Torstai 3.2

1.

Selvitä, suppeneeko $\int_0^1 \ln x dx .$ Integrointiin voit käyttää Maplen int-komentoa. Tarjoile ongelma Maplelle raja-arvona, johon sovellat limit-funktiota. Selvitä tuloksen oikeellisuus.

2.

(Kynä+paperi) Eulerin $\Gamma$-funktio määritellään kaavalla

$$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt , \ \ x > 0$$

a) Osoita, että integraali suppenee aina kun x>0.

b) Johda osittaisintegroimalla palautuskaava $\Gamma(x)$:lle $\Gamma(x-1)$:n avulla ja osoita sitä käyttäen, että $\Gamma(n+1)=n!,$ kun n=0,1,2,... .

c) Tutustu Gamma-funktioon piirtämällä Maplella tai Matlabilla. Huomaa, että Matlabissa ei ole muuta tapaa n!:n laskemiseen kuin Gamman avulla.

3.

Selvitä, miksi seuraava Matlabin komentojono antaa exp-funktion (0:ssa muodostetun) Taylorin n-asteisen polynomin kertoimet.

n=10,c=1:n,c=gamma(c+1),c=1./c,c=[1,c]

Huomaa, että kertoimet ovat kasvavan potenssin mukaan, joten jos/kun halutaan laskea polyval-funktiolla arvoja, on tehtävä y=polyval(fliplr(c),x);

a) Piirrä exp-funktio ja sen Taylorin polynomit T_k(x,0), arvoilla $k=1 \ldots 10$ .

b) Suorita Maple-komento seq(eval(subs(x=0,diff(exp(x),x$k) )),k=1..5); Se antaa varmasti idean, miten Maplen ja Matlabin yhteistyöllä voi kätevästi laskea minkä tahansa funktion Taylorin polynomeja x-vektorissa. Muodosta tällä tavoin joidenkin funktioiden Taylor-polynomitaulukoita ja kuvia.

c) Muodosta ja piirrä edellisiä suoraan Maplella .

d) Kirjoita edellä olevat ideat (pieneksi, 2-3 komentoa) funktioksi taypolkert, joka yksinkertaisesti ottaa argumentikseen (Vaikkapa Maplella saatavan ) derivaattajonon, jossa siis käsiteltävän funktion derivaatat on laskettu kehityskeskuksessa. Funktion tulee palauttaa Taylorin polynomin kerroinjono. (Laskentapiste ei näy Matlab-funktiossa argumenttina, se tulee mukaan jo Maple (tai kynä/paperi)-vaiheessa.) Palauta kertoimet alenevien potenssien mukaan, siis ``polyval-sopivasti''. Alku voisi olla tällainen:

function kertoimet=taypolkert(derjono)
% Lasketaan Taylorin polynomin kertoimet. Asteluku määräytyy 
%     derjonon pituudesta
% derjono: [f(x0),f'(x0),f''(x0),...]
% pisteet, joissa lasketaan

Testaa funktiotasi ainakin samoilla kuin ennen funktion tekoa. Voi tietysti olla, että haluat mieluummin kirjoittaa funktion muodossa function y=taypol(derjono,x) . Tällöin polyval on mukana ja arvot lasketaan siis vektorissa x. No, tee miten haluat!

4.

Laske sopivaa Taylorin polynomia ja siihen liittyvää virhetermiä hyväksi käyttäen likiarvo integraalille

$$\int_0^1 \sqrt{x}e^{x^2} dx$$

siten, että virheen itseisarvo on korkeintaan 10^-6. Tarkoitus on laskea Taylorin kaavan jäännöstermin avulla, kuinka korkea asteluku tarvitaan, jotta virheraja varmasti alitetaan.

Vertaa laskemaasi approksimaatiota Maplen evalf(Int(..)); - komennon antamaan arvoon.

Pohdittavaksi: Onko Taylorin polynomin käyttö hyvä numeerisen integroinnin menetelmä? Missä tapauksessa on ja missä ei?

5.

Muodosta lemniskaatan $r^2=\cos 2\phi$ kaaren pituuden lauseke. Voit integroida välillä $[0,\pi/4]$ ja kertoa tuloksen 4:llä.

Kokeile integroida Maplella, kenties tulos on hieman yllättävä, laske numeerinen approksimaatio evalf:lla.

Suorita with(student): ja kokeile funktioita trapezoid ja simpson. Huomaa, että integroitava on singulaarinen päätepisteessä, joten näillä täytyy jättää väli hieman vajaaksi. Pääsetkö lähelle oikeaa tulosta näillä välineillä. Katso myös kuvia, niin integrandista kuin integraalifunktiostakin (Niin, Maple osaa tosiaankin sellaisen muodostaa!)