Huom! Jotta tämän sivun kaavojen alaindeksit ja eksponentit näkyisivät oikein, HTML 3:n soveltuvin osin hallitseva selain on tarpeen. TKK:n atk-keskuksen koneissa sellaisia ovat Arena ja Netscape 2.0, jotka käynnistyvät komennoilla arena ja netscape2.

Monimutkaisia tuloksia vähällä vaivalla

Joissakin tapauksissa verrattain yksinkertaistenkin yhtälöryhmien ratkaiseminen Groebner-kantojen avulla edellyttää monimutkaisia laskutoimituksia, jotka vievät tehokkaaltakin tietokoneelta paljon aikaa.

Katsotaan ensin lähdeteoksen [1] tehtävää 2.9.13.a:

       x⁵ + y⁴ + z³ - 1 = 0
       x³ + y² + z² - 1 = 0

> read `groebner.mpl`;
> clos29pr13a:=[x^5+y^4+z^3-1,x^3+y^2+z^2-1];

                                5    4    3       3    2    2
               clos29pr13a := [x  + y  + z  - 1, x  + y  + z  - 1]

> generalsolve(clos29pr13a,[],[],verbose);

The Groebner bases are:
[[x^3+y^2+z^2-1, -x^5-y^4+1+z*x^3+z*y^2-z, x^5+2*y^4-2*z*x^3-x^8-x^3*y^4-x^3+x^
6*z+y^2*x^5+y^6-3*y^2+2*y^2*x^3+z*x^5+x^6, -5*y^4+3*x^3+3*y^2-2*x^5-3*x^6+y^6+3
*x^3*y^4-6*y^2*x^3+x^10+2*y^4*x^5+3*y^2*x^6+y^8+x^9]]

[{y = 0, z = 1, x = 0}, {y = 1, z = 0, x = 0}, {z = 0, x = 0, y = -1},

                          2
{z = -2, y = RootOf(3 + _Z ), x = 0}, {y = 0, z = 0, x = 1},

                          2
{z = -1, y = RootOf(1 + _Z ), x = 1},

                      4                  2
{x = %3, y = RootOf(_Z  + (- 5 - 4 %3) _Z  + 6 %3 + 4),

                 4                  2            2
    z = RootOf(_Z  + (- 5 - 4 %3) _Z  + 6 %3 + 4)  - 3 - 2 %3},

                             2
{x = %3, z = 0, y = RootOf(_Z  + 3 + 2 %3)},

       1/2
{y = %2   ,

           5       2    8    3   2    3       5     3                3    6
          x  + 2 %2  - x  - x  %2  - x  + %2 x  + %2  - 3 %2 + 2 %2 x  + x
    z = - -----------------------------------------------------------------,
                               3           2
                              x  (x - 1) (x  + 2 x + 2)

    x = x},

         1/2
{y = - %2   ,

           5       2    8    3   2    3       5     3                3    6
          x  + 2 %2  - x  - x  %2  - x  + %2 x  + %2  - 3 %2 + 2 %2 x  + x
    z = - -----------------------------------------------------------------,
                               3           2
                              x  (x - 1) (x  + 2 x + 2)

    x = x},

       192       12   10    31   9   131   8    56   7   2501   6    47    5
{z = - --- %1 - --- %1   + --- %1  + --- %1  - --- %1  + ---- %1  - ---- %1
       169      845        845       845       845       1690       1690

        696   4   919   3   704   2    94
      + --- %1  - --- %1  - --- %1  - ---,
        845       845       845       845

   x = %1,

                               10         9          8          7           6
   y = 1/130 (19200 %1 + 240 %1   - 620 %1  - 2620 %1  + 1120 %1  - 25010 %1

                 5           4           3           2
         + 470 %1  - 13920 %1  + 35280 %1  + 14080 %1  - 15020)^1/2           }

    ,

       192       12   10    31   9   131   8    56   7   2501   6    47    5
{z = - --- %1 - --- %1   + --- %1  + --- %1  - --- %1  + ---- %1  - ---- %1
       169      845        845       845       845       1690       1690

        696   4   919   3   704   2    94
      + --- %1  - --- %1  - --- %1  - ---,
        845       845       845       845

  x = %1,

                                10         9          8          7           6
  y = - 1/130 (19200 %1 + 240 %1   - 620 %1  - 2620 %1  + 1120 %1  - 25010 %1

                 5           4           3           2
        + 470 %1  - 13920 %1  + 35280 %1  + 14080 %1  - 15020)^1/2

    }

]

               11       10       9        8       7       6        5        4
%1 := RootOf(_Z   + 3 _Z   + 4 _Z  + 20 _Z  + 4 _Z  + 4 _Z  - 50 _Z  - 36 _Z

            3        2
     - 36 _Z  + 32 _Z  + 32 _Z + 32)

               4     3             3      5    2       6      3              5
%2 := RootOf(_Z  + _Z  + (- 5 + 3 x  + 2 x ) _Z  + (3 x  - 6 x  + 3) _Z - 2 x

          6    10    9      3
     - 3 x  + x   + x  + 3 x )

                                     2
%3 :=                       RootOf(_Z  + 2 _Z + 2)

Saatiin 12 varsin monimutkaisen näköistä ratkaisua. Maplen oma solve antaa ainakin muutaman ratkaisun siistimmässä muodossa:

> solve(convert(clos29pr13a,set));

                          3     2     1/2
                 {y = (- x  - %1  + 1)   , z = %1, x = x},

                                3     2     1/2
                     {y = - (- x  - %1  + 1)   , z = %1, x = x}

                      4     3       3        2    5    6      3
%1 :=        RootOf(_Z  + _Z  + (2 x  - 2) _Z  + x  + x  - 2 x )

Mutta entä jos muutetaan jälkimmäisessä yhtälössä y:n eksponenttia kakkosesta kolmoseksi? Katso, jos uskallat!

Kenrick Bingham 13.5.1996