Tiistai 1.2

1.

Integroi rationaalifunktiot:

$$\quad \text{a)} \ \ \frac{x}{2x^2-3x-2} \qquad \text{b)}\ \ \frac{x^5+4}{(x^2+2)^2}$$

Saat käyttää Maplea apuna, mutta komennot convert(lauseke,parfrac,x) (puhumattakaan int :stä) ovat kiellettyjä muuhun kuin tarkistukseen. Katso mallia Maple-työskentelyyn vaikkapa /p/edu/mat-1.414/L2000/inttekn.mws:stä. Tehtävien ei pitäisi olla kohtuuttomia kokonaan käsinkään laskettaviksi.

2.

Tynnyrin korkeus on h, pohjaympyröiden säteet a ja keskikohdalta otetun poikkileikkausympyrän säde b (a < b). Laske tynnyrin tilavuus, kun sivulaudat kaartuvat paraabelin muotoisesti.

3.

Laske sen alueen pinta-ala, joka on ympyrän r=a sisäpuolella, mutta Bernoullin lemniskaatan $r^2=2a^2\cos 2\phi$ ulkopuolella.

4.

Laske asteroidin $x=a \cos^3 t, y=a \sin^3 t$ koko pituus. Piirrä mielellään sekä Maplella että Matlabilla.

5.

Ketjukäyrän $y=a \cosh \frac{x}{a}, \ \ \vert x\vert \leq a$ pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy katenoidiksi kutsuttu pinta. Laske sen ala ja piirrä kuva (sopivalla a:lla).

6.

Määritä ne p:n arvot, joilla seuraavat integraalit suppenevat ja määritä suppenevien integraalien arvot.

$$\quad \text{a)} \ \ \int_1^\infty x^{-p} dx \qquad \text{b)}\ \ \int_0^1 x^{-p} dx$$