Tehtäviä differentiaaliyhtälöistä

Tutki, ihmettele, ihastele, kehittele ...

Ja nyt se alkaa !!!

mplD0009.tex
Putoavan kappaleen nopeus $v=v(t)$ toteuttaa differentiaaliyhtälön $mv'(t)=mg-kv(t)^2$, jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella $k>0$.
a) Ratkaise differentiaaliyhtälö alkuehdolla $v(0)=0$.
b) Mikä on rajanopeus $\lim_{t\to\infty}v(t)$?

Vihje: Ohjelma ei osaa laskea raja-arvoa, koska se ei tiedä vakioiden etumerkkiä. Lisää käsky assume(m > 0 and k > 0 and g > 0) ja kokeile uudelleen sen jälkeen.
Avainsanat: diffyhtälöt, putoava kappale, Picard-Lindelöf-menetelmä,mplDifferentiaali(yhtälöt)
Vaikeus 1
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu: pdf - mw

mplD001.tex (infoverkostot (iv) s. 2001)

Ratkaise yhtälö $$\frac{dy}{dt} = ty$$.
1. Muodosta yleinen ratkaisu.
2. Määritä vakio _C1 alkuehdolle $y(0)=1.$
3. Ratkaise alkuarvotehtävä suoraan dsolve:lla.
Vihje: Maplen funktio dsolve. b)-kohdassa voit ottaa ratkaisulausekkeen rhs (Righthand side) kiinni. Tarvitset lisäksi komentoja subs ja solve
c) ?dsolve
[HAM] ss. 162-165
Ratkaisu (**Tee ws ja pdf**!)
```
 > dyht := diff(y(t), t) = t*y(t) 
 a)
 > ylratk := dsolve(dyht, y(t))   
 b)
 > Y := rhs(ylratk)
 > solve(subs(t = 0, Y) = 1, _C1)
 Huom! Dokumenttimoodissa alaviiva pudottaa kursorin alaindeksitasolle.
 "copy/paste" tarvitaan _C1:lle.
 > eval(%)
c)
 > dsolve({dyht, y(0) = 1}, y(t))
```
Avainsanat: diffyhtälöt,mplDifferentiaali(yhtälöt),dsolve
Vaikeus 1
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu: pdf (ei) - mw (ei)

mplD002.tex

Ratkaise differentiaaliyhtälö sijoittamalla ratkaisuehdotus (REh) annettuun yhtälöön tai esim. integroimalla, arvaamalla tms.:
(a) $y'+y=x^2-2$, REh: $y=Ce^{-x}+x^2-2x$
(b) $y''+y=0$, REh: $y=a\cos x + b\sin x$
(c) $y'''=e^x$,
(d) $x+yy'=0$, REh: $x^2+y^2=C$ ($C > 0$, vakio).

Vihje
(d)-kohta: Derivoi implisiittisesti, ts. oleta, että on olemassa derivoituva funktio $x\mapsto y(x)$ s.e. $x^2+y(x)=C$ ja derivoi puolittain. (Tässä tapauksessa olemassaolo tiedetään, onhan $y(x)=\sqrt{C-x^2}$ tällainen. Tämän eksplisiittisen lausekkeen käyttö ei silti kannata, se vain mutkistaa asioita, olkaamme siis implisiittisiä.)
Vaikeus 1
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu: pdf - mw
Aputiedostoja,viitteitä
- (Ei ole) Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw) (Linkki mukaan mplD000x.tex-tiedostoon)
- (Ei ole) Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tähtäväpaperiin
Avainsanat: diffyhtälöt, diffyhtalojohdatus, implisiittinen derivointi,diffyhtälön ratkaisuehdotuksen sijoittaminen yhtälöön.
mplD003.tex [Matlab-versio: ...mlD002.tex]

Millä xy-tason käyrillä on ominaisuus: Käyrän tangentin kulmakerroin jokaisessa pisteessä $(x,y)$ on $-\frac{4 x}{y}$ ? Ratkaise yhtälö muuttujien erottelulla (``separation of variables''). Piirrä suuntakenttä isokliineja apuna käyttäen käsin vaikkapa alueessa $[-2,2] \times [-2,2]$.
Ota sitten Maple avuksi. Kokeile ja selitä!

Vihje Kts. [HAM] ss. 169-170
```
> with(DEtools)
> with(plots)
```
Suuntakenttään:DEplot,
grafiikkojen yhdistämiseen: display.
Suoraparven saat tyyliin
```
> yparvi:=seq(...,c=[-2,-1,-.5,.5,2,1]) # tms.
> isokl:=plot([yparvi],x=...)
```
Yleisemmin isokliinit saadaan piirretyksi implicitplot-funktiolla, mutta tässä saatiin ratkaistussa muodossa suoraan.
Vaikeus 2
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu: pdf - mw
Aputiedostoja,viitteitä
- (Ei ole) Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw) (Linkki mukaan mplD0003.tex-tiedostoon)
- (Ei ole) Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tähtäväpaperiin
- [HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998
Avainsanat:
MapleDy, diffyhtälöt, suuntakenttä, isokliinit, mplDifferentiaali(yhtälöt)
mplD009.tex (iv3/2001, harj. 2, AV teht. 3)
Muodosta Picardin iteraatiojonon muutama termi (AA)-tehtäville (a) $y' = x+y,\ \ y(0)=0 $
(b) $y' = x+y, \ \ y(0)=-1$
(c) $y'=y^2,\ \ y(0)=1$.
Määritä myös tarkka ratkaisu.
Vihje LV-tehtävässä palataan asiaan Maple-hommana. Tämä on tyypillistä symbolilaskennan vahvuusaluetta.

Avainsanat: diffyhtälöt, ratkaisun (epä)olemassaolo, Picard-Lindelöf-menetelmä, Picardin iteraatio, mplDifferentiaali(yhtälöt)
Tehtävän Latex-koodi

Ratkaisu: pdf(ei vielä) - mw(ei vielä)