Inversio-ongelmat ovat täsmällisen matemaattisen analyysin ala,
jonka tutkimukset kuuluvat milloin puhtaan, milloin
sovelletun matematiikan alaan.
Yleensä inversio-ongelmilla tarkoitetaan tuntemattomien
rakenteiden selvittämistä epäsuorilla mittauksilla.
Tyypillinen inversio-ongelma on johtavuusyhtälön käänteisongelma,
jota lääketieteellisissä sovelluksissa kutsutaan impedanssitomografiaksi.
Käytännössä ongelma on seuraava: Halutaan selvittää tuntemattoman
kappaleen rakenne tasavirtamittauksilla, joita tehdään kappaleen pinnalla.
Kappaleen pinnalle
syötetään erilaisia sähkövirtakuvioita, ja virran syöttämiseen
tarvittava energia mitataan. Tutkittavana kohteena voi olla
esimerkiksi ihmisen kudokset, lentokoneen runko
tai maaperä. Matemaattisesti tämä inversio-ongelma vastaa
osittaisdifferentiaaliyhtälön kertoimien määräämistä, kun
yhtälön kaikkien mahdollisten ratkaisuiden reuna-arvot ja niiden
normaaliderivaatat reunalla tunnetaan.
Kuva
impedanssitomografialaitteesta ja ratkaisulagoritmin tuloksesta löytyy
Samuli Siltasen
tutkimussivulta.
Useissa tapauksissa
inversio-ongelmat ovat muodostaneet
puhtaan matematiikan ja sovellusten välille sillan, jonka välityksellä
matemaattiset tulokset ovat hyödyksi fysikaalisten ja
teknisten tieteiden tutkijoille. Vastaavasti sovellukset ovat
herättäneet uusia matematiikan näkökulmasta tärkeitä kysymyksiä.
Inversio-ongelmia tutkitaan erittäin aktiivisesti Suomessa, ja
olemme perustaneet
Suomen Inversioseuran tutkimuksen edistämiseksi.