mlPDE001
mlPDE001.tex [mlLA006.tex]
Tehtävä sopii myös puhtaasti lineaaristen yhtälöryhmien harjoitteluun, viittaus: Lineaarialgebra-osiossa: mlLA006
Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä.
Kuva esittää metallilevyä, joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma saadaan Laplacen yhtälön \(\Delta u=0\) ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan kurssin lopulla.)
Muodosta \(4\times 4-\) yhtälösysteemi solmujen \(1,2,3,4\) lämpötilojen likiarvoille \(u_1,u_2,u_3,u_4.\) Ohje: Aloitetaan solmusta 1: \(u_1 = \frac{1}{4}(30 + u_2 + u_3 + 10)\). Vastaavasti muut kolme solmua.
20 20
|----- o ---- o ------|
| |
| |
10 o o 3 o 4 o 40
| |
| |
10 o o 1 o 2 o 40
| |
| |
|----- o ------ o ------|
30 30
Ratkaise yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. hilapisteisiin.
Muodosta \(4\times 4-\) matriisi, jossa on reunalämpötilat ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden reunasolmun keskiarvot tähän tapaan: U=[15 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35]; Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio: mesh(U) tai surf(U).
Ehka hiukan selkeämpää on rakentaa U-matriisi vaiheittain vaikka tähän tapaan:
u=u' % Vaakavektoriksi
U=zeros(4,4)
U(1,:)=[15 20 20 30]
U(2,:)=[10 u(3:4) 40]
...
...
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mlteht/mlPDE/mlPDE001.tex
Ratkaisu:
../mlteht/mlPDE/ratkaisut/html/mlPDE001R.pdf
../mlteht/mlPDE/ratkaisut/mlPDE001R.m
Avainsanat: Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä, Discretizaton of Laplace PDE, Linear system of equations, mlPDE,mlLA
mlPDE002
mlPDE002.tex, [Maple:mplLinalg/mplLA010.tex]
Lay: Linear Algebra p. 12 probl. 35
Tehtävä sopii myös puhtaasti lineaaristen yhtälöryhmien harjoitteluun.
Tarkastellaan lämmönjohtumista ohuessa metallilevyssä. Oletetaan, että johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on annetut (ajan suhteen) vakiolämpötilat. Levyn lämpötilat eri pisteissä asettuvat ajan kuluessa arvoihin, jotka ovat ajan suhteen vakioita, tällöin puhutaan lämpötilajakauman tasapainotilasta ("steady state"). Tehtävänä on määrittää lämpötilajakauma levyssä tasapainotilan vallitessa.
Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta:
--- 20----20---20----
| | | | |
10----*-----*-----*---40
| | | | |
10----*-----*-----*----40
| | | | |
----20----20----20---
Kuvassa näkyvät annetut vakioreunalämpötilat (reunaehdot). Tehtävänä on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:llä merkityissä sisäsolmupisteissä käyttäen seuraavaa periaatetta: Lämpötila levyn solmupisteessä on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo.
Jos indeksoidaan solmupisteiden lämpötilat vaakarivijärjestyksessä: \(T_1,\ldots T_6\), voidaan ryhtyä kirjoittamaan yhtälöitä tyyliin:
\(T_1=\frac{20+10+T_4+T_2}{4}, \ldots .\)
Kirjoita koko \(6\times 6\)- yhtälösysteemi "standardimuodossa".
Huom: Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. Laplacen yhtälön \(\nabla^2 T = 0\) ratkaisuna. Tässä esitettyyn likimääräismenettelyyn ns. differenssimenetelmään
Vrt: Tehtävä mlPDE001 sisältää vastaavan suorituksen jatkokäsittelyohjeineen ja ratkaisuineen. Samanlaiset ohjeet sopivat tähän.
** LINKKI **
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mlteht/mlPDE/mlPDE002.tex
Avainsanat: Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä, Discretizaton of Laplace PDE, Linear system of equations, mlPDE,mlLA, Osittaisdifferentiaaliyhtalo, Partial differential equation, Matlab