# MATS262 Stokastiikka 1 # Kasinon keskituoton suuret poikkeamat # Lasse Leskelä - 2012-04-23 # # Tarkastellaan kasinoa, jossa pelataan yhden euron panoksin rulettia punaiselle # ja mustalle panostaen. Yhdellä pelikierroksella asiakas voittaa euron tn:llä p # ja häviää euron tn:llä 1 - p, missä p = 18/37. # # Kasinon tuotto n:ltä kierrokselta on V[n] = n - 2*S[n], missä # S[n] = xi[1] + ... + xi[n] ja missä summattavat ovat riippumattomia # Bernoulli-jakautuneita satunnaismuuttujia parametrilla p. # # Suurten lukujen lain perusteella kasinon keskituotto n:ltä kierrokselta V[n]/n # lähestyy arvoa 1 - 2p = 1/37 melkein varmasti, kun n kasvaa. # # Harvinainen tapahtuma: Kasinon keskituotto V[n]/n suurelta määrältä kierroksia n # jää alle 1 - 2p - delta jollain delta > 0. Tämän tapahtuman todennäköisyys on # # pdev[n] = P( S[n]/n > p + delta/2 ). # # Arvioidakseen liiketoimintansa riskiä, kasinonomistajan tulee selvittää, miten nopeasti # pdev[n] suppenee nollaan, kun n kasvaa. # # Tn, että asiakas voittaa. p <- 18/37 # Harvinaisen tapahtuman kynnystaso. delta <- 0.1 a <- p + delta/2 # Suurin pelikierrosten lukumäärä. N <- 1000 # Lasketaan todennäköisyydet. # Koska S[n] noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p, saadaan pdev[n] laskettua # binomijakauman kertymäfunktion avulla. # pdev <- numeric(N) for (n in 1:N) { pdev[n] <- pbinom(a*n,n,p, lower.tail = FALSE) } # Piiretään todennäköisyyksien logaritmit punaisella. plot( log(pdev), type='p', pch='.', col='red') # Sovitetaan suora. vec1 <- log(pdev) vec2 <- 1:N fit <- lm(vec1 ~ vec2) I <- -fit$coefficients[[2]] abline(fit) # Näytetään tulokset tekstimuodossa. cat('xi[1]:n odotusarvo: p =', p, '\n') cat('Harvinaisen tapahtuman kynnystaso: delta =', delta, '\n') cat('Aritmeettisen keskiarvon kynnystaso: a = p + delta/2 = ', a, '\n') cat('Log-plotin sovitetun suoran kulmakertoimen itseisarvo: I(a) =', I, '\n')