-
mlDi013
mlDi013.tex
Määritä funktion \(f(x) = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\) suurin ja pienin arvo välillä \([-1,1]\).
Vihje:
\(\arcsin\) on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin.
Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diffistekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace kapeammalla välillä, find, ...
Vaativuus: 1+
Tehtävän Latex-koodi:
../mlteht/mlDiffint1/mlDi013.tex
Ratkaisu:
../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi013R.pdf
../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi013R.m
Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1, looginen indeksointi, minimi/maksimi
Matlabfunktioita: find, fminsearch
-
mlDi030
mlDi030.tex
Muista, että funktion \(f\) derivaatta pisteessä \(x_0\) määritellään seuraavasti: \[f'(x_0)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .\] Kuinka laskisit derivaatan numeerisesti? Kirjoita MATLAB funktio joka laskee annetun funktion derivaatan.
Kokeile laskea funktion \(f(x)= \sin(x)\) ja vertaa saamaasi tulosta derivaatan tarkkaan arvoon \(f'(x)=\cos(x)\). Tuottaako pienempi \(h\):n arvo parempia tuloksia?
Keksitkö keinoa jolla laskea toinen derivaatta numeerisesti? Entä vektorifunktioiden derivointi?
Vihje Muista, että alkioittaiset operaatiot ilmoitetaan pisteellä.
Huom! Numeerinen derivointi on numeerisesti epästabiili ongelma johtuen siitä, että jatkuvan funktion erotusosamäärä on rajalla tyyppiä \(\frac{0}{0}\). Jos \(h\) on lähellä likulukulaskennan suhteellista virherajatarkkuutta, Matlab:ssa muuttuja eps, niin tulos voi mennä kohti metsikköä. Tätäkin voit tutkia lähemmin.
Opettajalle: Tehtävästä kannattaa poimia tarpeen mukaan ja sopivasti muokaten soveltuvia osia.
Vaativuus: 1+...2
Tehtävän Latex-koodi:
../mlteht/mlDiffint1/mlDi030.tex
Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1, differenssiapproksimaatio, erotusosamaara, erotusosamäärä, numeerinen derivaatta
Matlabfunktioita: diff
-
mlDi05
mlDi05.tex
Ohjelmat:
Maple,Mathematica , Matlab (erityisesti b)-kohta).
(Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex)
Laske integraali \[\int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{13 - 12\cos 2x}\,dx\] a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Vihje:
Mathematica:
Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation Notes.
Maple:
Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa.
Matlab:
Integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi). Sitten help integral, doc integral, myös quad-alkuiset. Voidaan myös integroida symbolisesti (symbolic toolbox tarvitaan, on Aallossa): syms x, int(f(x),a,b)
Vaativuus: 1+
Tehtävän Latex-koodi:
../mlteht/mlDiffint1/mlDi05.tex
Ratkaisu:
../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi05R.pdf
../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi05R.m
Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1
Matlabfunktioita: integral, quad.., syms x, int(f(x),a,b)
-
mlDi051
mlDi051.tex [Moler NCM Probl. 6.6 p. 180]
“Error function”, erf määritellään integraalina: \[\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt.\]
Tunnetusti integrointia ei voida suorittaa ns. “suljetussa muodossa”, mutta sille on kehittyneissä matemaattisissa ohjelmistoissa luotettava numeerinen laskentaohjelmansa, niin myös Matlab:ssa.
Käytä Matlab:n numeerista integrointifunktiota integral taulukoidaksesi erf-funktion arvoja \(x\):n arvoilla \(0.1,0.2,\ldots 1.0 .\) Vertaa Matlab:n erf-funktion arvoihin samoissa pisteissä.
Vihje: help integral (help quad), help erf
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mlteht/mlDiffint1/mlDi051.tex
Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, numeerinen integrointi, erf
Matlabfunktioita: integral, erf
-
mlDixxx
mlDixxx.tex
Template file
Let \[\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
1&2&3\\ 4 &5&6\\ 7&8&9
\end{bmatrix}.\] What can you say ...
Vaativuus: 1 - 3+
Tehtävän Latex-koodi:
../mlteht/mlLinalg/mlDixxx.tex
Avainsanat, keywords: Matlab, Diffint1, yhden muuttujan diffint, differentiqal calculus, functions of one variable