Luento 4

ti 19.9.

Lineaarisia yhtälösysteemejä koskeva lause alkuperäisen datan avulla

Palautetaan vielä mieleen päättelykuva, tällä kertaa Gauss-Jordan- eli rref-muodossa. Tässä siis r < m merkitsee, että 0-rivejä on, ja r < n, että "parametrisarakkeita" on.


                               r        n
          -------------------------------
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
          |      I_{r x r}             P   
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
          |                    |        |
      r   -------------------------------
          |          0         |   0    |
          |          0         |   0    |
      m   -------------------------------


Linsys-päälause L1:ssä on siltä osin epätyydyttävä, että
siinä esiintyy rivioperaatioilla muuteltu b-vektori.
Muistamme, että a)-kohta (r < m ja B₂#0) oli ainoa tapaus, jossa
ratkaisuja ei ole. Toisaalta, jos kirjoitamme matriisiyhtälön vektoriyhtälöksi
(riviajattelu ==> sarakeajattelu), niin ratkaisun olemassaolololle on
välttämätöntä ja riittävää, että b-vektori voidaan lausua A-matriisin 
sarakevektoreiden
lineaarikombinaationa. Tämä merkitsee, että epäkonsistentti a)-tapaus esiintyy
jos ja vain jos (joss) b ei kuulu A:n sarakkeiden virittämään aliavaruuteen
(jota kutsutaan lyhyesti A:n sarakeavaruudeksi).

Tämä ehto voidaan elegantisti lausua rangin avulla. Muistamme: r(A) on
max-määrä LRT sarakkeita (=sarakeavaruuden dimensio). Jos katsomme
matriisia Ab = [A b]  (Matlab-syntaksi), niin aina pätee R(Ab) >= R(A) ja
yhtäsuuruus pätee joss b kuuluu A:n sarakeavaruuteen.

Lauseemme voidaan siis muotoilla näin:


 
Lause (linsys, muoto 2)
Olkoon A (mxn) matriisi ja b sarakevektori (pituus m). Merk. taas:
         Ab=[A b]


Systeemillä   A x = b  on ratkaisuja  JOSS 
     r(A)=r(Ab).

Oletetaan nyt, että ratkaisuja on, eli  r(A)=r(Ab)=r.

(b) Jos r=n, niin yksikäsitteinen ratk. 

(c) Jos r < n, niin n-r vapaasti valittavaa param. (äärettömän monta ratk.)

Tod: Selitettiin yllä  QED 






 Neliömatriisit 


Determinantit


Olkoon A nxn-matriisi (neliömatr.) Matriisiin A voidaan liittää 
luku det(A). Kts. joko AG tai KRE tms.

Kannattaa palauttaa mieleen ainakin determinanttien kehittäminen
alideterminanttien ja shakkilautamerkkikaavion avulla.

Determinanttien merkitys on luonteeltaan osin historiallista. Ne ovat
kauniita, mutta tehottomia. Myöskään teoreettisesti tyylikäs ehto
det(A)=0, ei yleisty tilanteeseen "melkein singulaarinen". Ts.
det(A) lähes nolla, ei välttämättä kerro matriisin häiriöalttiudesta.
(Tähän sopii cond(A)).

Toinen kaunis, mutta tehoton kaava on Cramerin sääntö.
Se on käytännön laskennassa täysin hyödytön (paitsi jos n=3 tai 4)
Gauss on aivan ylivertainen.

Tarvitsemme determinantteja jatkossa, jotta osaisimme laskea pieniä
ominaisarvotehtäviä käsin. Myös eräissä erityisesti ominaisarvoja koskevissa
teoreettisissa tarkasteluissa ne ovat jopa hyvinkin tarpeellisia.


KRE s. 370 -> esitystapa on tarpeisiimme oikein sovelias. Lähdetään 2x2-
determinantista ja laajennetaan tunnettuun tapaan yleisille n-rivisille.


 Muistathan:  Determinantti on luku, kun taas matriisi on lukutaulukko.

 Lause  (determinanttien kertosääntö) 

 det(AB)=det(A)det(B) 

Kaunis!, helppo muistaa, todistuskaan ei ole ollenkaan niin hankala,
kuin voisi luulla. (kts. KRE ss. 384 - 385).
Jätämme kuitenkin väliin. (vrt. 2x2-harjoitus).

 Käänteismatriisi 

Määritelmä  Neliömatriisi A (nxn) on kääntyvä, eli säännöllinen eli
ei-singulaarinen, jos on olemassa matriisi B siten, että
          AB = BA = I

Matriisia B sanotaan tällöin A:n käänteismatriisiksi ja merk B=A^-1.

Käänteismatriisin olemassaolo ja määrittäminen palautuu välittömästi
n:ään yhtälösysteemiin, joiden kerroinmatriisina on A ja oikeana puolena
yksikkömatriisin sarakkeet. Tästä nähdään heti, että

matriisilla A (nxn). on käänteismatriisi  JOSS
r(A)=n 

Siten:

   Käänteismatriisi lasketaan Gauss-Jordanilla 
  
 Käänteismatriisia ei lasketa Cramerilla (emme edes opettele sitä)
  
 Käänteismatriisia ei lasketa !


Viimeinen lausahdus tarkoittaa sitä, että käänteismatriisi on erinomainen
apuväline teoreettisissa tarkasteluissa, matriisilausekkeissa ym., mutta 
käytännön laskuissa sitä ei juurikaan tarvita. (Käytetään matriishajoitelmaa,
kuten LU-haj.)

Kootaan yhteen neliömatriisi/systeemiasioita:

 Lause  A (nxn). Seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitäviä:


    A:lla on käänteismatriisi A^-1

   rangi: r(A)=n  (täysi rangi)

    det(A)#0  (# tarkoittaa erisuuri)

    (HY) Ax = 0   vain triviaaliratkaisu x=0

    (EHY) Ax = b  yksikäs. ratk. kaikilla b.
        

Tod  Kyllä nämä nyt jo on todistettu (tai ovat selviöitä).


 Lause 
Jos A(nxn) ja B(nxn) ovat kääntyviä, niin AB on kääntyvä ja
(AB)^-1=B^-1A^-1

Tod:  Suora lasku, käytetään matriisitulon liitännäisyyttä ja
käänteismatriisin määritelmää. (Kukaan ei voi eksyä harhapoluille!)

 Lineaarikuvaukset 
Laode 3.2 s. 67-> ja Ch9, s. 309->, KRE 7.15, Str s. 305->

Määr.: Olkoon L:Rⁿ -> R^m kuvaus.
(Siis jokaiseen x in Rⁿ liittyy yksikäsitteinen Lx in R^m.
Kuvaus on  lineaarinen , jos

  L(x+y)=Lx + Ly   kaikilla x,y in Rⁿ
  L(cx)=cLx        kaikilla x in Rⁿ ja c in R.

Jokainen matriisi A (mxn) määrittelee lineaarikuvauksen : 
Rⁿ -> R^m, kuten matriisitulon osittelulaeista heti 
seuraa.

Myös kääntäen:

Lause 
Olkoon F:Rⁿ -> R^m. Tällöin F voidaan esittää
matriisin A avulla.
Matriisi saadaan latomalla kantavektoreiden kuvat sarakkeiksi matriisiin.

 Tod  Olkoon x in Rⁿ. Esitetään x luonnollisen kannan avulla:
                                    n
                                  -----
                                   \
                              x =   )   x[i] e[i]
                                   /
                                  -----
                                  i = 1

F:n lineaarisuuden nojalla:
                                    n
                                  -----
                                   \
                           F(x) =   )   x[i] F(e[i])
                                   /
                                  -----
                                  i = 1

Mutta tämähän on sama kuin  A x  , kun A-matriisina on
F(e[i]) - sarakevektoreista koostuva matriisi.

QED.

 Huom!  Olkoon yleisesti F:V->W , missä dim(V)=n, dim(W)=m.
Jos {e[1],...,e[n]}  on mielivaltainen kanta
lähtöavaruudessa ja {f[1],...,f[m]}  on mielivaltainen kanta
maaliavaruudessa, niin sama lasku antaa kuvauksen näin:

x -> (x[1],...,x[n]) -> A (x[1],...,x[n])' , missä A saadaan
latomalla F(e[i])-vektorien koordinaattivektorit kannan {f[1],...,f[m]}
suhteen matriisin sarakkeiksi. Tuloksena saadaan koordinaattivektori,
joka ilmaisee koordinaatit f-kannassa.


 Lause  


Yhdistetyn kuvauksen matriisi on vastaavien matriisien
tulo.
Käänteiskuvaus on olemassa JOSS kuvauksen matriisi on kääntyvä. Tällöin
käänteiskuvauksen matriisi on (tietenkin) kuvauksen matriisin 
käänteismatriisi.

 Tod  1. seuraa matriisikertolaskun liitännäisyydestä.
2. on välitön seuraus kääntesmatriisin (ja käänteiskuvauksen) määritelmästä.

 Huom:  Ominaisuus 1. on motivaatio sille, miksi matriisikertolasku
määritellään, kuten tehdään.

 Tason lineaarikuvauksista 
 

Lineaarikuvaukset L: R² -> R² ovat siis kaikki 
määriteltävissä sopivan matriisin A (2x2) avulla.


 Dilataatio, diagonaalimatriisi 

c=0.6;A=diag([c,c])  % kutistus, (0 < c < 1)
c=1.4;A=diag([c,c])  % venytys, ( c > 1)
map

c1=.3;c2=4;A=diag([c1,c2])  % (x1,x2)->(c1*x1,c2*x2)  yleinen diag. kuvaus.




map  c=0.6;A=diag([c,c])

  





 Kierto 

T=30*pi/180;A=[cos(T), -sin(T);
               sin(T), cos(T)]



       0.8660   -0.5000
       0.5000    0.8660

Icons -> vect. koord: (1.5,0)



  




 Kierto ja dilataatio 


T=30*pi/180;c=0.8;A=c*[cos(T), -sin(T);
               sin(T), cos(T)]
A =

    0.6928   -0.4000
    0.4000    0.6928

Kerran zoomattu




  

Vektorien kärjet piirtävät spiraalin, joka suppenee kohti O:a.


 Lineaarikuvauksen havainnollistus, oma skripti  

Rakennetaan maanläheinen skripti yksikköympyrän kuvautumisesta.


   clf
   A=diag(1:2)              % Vaihda A siten kuin haluat.
   t=linspace(0,2*pi,50);   % Kulmat
   ympyra=[cos(t);sin(t)];  % 1-ymp. pisteet: 1. rivi: x-pisteet
                            %                 2. rivi: y-pisteet
   kuva=A*ympyra;           % Kuvapisteet A:lla kerrottaessa

   plot(ympyra(1,:),ympyra(2,:),'r')  % Ympyrä punaisella 'r'
   hold on  

   plot(kuva(1,:),kuva(2,:),'b');     % Kuva sinisellä
   axis('square');axis([-4 4 -4 4])
   grid;shg;
   disp('Valitse punaiselta ympyrältä piste, jonka kuvan haluat nähdä')
   [x,y]=ginput(1)                    
plot([0,x],[0,y],'r')
uv=A*[x;y];
plot([0,uv(1)],[0,uv(2)],'b')


Saadaan tällainen:






Tähän olis kiva laittaa for-silmukka, joka antaisi mahdollisuuden valita
useita pisteitä ja katsoa niiden kuvautumista

Strangin talo 

Str-kirjan kansikuvassa on taloja.
Jotta kiertomatriisin luominen olisi vaivatonta, voimme kirjoittaa funktion:
%%%%%%%% kierto.m %%%%%%%%%%%%
function A=kierto(theta)
A=[cos(theta), -sin(theta);
  sin(theta), cos(theta)];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Strangin talo
clf
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
plot(T(1,:),T(2,:))
shg
A=kierto(pi/4);S=T;   
S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:))  %% nn-iteroi!

 Modifikaatio: joka talo omaan ikkunaan 

Joskus järkevää, joskus ei!

clf
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
plot(T(1,:),T(2,:))
shg
A=kierto(pi/4);S=T;   
S=A*S;figure;plot(S(1,:),S(2,:))   %% nn-iteroi!



 Sisätuloavaruus 

Ominaisuudet:

I    (cu+dv,w)=c(u,w)+d(v,w)    lineaarisuus 1. argum. suht
II   (u,v)=conj(v,u)            conj tarkoittaa kompleksikonjug.
III  (u,u) >= 0, yhtäsuuruus <==> u=0


Rⁿ:ssä (Cⁿ):ssä  

                                  n
                                -----
                                 \         ---
                     (u,v)  =     )   u[i] v[i]
                                 /
                                -----
                                i = 1

                                       ( --- viittaa konjugointiin )



     Ortonormaali on LRT
   
  Esitys ON-kannassa (Fourier)
   
  LRT voidaan ortonormeerata (Gram-Schmidt)





 Normiavaruudet 

Sisätulosta saatava normi:
           || u || = sqrt(u,u)


Normi voi syntyä myös ilman sisätuloa,
esim:
                              n
                             -----
                              \
        ||u||₁ =               )  |u_i|    l₁ eli taksikuski
                              /
                              -----
                              i = 1

tai
max-normi
       ||u||_8' = max(|u₁|,|u₂|,...|u_n|)      l_ääretön

(Tässä 8' tarkoittaa "makaavaa (transponoitua) 8:aa, eli ääretöntä.)