuottamisessa Maplella. Uusien versioiden mukana tässäkin suhteessa on tapahtunut paljon myönteistä kehitystä.
Kuten dokusta ilmenee, aion kirjoitella muutaman lyhyen jutun yhden pitkän sijasta. Kun diffyhtälöiden numeriikasta puhutaan, tulee ohjelmistopuolella itsestäänselvästi mukaan Matlab, joka seuraavassa vaiheessa on esillä Maplen lisäksi.
Mainittakoon, että pidän keväällä (maaliskuussa) Aalto yliopistossa 3:n viikon ohjelmistokurssin (3+3 h/viikko), jossa Maple-Matlab-yhdistelmä aktivoituu/realisoituu.
Yo-koe ja matemaattiset ohjelmistot (2011-11-28 15:15:27.519560)
Jatkan aihetta, josta Simo Kivelä kirjoitti omassa blogissaan (ja itsekin kommentoin). Sen jälkeen aihe oli esillä tapahtumassa
3rd Seminar On New Perspectives In Teaching Mathematics 2011 24.10. Aalto-yliopistossa.
Esityksen koko sisältö täydentävine linkkeineen on tässä
Harjoittelin esitystä varten Maplen uusia dokumentointiominaisuuksia, jotka pienen alkuopettelun jälkeen alkoivat miellyttää. Tässä suhteessa kannattaa myös mainita uudehko tärkeä dokumenttiominaisuus, nimittäin "pdf-export", joka tuottaa kaunista jälkeä, vai mitä?
Ensimmäistä kertaa tämän havaitsin ja siitä ilahduin kirjoittaessani Solmu-lehteen aiheesta: Riittääkö lämmitysöljy, Solmu 1/2011. Tässä on siihen liittyvän Maple-työarkin pdf-käännös. (Solmu-lehti oli jaossa esityksessäni.)
Materiaalia oli runsaasti muutenkin (tapani mukaan liikaa), kun vielä varasin vähän aikaa Maplesoftin esittelypöytää pitäneelle Henrik Pedersenille, joka kertoi Tanskassa käytössä olevasta kouluprojetista
Koko hakemisto valmiine ja puolivalmiine kehittelyineen on auki tutkimista varten.
Yllä mainitusta syystä tuli aikapula ja loppukeskustelulle ei jäänyt aikaa. Kysymyksiä voi lähettää jälkikäteen joko tässä tai suoraan maililla tai sopivissa Facebook-ryhmissä, joissa ilmoittelen aiheesta.
Keskustelustani Henrik Pedersenin kanssa jäi erityisesti mieleen mm. nämä näkökohdat:
- Maple on ohjelma, jonka hyvien dokumentointiominaisuuksien ansiosta on mukava kirjoittaa harjoitustyö- ja esseetyyppisä esityksiä, jotka toimivat elävinä, suoritusvalmiina dokumentteina.
- Oma kiehtovuutensa on siinä, että käytössä on ohjelma, jonka mahdollisuudet eivä rajoitu pelkkään koulumatematiikkaan. Se antaa opettajalle hyviä välineitä motivoimiseen.
- Maplesoft tarjoaa kouluille hyvin edullisia (lähes ilmaisia) lisenssejä opetuskäyttöön.