This page in English   ylös hierarkiassa

Matti Lassas - esimerkkejä tutkimusprojekteista

Inversio-ongelmia

Inversio-ongelmat ovat täsmällisen matemaattisen analyysin ala, jonka tutkimukset kuuluvat milloin puhtaan, milloin sovelletun matematiikan alaan. Yleensä inversio-ongelmilla tarkoitetaan tuntemattomien rakenteiden selvittämistä epäsuorilla mittauksilla. Tyypillinen inversio-ongelma on johtavuusyhtälön käänteisongelma, jota lääketieteellisissä sovelluksissa kutsutaan impedanssitomografiaksi. Käytännössä ongelma on seuraava: Halutaan selvittää tuntemattoman kappaleen rakenne tasavirtamittauksilla, joita tehdään kappaleen pinnalla. Kappaleen pinnalle syötetään erilaisia sähkövirtakuvioita, ja virran syöttämiseen tarvittava energia mitataan. Tutkittavana kohteena voi olla esimerkiksi ihmisen kudokset, lentokoneen runko tai maaperä. Matemaattisesti tämä inversio-ongelma vastaa osittaisdifferentiaaliyhtälön kertoimien määräämistä, kun yhtälön kaikkien mahdollisten ratkaisuiden reuna-arvot ja niiden normaaliderivaatat reunalla tunnetaan. Kuva impedanssitomografialaitteesta ja ratkaisulagoritmin tuloksesta löytyy Samuli Siltasen tutkimussivulta.

Useissa tapauksissa inversio-ongelmat ovat muodostaneet puhtaan matematiikan ja sovellusten välille sillan, jonka välityksellä matemaattiset tulokset ovat hyödyksi fysikaalisten ja teknisten tieteiden tutkijoille. Vastaavasti sovellukset ovat herättäneet uusia matematiikan näkökulmasta tärkeitä kysymyksiä.

Inversio-ongelmia tutkitaan erittäin aktiivisesti Suomessa, ja olemme perustaneet Suomen Inversioseuran tutkimuksen edistämiseksi.

Sähkömagnetismin matematiikkaa

Akustinen tai sähkömagneettinen sirontaongelma on annettuun kohteeseen osuvan kentän aiheuttaman heijastuksen ja vuorovaikutuksen selvittäminen, esimerkiksi matkapuhelimen aiheuttaman kentän ratkaiseminen puhelimen käyttäjän vartalossa ja ympäristössä. Tehtävän numeerisessa toteutuksessa kohdataan ongelma, joka liittyy laskenta-alueen äärettömyyteen: tietokoneessa toteutettavassa laskennassa laskenta-alue on katkaistava äärelliseksi. Tätä varten on kehitetty ns. Perfectly Matched Layer -menetelmä, joka tarkoittaa laskenta-alueen reunalle asetettavaa absorpoivaa kerrosta. Tämän kerroksen käyttö mahdollistaa äärettömän avaruuden ongelmien ratkaisemisen elementtimenetelmällä rajoitetussa avaruudessa. Olemme tutkineet näiden reunakerrosten ominaisuuksia ja menetelmän suppenemista. Tutkimuksessa on havaittu tämän mallin vastaavan matemaattisesti Euklidisen avaruuden muuttamista monistoksi, jonka metriikka muutetaan kompleksiarvoiseksi metriikaksi jonka kaarevuus on nolla. Tämä lähestymistapa mahdollistaa uusien absorpoivien reunakerrosten konstruoinnin, jossa absorpoiva kerros voidaan siirtää lähemmäksi tutkittavaa objektia. Absorpoivaa PML kerrosta voidaan numeeriseti demonstroida seuraavasti: Video1 vastaa tasossa kiekosta sironnutta aaltoa. Video2 on kuva ratkaisusta, jossa laskenta-alueen reunan lähellä on PML-kerros. Näin saadut kaksi ratkaisua ovat miltei samoja sirottajan lähellä. Tässä alueessa, jossa olemme kiinnostuneita sironneen aallon arvoista, PML ratkaisu on siis hyvä approximaatio sironneesta aallosta.

Matti Lassas <Matti.Lassasathut.fi>
19.8.2004