http://www.math.hut.fi/teaching/k3/luentomateriaali/L2-4.html

Päivitetty 17.9.98

Luennot 4-5

to 17.9, pe 18.9.

Kirjalyhenteet:

   KRE Kreyszig (7. painos)
   GRE1 Greenberg 1. painos
   GRE2 Greenberg 2. painos
   STR  Strang: Linear Algebra

Näissä kirjojen kohdissa on tähän liittyvää

*** päivittyy ***

    KRE 7.5,7.6, 7.15
    GRE2 Ch 9: 9.5,9.6,9.7,9.8,9.9
         Ch 10: 10.5,10.8

Matriisin aste, eli rangi, rivi-ja sarakeavaruudet

KRE s. 356->

Gaussin eliminaatiossa esiintyi luku r , jonka suhtautuminen rivien lkm:ään m ja sarakkeiden lkm:ään n määrää ratkaistavuuskäyttäytymisen.

Tarkastellaanpa neliömatriisia A (n x n) .

r=n ==> 1-käs
r< n ==> joko 0 tai ääretön määrä

Mitä suurempi r, sen "säännöllisempi" on A. ("Säännöllinen" neliömatriisi tarkoittaa kääntyvää).

Määrittelemme asteen (rangin) suoremmin kuin: "Luku, joka Gaussin algoritmissa ilmaisee alimman ei-identtisesti 0-rivin rivi-indeksin". Tässä KRE on mielestäni selvästi parempi kuin GRE - tyyli.

Rangin määritelmä

Matriisin A (m x n) aste eli rangi on maksimimäärä LRT rivejä A:ssa.

Rivi- ja sarakeavaruudet

Matriisin riviavaruus on rivivektorien virittämä Rⁿ:n aliavaruus. Vastaavasti sarakeavaruus on sarakevektorien virittämä R^m:n aliavaruus.

Rangi on siis riviavaruuden dimensio.

Pieni tarkennus: Voidaanhan kanta varmasti valita virittäjävektoreista!

Seuraavat kaksi asiaa pätevät äärellisulotteisessa avaruudessa:

1. Mikä tahansa avaruuden LRT joukko voidaan laajentaa kannaksi

2. Mikä tahansa avaruuden VIR joukko voidaan "karsia" kannaksi

Tässä on kyse jälkimmäisestä, molemmat päättelyt ovat hyvin analogiset. Jälkimmäinen menee tähän tapaan:

Olkoon virittäjäjoukko (ajattelemme matriisin rivivektoreita) a₁,...,a_m . Valitaan tästä maksimaalinen LRT osajoukko a₁,...,a_r (järjestetään tarvittaessa uudelleen). Tällöin loput (rivi)vektorit a_r+1,...,a_m voidaan lausua näiden lin.kombinaationa. Ellei voitaisi, olisi pakko olla ainakin (r+1) LRT virittäjä(rivi)vektoria.

Jokainen (rivi)avaruuden vektori on siten lin. komb. vektoreista a₁,...,a_r (lineaarikombinaatio lineaarikombinaatioista on alkup. vekt. lin. komb.), joten a₁,...,a_r on virittävä LRT joukko, toiselta nimeltään (rivi)avaruuden kanta.

Esim.

> with(linalg):
> A:=matrix(3,4,[3,0,2,2,-6,42,24,54,21,-21,0,-15]);
                              [ 3      0     2      2]
                              [                      ]
                         A := [-6     42    24     54]
                              [                      ]
                              [21    -21     0    -15]

> gausselim(A);
                             [3     0     2     2]
                             [                   ]
                             [0    42    28    58]
                             [                   ]
                             [0     0     0     0]

Tämähän tarkoittaa, että jokin ei-triv. lineaarikombinaatio vaakavektoreista on 0-vektori, joten rivit ovat LRV. Jos löydämme 2 LRT rivivektoria, niin rangi = 2.

Tietysti voimme ratkaista lineaarisen riippumattomuuden kääntämällä kaksi vektoria pystyyn ja tekemällä gausselim:n (Kanattaa samalla kääntää koko matriisi pystyyn). No, tässä kyllä näemme heti suoraankin. Itse asiassa kaksi vektroria on heti LRT, jos toisessa on 0 sellaisessa kohdassa, jossa toisessa on # 0 ja jos kumpikaan ei ole 0-vektori. (Mieti hetki!)

Johtopäätös: r(A)=2

Rangilause (KRE s. 357, Thm. 1)

Matriisin max lkm. LRT sarakkeita = max lkm. LRT rivejä.

Siis rangi voitaisiin yhtä hyvin määritellä sarakeavaruuden dimensiona.

Rangilauseen seuraus: dim(rowspace(A))=dim(colspace(A))

Edellisessä esimerkissä voidaan päätellä (mieti!):

Korkeintaan 2 LRT riviä
Vähintään 2 LRT saraketta (esim. 1. ja 2. sar.)

Rangilause ==> r(A)=2

Lause (KRE s. 358) Rangi säilyy rivioperaatioissa.

Huipennus

Lause. r(A) on Gaussin porrasmuodon luku r.

Tod. Koska rangi ei muutu rivioperaatioissa, niin r(A) on sama kuin Gauss-Jordan-muodon rangi:


                               r        n
          -------------------------------
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
          |      I_{r x r}             P   
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
      r   -------------------------------
          |          0         |   0    |
          |          0         |   0    |
      m   -------------------------------

Riveistä katsottuna rangi on korkeintaan r, sarakkeista katsottuna taas vähintään r, joten todellakin, se on tasan r.

7.6. Lineaariset yhtälösysteemit, ratkaisulause

Edellä luennolla 1 (saat, mutta ei tarvitse klikata ...) tulivat eri mahdollisuudet, jotka kerrataan tässä:

(a) r < m ja jokin bmato[i] # 0, r+1 <= i <= m
     Ei ratk.  
Esimerkki  

(b) r=n ja bmato[i]=0, i=r+1 .. m (tai nämä (i > r)bmadot puuttuvat (tap.  m=n))
      yksikäs. ratk. 
Esimerkki 

 (c) r < n ja bmato[i]=0, i=r+1 .. m (tai "kriittiset" bmadot puuttuvat
                                      (tap. m < n ja r = m) )
      äärettömän monta ratkaisua 
Esimerkki  (Myös (a)-kohdassa oli jo yksi.)

Muistetaan, että r oli viimeisen nollasta poikkeavan rivin indeksi.

Mitä vielä tarvitaan? Yllä olevissa ehdoissa on ainakin se puute, että niissä esintyy bmato, joka syntyy vasta erinäisten rivioperaatioiden jälkeen. Olisi tyydyttävää saada aikaan ehdot, jotka voitaisiin lausua alkuperäisen datan avulla, siis A-matriisin ja b-vektorin.

Tähän tarjoutuu oiva tilaisuus, kun käytettävissä on matriisin rangi.

Päälause (LINSYS)

KRE s. 362

Olkoon A (mxn) matriisi ja b sarakevektori (pituus m). Merk. taas:

         Amato=[A b]

(a) Systeemillä A x = b on ratkaisuja JOSS r(A)=r(Amato).

Oletetaan nyt, että ratkaisuja on, eli r(A)=r(Amato)=r.

(b) Jos r=n, niin yksikäsitteinen ratk.
(c) Jos r < n, niin n-r vapaasti valittavaa param. (äärettömän monta ratk.)

Tod (a) Ratkaisujen olemassaolo tarkoittaa sitä, että b-vektori on voitava lausua A:n sarakkeiden lineaarikombinaationa. Mutta tämähän tarkoittaa juuri sitä, että liitettäessä b-sarake A-matriisiin, sen rangi ei kasva.

(b) ja (c)-kohdat eivät ole vaikeita, mutta jätämme ne kuitenkin nyt väliin.

Homogeeninen systeemi

KRE s. 363

Lause 2 (Hsys)

Lause 3

Oli jo ..

Lause 4 (EHsys)

EH-ratk = H_yl+Eh_erityis

7.7 Käänteismatriisi

Käänteismatriisin olemassaolo

Neliömatriisi A (nxn). Käänteismatriisi on JOSS r(A)=n

Käänteismatriisi lasketaan Gauss-Jordanilla (oli jo, myös harj.)
Käänteismatriisia ei lasketa Cramerilla (emme edes opettele sitä)
Käänteismatriisia ei lasketa !

7.8 Determinantit

Jätämme ne omatoimisesti kerrattavaksi. Kannattaa palauttaa mieleen ainakin determinanttien kehittäminen alideterminanttien ja shakkilautamerkkikaavion avulla.

Determinanttien merkitys on luonteeltaan osin historiallista. Ne ovat kauniita, mutta tehottomia. Myöskään teoreettisesti tyylikäs ehto det(A)=0, ei yleisty tilanteeseen "melkein singulaarinen". Ts. det(A) lähes nolla, ei välttämättä kerro matriisin häiriöalttiudesta.

Toinen kaunis, mutta tehoton kaava on Cramerin sääntö. Se on käytännön laskennassa täysin hyödytön (paitsi jos n=3 tai 4) Gauss on aivan ylivertainen.

Tarvitsemme determinantteja jatkossa, jotta osaisimme laskea pieniä ominaisarvotehtäviä käsin.

KRE s. 370 -> esitystapa on tarpeisiimme oikein sovelias. Lähdetään 2x2- determinantista ja laajennetaan tunnettuun tapaan yleisille n-rivisille. Muistathan: Determinantti on luku, kun taas matriisi on lukutaulukko.

7.9 Rangi ja determinantit

Lause 1

... erit. neliömatriisi on singulaarinen (eli ei kääntyvä) JOSS det(A)=0

Lause 4 (determinanttien kertosääntö)

det(AB)=det(A)det(B) Kaunis tulos, helppo muistaa, todistuskaan ei ole ollenkaan niin hankala, kuin voisi luulla. (kts. KRE ss. 384 - 385). Jätämme kuitenkin väliin.