Korjauksia luentomonisteeseen

 Todennäköisyysteoria
 Tommi Sottinen
 Helsingin yliopisto 2006


s.13 Apulauseen 2.2.5 todistuksessa tulee asettaa B_n = A_1 kun n=1.
s.14 Määritelmän 2.3.5 inkluusiot ovat väärään suuntaan.
s.15 Apulauseen 2.3.6 todistuksessa toiselta riviltä alkavat kaksi virkettä ovat turhia.
s.15 Apulauseen 2.3.7 todistuksessa kolmannen yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella viimeinen
     leikkaus pitäisi olla yhdiste.

s.16 Seurauksen 2.3.10 todistuksesta puuttuu monta (epätriviaalia) välivaihetta.
     Tarkempi perustelu vastaavalle tulokselle löytyy David Williamsin (1991) kirjan luvusta 1.8.

s.17 Legesguen -> Lebesguen

s.20 Esimerkin 3.1.2 kohta (iii). Matemaattisesti X on identtinen kuvaus Omegalta itselleen.
     Kun perusjoukko Omega varustetaan äärellisen joukon {1,2,...,6} tasajakaumalla, voidaan
     X tulkita kuusisivuisen nopanheiton tuloksena. Vastaavasti Y määritellään matemaattisesti
     Y = 1(X on parillinen).

s.23 F:n yleistetyn käänteisfunktion määritelmässä inf-kohdassa y:n arvojoukon pitää olla koko
     reaaliakseli. Usein käytetään vasemmalta jatkuvaa yleistettyä käänteisfunktiota, missä
     inf-lausekkeessa F(y) >= x Sottisen F(y) > x määritelmän sijaan.

s.28 Määritelmässä 4.1.9 tulee poistaa lause "mikäli tämä supremum on äärellinen". Positiivisen
     satunnaisluvun odotusarvon määritelmässä on yleinen ja hyvä käytäntö sallia odotusarvon
     arvoksi myös ääretön. Tätä käytäntöä sovelletaan esim. Lauseessa 4.1.11 sivulla 28.

s.51 Määritelmässä 5.3.4 esitellyn tulomitan olemassaolo ei seuraa mitenkään suoraviivaisesti
     Carathéodoryn laajennuslauseesta (Lause 2.3.9), sillä mitallisten suorakaiteiden kokoelma
     ei ole algebra (se ei ole suljettu komplementin suhteen).

s.52 Fubinin lauseen (lause 2.3.6) todistaminen vaatii enemmän koneistoa kuin leikekuvausten mitallisuuden
     (apulause 5.3.3) ja monotonisen suppenemisen lauseen (lause 4.2.1). Nimittäin sen todistaminen,
     että mielivaltaisen tulosigma-algebran joukon A indikaattorifunktion leikekuvauksen integraali
     on mitallinen, vaatii monotonisen luokan lauseen (lause apulause 2.3.7) soveltamista.