Tämä ei ole kattava luentopruju.
Kirjallisuutta:
Vaativammat tehtävät, joissa tarvitaan analyyttisten ja harmonisten funktioiden ominaisuuksia. Monet virtausdynamiikan, lämpöopin ja sähköstatiikan tehtävät kuuluvat sovellutusten piirin.
Vaikka alkuperäinen tehtävä olisikin reaalialueella muotoiltu, voidaan ratkaisussa joutua kompleksialueelle (esim. ominaisarvotehtävät).
Monet käsitteet saadaan esitetyksi yhtenäisemmässä ja helpommassa muodossa (esim. Fourier-sarjat ja -muunnokset) ja moni puhtaasti reaalifunktioihin liittyvä ilmiö voidaan oikeasti "ymmärtää" vasta kompleksialueella tarkasteltuna.
[KRE8] 12.1, 12.2 (osittain) [Lop] 35.1 [AG]Tarve reaalilukuja laajempaan lukujoukkoon syntyi tarpeesta ratkaista polynomiyhtälöitä. Yksinkertaisin tällainen yhtälö lienee:
x2=-1
Kompleksilukujen nimi ja systemaattisen käyttöönotto on peräisin Gauss:lta. Noudatamme mm. kirjoissa [KRE] ja [AG] esiintyvää tyyliä.
Määritelmä.Kompleksilukuz=(x,y) on
reaalilukupari.Kompleksilukujoukko on reaalilukuparien joukko R2 varustettuna seuraavilla laskutoimituksilla:
|
Huom: Joukkona C on sama kuin R2. Merkintä C viittaa siihen, että käytössä on myös yllä määritelty kertolasku.
Kompleksiluvun z=(x,y)
x-koordinaattia sanotaan reaalioasaksi
ja y-koordinaattia imaginaariosaksi, ja merkitään:
x = Re z, y = Im z
Kompleksilukujen kertolasku voidaan muistaa näin:
Tulon reaaliosa = ReRe - ImImMerkitään erityisesti symbolilla i kompleksilukua (0,1) . Edellä oleva esitys voidaan siten kirjoittaa muotoon:
Tulon imaginaariosa = ReIm + ImRe
z=x+yi .Tässä, kuten aina jatkossa, samastamme: (1,0) = 1, ja yleisesti (x,0)=x. Nyt saamme kaipaamamme säännön:
i^2 = (0,1)(0,1)=(ReRe-ImIm,ReIm+ImRe)=(-1,0)=-1Kaikki mystiikka salaperäisen "imaginaarisen" i:n ympäriltä on näin hälvennyt!
Johtopäätös: Kompleksiluvut eivät ole hiukkaakaan "vähemmän reaalisia" kuin reaaliluvut.
Koska opettelemme samalla Matlabia, annamme kuvien tuottamiseen käytetyn
Matlab-koodin. Sen voi www-sivulta suoraan leikata/liimata
Matlab-istuntoon ja tarpeen mukaan modifioida.
clf
z=1+1.5*i
zv=1-1.5*i % Liittoluku (z-viiva)
plot([0 z])
hold on
plot(z,'o')
plot([0 zv],'r')
plot(zv,'o')
axis([-2 2 -2 2])
xlabel('Re-akseli')
ylabel('Im-akseli')
grid
shg
angle(z) % Arg z
ans =
0.9828
» format compact » z1=8+3*i;z2=9-2*i; » z1-z2 ans = -1.0000 + 5.0000i » z1*z2 ans = 78.0000 +11.0000i » z1/z2 ans = 0.7765 + 0.5059i » format long;z1/z2 ans = 0.77647058823529 + 0.50588235294118i
clf format compact clear n=5; z=1+2*i; plot([0, z]) hold on plot(z,'ob') axis square axis([-2 2 -2 2]) text(real(z),imag(z+0.1*z),num2str(z)) r=sqrt(5) R=r^(1/n) Theta=angle(z) phi=Theta/n+(0:n-1).*(2*pi/n) w=R*(cos(phi)+i*sin(phi)) plot(w,'or') %plot(w,'r') t=linspace(-pi,pi); plot(R*exp(i*t)) for j=0:n-1 text(real(w(j+1)),imag(w(j+1)+0.1*z),['w_',num2str(j)]) end grid shg
Määritelmä Olkoon z=x+i y, asetetaan
ez = ex (cos y + i sin y).Tässä siis ex tarkoittaa entuudestaan tunnettua reaalista eksponenttifunktiota.
Huom! Exp-funktio voitaisiin määritellä samalla potenssisarjalla, joka pätee reaalialueella. Tällöin ei tarvitsisi tietää mitään reaalisen exp-funktion ominaisuuksista.
|
%complex/demoexp.m % 7.5.03 addpath c:\usr\heikki\opemate\complex x=[-1 0 1]; % Näihin kohtiin 3 pystyviivaa z-tasoon. y=linspace(-pi/6,3*pi/4,20); % Näihin 20 vaakaviivaa. m=length(y); n=length(x); [X,Y]=meshgrid(x,y); % Pysty- ja vaakaviivojen leikkauspisteiden Z=X+i*Y; % muodostama hila z-tasossa W=exp(Z); % Hilapisteiden kuvat w-tasossa (exp-funktion arvot) W=W+i*eps; % Piirtämistä varten lisätään pienenpieni imag-osa siltä % varalta, että jokin arvo olisi reaalinen. tol=0.2 ztaso=[min(x)-tol,max(x)+tol,min(y)-tol,max(y)+tol]; %%%%%%%%%%%%%%%%% figure(1) clf axis(ztaso) hold on Z=Z+i*eps; % Tällä niksillä varmistetaan, että alkioissa myös imag. osa. % plot ei nimittäin toimi samalla tavoin reaalisille alkioille. % (vrt. edellä) plot(Z(:,1),'b') % 1. pystyviiva sinisellä 'b' plot(Z(:,2),'g') % 2. vihreällä 'g' plot(Z(:,3),'c') % 3. värillä 'cyan' for k=1:m plot(Z(k,:),'r') % Kaikki 20 vaakaviivaa piirretään punaisella 'r'. end title('z-taso') shg
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(2) % Avataan uusi ikkuna w-tasoa varten. clf axis square hold on plot(W(:,1),'b') % 1. pystyviivan kuva (sininen) plot(W(:,2),'g') % 2. pystyviivan kuva (vihreä) plot(W(:,3),'c') % 3. pystyviivan kuva ('cyan') % Siis kukin w-kuvakäyrä samalla värillä kuin vastaava z-lähtöviiva. for k=1:m plot(W(k,:),'r') % Kaikkien 20:n vaakaviivan kuvat punaisella. end title('w-taso') shg
Pysty- ja vaakaviivojen kuvautuminen exp-funktiossa |
---|
|
Siten ez saa kaikki mahdolliset arvonsa 2:n korkuisessa "vyössä", missä x saa kaikki reaaliarvot, eli:
clf v=([-20+i*pi, 20+i*pi,20-i*pi, -20-i*pi]) fill(real(v),imag(v),'y') grid
V={z=x+iy | xR, y (-,]}bijektiivisesti kompleksitasolle, josta on origo poistettu. (Puhumme O:ssa punkteeratusta tasosta). Niinpä sillä on käänteiskuvaus, jonka määrittelyjoukko on W0 = C2 \ {0}.
Saamme siten kuvauksen
Log: W0 ---> V.Esim (KRE8 Exa 1 s. 681) Haluamme määrätä kompleksiluvun 3+4i logaritmin.
ez = 3 + 4i .Olkoon z=x+iy, tällöin
exeiy = 3+4i = 5eiφ, missä; φ=arg(3+4i) = arctan 4/3 (päähaara).Siis on oltava
ex = 5 y=φ + 2nJos käänteisfunktion arvo valitaan jaksovyöstä V, on y=φ, joten
Log(3+4i) = ln 5 + i arctan 4/3.Jos merkitsemme log(3+4i):llä mitä tahansa yhtälön ratkaisua, saamme:
log(3+4i) = ln 5 + i(arctan 4/3 + 2n) .
Saimme laskusäännön logaritmeille: |
---|
|
w=3+4*i modw=sqrt(3^2+4^2) abs(w) % Tarkistetaan, että Matlabin abs toimii kompleksiluvuilla, tottakai! phii=atan(4/3) atan2(4,3) % 2-argumenttinen arcustangentti, joka valitsee haaran oikein. angle(w) % Argumentin päähaara on sekin ohjelmoitu Matlabiin. % Kaikki antavat saman. Yksiargumenttinen atan antaa tässä tapauksessa % myös oikean tuloksen, kuten päättelimme. Yleisesti ei, vaan % siihen voidaan joutua lisäämään + tai - log(5)Tässä yllä olevien komentojen tulokset:
w = 3.0000 + 4.0000i modw = 5 ans = 5 phii = 0.9273 ans = 0.9273 ans = 0.9273 »Lasketaan suoraan soveltamalla Matlab:n log-funktiota komplekslukuun:
» log(w) ans = 1.6094 + 0.9273i » log(5) ans = 1.6094Siis kaikki toimii, kuten pitää. Näemme, että Matlab:n log-funktio laskee kompleksisen logaritmin päähaaran, kuten luonnollista on.
Huomautus päähaarasta. Käyttämämme (argumentin ja logaritmin) päähaara (-,] on varsin yleisesti käytetty, mutta tämä on sopimuskysymys. Joissakin oppikirjoissa käytetään päähaarana väliä (0,2] (tai [0,2)).
ew = zratkaiseminen w:n suhteen, kun zC\{0} on annettu.
Olkoon z= r eiφ, ja merkitään w=u+iv. Tällöin siis:
eueiv = r eiφ.Aivan kuten äsken, näemme, että:
u = ln r, v= φ = Arg z.Muut logaritmin haarat saadaan lisäämällä imaginaariosaan v 2:n monikertoja. Matlab-ajo: demolog.m
% addpath /home/apiola/opetus/materiaali03/complex % Laskentaa kompleksisilla logaritmeilla. % Matlabin funktio log on logaritmin päähaara, siis luentomerkinnöissä % (ja KRE:ssä) LN. % Syötteet: log(-1) log(i) log(3+4*i) moduuli=log(5) argumentti=angle(3+4*i) atan(4/3) atan2(4,3) log(2) % Syötteet ja tuosteet: >> log(-1) ans = 0 + 3.1416i % pi*i >> log(i) ans = 0 + 1.5708i % i*pi/2 >> log(3+4*i) ans = 1.6094 + 0.9273i >> moduuli=log(5) moduuli = 1.6094 >> argumentti=angle(3+4*i) argumentti = 0.9273 >> atan(4/3) ans = 0.9273 >> atan2(4,3) ans = 0.9273 >> log(2) % Posit. reaaliluvun log ja kompleksisen logaritmin ans = % päähaara ovat samat, koska posit. reaaliluvun 0.6931 % arg = 0