-
Picard-Lindelöfin menetelmä
Differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä:
$$y'=f(x,y),\ \ y(x_0)=y_0.$$
Ratkaisun olemassaolotodistuksessa käytetään Picardin iteraatiota
(ja Banachin kiintopistelausetta ).
(Periaate on "periaatteessa" sama kuin haettaessa kiintopistettä $x_0$ funktiolle $F(x)$, ts.
lukua $x_0$, jolle $F(x_0)=x_0.$ Tällä kertaa "kiintopisteellä" tarkoitetaan funktiota $y(x)$).
Jääköön tarkempi selvitys luentojen varaan, tai:
Wikipediasta löytyvä todistus (vaatii vähän "matemaattista kypsyyttä")
Lause sanoo, että jos funktio $f$ toteuttaa tietyt ehdot, tarkemmin:
Oletetaan, että $f$ on ns.
Lipschiz-jatkuva muuttujan $y$ suhteen. Tällöin jossain alkupisteen ympäristössä
on yksikäsitteinen ratkaisufunktio $y(x)$.
Jos $y(x)$ on ratkaisu, niin diffint peruslauseen mukaan se toteuttaa yhtälön:
$$y(x) - y(x_0) = \int_{x_0}^x f(t,y(t)) \, dt$$
Iteraatio:
$$\varphi_0(x)=y_0 $$
$$\varphi_{k+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\varphi_k(t))\,dt.$$
-
|