Luennot 1-2

Matriisit ja lineaariset yhtälösysteemit,Maple ja Matlab-perusteita

 KRE : 7.4. s. 344 ->
 GRE  : 8.1 s. 391 ->
 Strang  
Simo Kivelä Algebra ja Geometria luku 4

1. Matriisialgebraa

  
   
 Matriisitulo:  A (m x n), B (n x p), C=AB (m x p)   

                       c[i,j]=sum(a[i,k]*b[k,j],k=1..n) 
   
 Matriisitulo ei yleisesti kommutoi. (A B # B A)               
   
 Transpoosi AT
   
 Yksikkömatriisi Id:=diag(1,1,...1);
   
 Käänteismatriisi A-1	
   
 Determinantit ??


 Matriisien käsittely Maple:lla 

	  
> with(linalg):  # Ladataan lineaarialgebrapakkaus
> A:=matrix(3,4,[a[1,1],a[1,2],...,a[3,4]]); 
          3 x 4 - matriisi täytetään vaakariveittäin.
      
> B:=matrix(4,5,b); # 
Toinen tapa on antaa vaakalistojen listana (lähellä Matlab-syntaksia).
matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]);

Matriisialgebra toimii + ja - laskuissa normaaliin tapaan. Skalaarilla
kertomisoperaatio on *

Matriisikertolaskun symboli on &*
Normaali tapa laskea on
> C:=evalm(A &* B);

Maplessa tarvitaan aina loppumerkki (; tai :), kaksoispiste (:) estää
tulostuksen.

Maple käsittelee sekä symbolisia että numeerisia matriiseja.
Rationaaliluvuilla se operoi tarkasti, ellei erityisesti pyydetä
liukulukulaskentaa.


 Matriisien käsittely Matlab:lla 


>> A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12]
>> B=A'
>> C=A*B

Matlab:ssa ei tarvita loppumerkkiä. Jos tulostus halutaan estää, lopetetaan
puolipisteeseen (;)
Matlab käsittelee vain numeerisia matriiseja, mutta niitä sitten tehokkaasti.




 2. Lineeriset yhtälösysteemit, Gaussin eliminaatio 

   A x =b, missä
     A on kerroinmatriisi (m x n) (m yhtälöä, n tuntematonta)
     x on tuntemattomien muodostama sarakevektori     (n x 1)
     b on annettujen lukujen muodostama sarakevektori (m x 1)



Ratkaisujen lukumäärä voi olla 0, 1 tai ääretön, kuten jo 2 x 2 systeemeistä
tiedetään (yhdensuunt. suorat, leikkaavat suorat, yhtyvät suorat).

 Riviajattelu: Suorien leikkauspiste  

 Sarakeajattelu: Etsitään annetun vektorin (b) koordinaatit
matriisin sarakevektorien avulla esitettynä.

 Gaussin eliminaatio, s. 347

 Alkeisrivioperaatiot 

   1. rivi[i] <-->  rivi[k]  (rivien vaihto)
   2. rivi[i] <--  c*rivi[i] , c ei ole 0
   3. rivi[i] <--  rivi[i]+c*rivi[k] , c ei ole 0


Rivioperaatioissa yhtälösysteemi säilyy ekvivalenttina (samat ratkaisut).
Tähän perustuu ratkaisu Gaussin menettelyllä.
Muunnetaan systeemi yläkolmiomuotoon. Rivioperaatiot voidaan helpoimmin
kohdistaa suoraan matriisiin, jossa A:n perään liitetään b-sarake. Tätä
sanotaan liitännäismatriisiksi, "augmented matrix" 
 Maple 

> with(linalg):
> A:=matrix(m,n,[a[1,1],...,a[m,n]]);
> b:=vector([b[1],...,b[m]);
> Ab:=augment(A,b);

 Matlab 

>> A=[...;...; ... ];b=[....]';Ab=[A b]



Luennolla katsotaan esimerkkejä, kts. myös
Esimerkki rivioperaatioista Maplella tehtynä .

 Porrasmuoto, Echelon form 

Gaussin algoritmi johtaa aina muotoon:

   a[1,1]  a[1,2]       ...           a[1,n]   b[1]
     0     c[2,2]       ...           c[2,n]   bmato[2]
     0       0
     0       0
     
     

     0       0   0.. 0  k[r,r] ...      k[r,n]  bmato[r]
     0       0    ....    0    ...        0     bmato[r+1]

     0       0    ....    0    ...        0     bmato[m]



Tässä "päälävistäjän" alkiot  a[1,1], c[2,2], ..., k[r,r] 
ovat nollasta poikkeavia.

Tämä muoto saadaan aikaan sarakevaihtojen avulla siten, että aina kun
käsiteltävä tukialkio (pivot) = 0 ja sen alapuolella oleva sarake on
niinikään pelkkää 0:aa, niin ko. sarake siirretään loppuun (siis A-
osan loppuun).

Edellä saadusta muodosta on helppo lukea kaikki mahdolliset tapaukset.
Itse ratkaisun kannalta sarakevaihdot aiheuttavat ylimääräisen komplikaation,
sillä tuntemattomien järjestyksestä täytyy silloin pitää kirjaa.
Niinpä käytännössä niitä ei yleensä tehdä, vaan annetaan päälävistäjän
porrastua tarpeen mukaan pitempiin askelmiin.

Olennaista on, että siirryttäessä seuraavalle riville alaspäin,
1. nollasta poikkeva alkio siirtyy oikealle ainakin 1. askeleen.

Ratkaisujen olemassaolo ja lukumääräkysymykset ovat kaikki luettavissa
tästä kaaviosta. (KRE s. 351, GRE s. 10 (GRE:ssä r:n sijasta q)) 

Tapaukset ovat
 (a) r < m ja jokin bmato[i] # 0, r+1 <= i <= m
     Ei ratk.  
Esimerkki  

(b) r=n ja bmato[i]=0, i=r+1 .. m (tai nämä (i > r)bmadot puuttuvat (tap.  m=n))
      yksikäs. ratk. 
Esimerkki 

 (c) r < n ja bmato[i]=0, i=r+1 .. m (tai "kriittiset" bmadot puuttuvat
                                      (tap. m < n ja r = m) )
      äärettömän monta ratkaisua 
Esimerkki  (Myös (a)-kohdassa oli jo yksi.)


  
 Tärkeä seurauslause homogeenisille systeemeille Ax=0 

 Seuraus.  Jos homogeeniyhtälössä (b=0) on  m < n ,
niin aina on äärettömän monta ratkaisua. Sillä tällöinhän bmato=0
ja r <=m < n .


 Havainnollistus 

(kesken )
  a)
                       m                         m
      ------------------                 ----------
     |                 |                 |        |
     |                 |                 |        |
     |                 |                 |        |
     |                 |                 |        |
  r   ------------------               r ----------
     |  0 ...       0  |                 | 0..0   |
     |  0 ...       0  |                 | 0..0   |
  m   ------------------               m ----------




 Gauss-resepti 

 Askel 1: Oletetaan, että a[1,1] # 0 (uudelleenjärjestämällä).
          Valitaan kertoimet c[2]=-a[2,1]/a[1,1],...,c[m]=-a[m,1]/a[1,1]
          ja suoritetaan rivioperaatiot:
           rivi[2] <--  c[2]*r[1] + r[2]
           ...

           rivi[m] <--  c[m]*r[1] + r[m]

          Näin saadaan alkion a[1,1] alle 0-sarake.

 Askel 2: Jos amato[2,2] ja kaikki sen alapuoliset alkiot ovat
          sattumoisin = 0,  niin kaikki on hyvin. Tällöin syntyy
          "pitkä porras" ja siirrytään katsomaan samalla silmällä
          amato[2,3]:a ja sen alapuolista saraketta.
         
          Ellei, niin vaihdetaan tarvittaessa rivejä niin, että
          uusi amato[2,2] # 0. (Numeerisessa käytännössä vaihdetaan
          itseisarvoltaan mahdollisimman suuri.)
          Sitten jatketaan kohdasta [2,2] alkavalle alimatriisille
          samoin kuin Askel 1:ssä.

 Näin jatketaan niin kauan, kunnes kaikki on nollaa alapuolella tai
 törmätään alareunaan (r=m) .
 (Jos pysähdytään pystyseinään (r=n), niin silloinkin kaikki on
 nollaa alapuolella, eli tätä ei tarvitse sanoa erikseen lopetusehtona.)

 Huom  Yllä esiintyvää r-lukua ei sattumalta merkitä r:llä,
vaan siihen liittyy termi  rank .

 Takaisinsijoitus 

Kun systeemi on saatu porrasmuotoon, saadaan ratkaisut heti lasketuksi,
tai nähdään välittömästi, että ratkaisuja ei ole.


Gaussin algoritmi on sikäli miellyttävä, että sen avulla saadaan sekä
ratkaisut lasketuksi (jos niitä on) että olemassaolo- ja lukumäärätieto
(ellei numeerisia
vaikeuksia oteta huomioon).

Systemaattinen tapa laskea ratkaisut on katsoa ensin alhaalla
olevat 0-rivit. Jos jonkun 0-rivin kohdalla bmato-sarakkeessa
on nollasta poikkeava luku, ei homma jatku, vaan todetaan, että ratkaisuja
ei ole. (Tapaus (a) yllä )

Jos ristiriitaisia yhtälöitä ei ole, käydään käsiksi 
alimmaiseen ei-0-riviin, rivi[r] .
Siitä lasketaan x[r] (joko 1-käs tai ottamalla vapaiksi parametreiksi
x[r+1], ... , x[n] ). Näin edetään alhaalta ylös.





 Maple 

Kun Gaussin algoritmia on joitakin kertoja harjoiteltu rivi riviltä,
 addrow  ja  swaprow  - tyyppisillä komennoilla
(vrt. Perus-Gauss ), voidaan ryhtyä käyttämään
komentoja

     gausselim   ja  backsub 




 3.  Gauss-Jordan, redusoitu porrasmuoto, rref 

KRE s. 366, Exa 1, GRE s. 13

Takaisinsijoitus voidaan myös toteuttaa rivioperaatioina, jolloin
päädytään muotoon, josta ratkaisut ovat luettavissa vielä suoremmin
kuin alakolmiomuodosta. Siitä käytetään nimitystä  redusoitu
porrasmuoto, "reduced row echelon form" (siitä lyhenne rref, jota mekin
käytämme).
Tässä nollataan yläkolmiota myös niin
paljon kuin mahdollista. Ei-singulaarisen neliösysteemin tapauksessa päädytään
diagonaalimatriisiin.

Tämä on erityisen hyödyllinen tapa silloin, kun on laskettava annetun
neliömatriisin käänteismatriisi.

 Redusoitua porrasmuotoa luonnehditaan näin 


  
 1. Jokaisen ei-nollarivin 1. nollasta poikkeava alkio = 1.
       Tätä sanotaan "johtavaksi ykköseksi".
  
 rivi[i+1]:n johtava 1 on aidosti oikealla rivi[i]:n johtavaa 1:tä.
  
 Sarake, jolla johtava 1 sijaitsee (johtava sarake), on muuten pelkkää
       nollaa.
  
 Kaikki 0-rivit ovat matriisin pohjalla.


Kaikki nämä matriisit ovat rref-muodossa, johtavat sarakkeet on merkitty *:llä.

 *    *    *       *    *            *         *

[1    0    0]     [1    0    2]     [1    5    0    0]
[           ]     [           ]     [                ]
[0    1    0]     [0    1    6]     [0    0    1    2]
[           ]     [           ]
[0    0    1]     [0    0    0]     [0    0    0    0]

                                    [0    0    0    0]
                              
     *         *    *    *

    [1    1    0    0    0     6]
    [                           ]
    [0    0    1    0    0    -1]
    [                           ]
    [0    0    0    1    0     3]
    [                           ]
    [0    0    0    0    1     1]


 Maple ja Matlab 

Maplen linalg-pakkauksessa on funktio  gaussjord  ja Matlab:ssa
funktio  rref . Tosin Matlab:n rref toimii joissakin tilanteissa
väärin, liekö korjattu versiossa 5.

 Esimerkkejä käänteismatriisin laskemisesta 

Luennolla ja KRE s. 366 Exa 1.



This page created by
<
Heikki.Apiola@hut.fi>

Last update 
Tue Sep 16 17:13:40 EET DST 1997