\documentclass[finnish,a4paper,notitlepage]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{verbatim}
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts,amsbsy,amsmath,amsthm}

%\usepackage{omateng}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bma}{\begin{bmatrix} }
\newcommand{\ema}{\end{bmatrix} }

%% Omia määrityksiä:
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Maple{{\sc Maple}}
\def\m{{\sc Maple}}
\def\maplea{{\sc Maple}a}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\mlb{{\sc Matlab}}
\def\oct{{\sc Octave}}


\newtheorem{maarit}{M\"a\"aritelm\"a}
\newtheorem{esim}{Esimerkki} 
\newtheorem{huom}{Huomautus}
\newtheorem{teht}{Teht\"av\"a}
\newtheorem{intteht}{Interpolaatioteht\"av\"a}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{lause}{Lause}
\newtheorem{seur}[lause]{Seuraus}
%\newtheorem{esime}{Esimerkki}
%\newtheorem{teht}{Tehtävä}

\scrollmode
\hfuzz10pt
\vfuzz4pt
\parindent=0pt\parskip=7pt


%\addtolength{\hoffset}{-1.4cm}
\textwidth=16cm



%\makeindex


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\noindent






\subsection*{Interpolaatioesimerkki yhtälöryhmän ratkaisuna}



\begin{esim}\label{polyint2}
Annettu $x-$pisteet $x_0=-2, x_1=-1, x_2=3$
ja vastaavat $y-$arvot
$y_0=1, y_1=-2, y_2=5$. Etsimme toisen asteen polynomia 
$p(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2,$ joka toteuttaa ehdot $p(x_k)=y_k, k=0,1,2.$ 
\end{esim}

Yhtälöryhmä kertoimien $a_0,a_1,a_2$ määräämiseksi:

$$
\begin{cases}
a_0+ a_1(-2)+a_2 (-2)^2 = 1\\
a_0+a_1(-1) x+a_2 (-1)^2 = -2\\
a_0+a_1 3+a_2 3^2 = 5
\end{cases}
$$




Kaikki tieto yhtälöryhmästä sisältyy "matriisiin" 
$A=\left[ \begin {array}{ccc} 1&-2&4\\
\noalign{\medskip}1&-1&1\\
\noalign{\medskip}1&3&9\end {array} \right]$
ja "vektoriin" 
$b=\left[ \begin {array}{c} 1\\
\noalign{\medskip}-2\\
\noalign{\medskip}5\end {array} \right]$

\matl:ssa muodostamme matriisin $A$ ja vektorin $b$ alla olevaan tyyliin

\begin{verbatim}
>> A=[1 -2 4;1 -1 1;1 3 9]

A =
     1    -2     4
     1    -1     1
     1     3     9

>> b=[1;-2;5]

b =
     1
    -2
     5
\end{verbatim}

\matl:ssa on komento, jolla yhtälöryhmä ratkaistaan:

\begin{verbatim}
>> c=A\b

c =
   -3.1000
   -0.1500
    0.9500
\end{verbatim}

Huomautan vielä, että yllä olevat laskut voidaan varmasti suorittaa myös
kehittyneellä laskimella, kuten {\sc TI-86}:lla tai vastaavalla.

\textbf{Piirretään x- ja y-pisteet}

\begin{verbatim}
>> xdata=[-2 -1 3];  % Annettujen pisteiden x-koordinaatit
>> ydata=[1 -2 5];   % Annettujen pisteiden y-koordinaatit
>> plot(xdata,ydata,'o')
>> hold on           % Seuraavat kuvat nykyisten päälle.
\end{verbatim}

\textbf{Lisätään samaan kuvaan saamamme polynomin kuvaaja}

\begin{verbatim}
>> x=linspace(-2.1,3.1,100); % Välin [-2.1,3.1] jako 100:aan osaan  
>> p=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.^2;  % Miksi .^, lue www-oppaista. 
                             % polyval on suositeltavampi komento, mutta
                             % yllä oleva lienee helpompi ymmärtää.
>> plot(x,p)                 % Polynomin pisteet (100:n resoluutiolla)
>> xlim([-2.1 3.1])          % Asetellaan koordinaatistoa paremmaksi
>> grid on                   % koordinaattiviivat
\end{verbatim}

\begin{figure}[ht]
  \begin{center}
  %  \leavevmode
  %  \epsfig{file=kuva2.eps, height=10cm, width=14cm}
  %   \includegraphics[height=10cm, width=14cm]{kuva2.eps}
 \includegraphics[width=0.70\textwidth]{kuva2.eps}
     \caption{Interpolointi 2. asteen polynomilla}
     \label{fig:int2}
  \end{center}
\end{figure}


\subsubsection*{Kysymyksiä, johtopäätöksiä}

Yllä saimme ratkaisun, jonka Seurauslauseen 2 perusteella 
tiedämme 
yksikäsitteiseksi. Entä jos olisimme valinneet pisteet 
jotenkin hankalasti?
On helppo uskoa, että ainoa ongelmallinen valinta olisi se,
jossa pisteet
sijaitsevat samalla suoralla. Mutta tehtävämme on valita 
\emph{mahdollisimman
alhaista astetta} oleva polynomi. Siinä tapauksessa ratkaisuna olisi 1. asteen
polynomi, suora, joka kulkee näiden kolmen pisteen kautta.

Miten perustellaan ratkaisun olemassaolo tarkasti? 

Tässä tapauksessa voidaan muodostaa yhtälöryhmä, jonka matriisissa
annetaan olla lukujen $x_0, x_1, x_2$ symbolisessa muodossa.
Tämä on sopiva pikku \textbf{harjoitustehtävä}. Kun teet tehtävän, näet,
että matriisi on tiettyä yleistä muotoa, jota sanotaan 
\emph{Vandermonden matriisiksi}. Voidaan osoittaa aivan yleisesti, 
että tätä tyyppiä oleva yhtälöryhmä on aina yksikäsitteisesti ratkeava.
(Eräs tapa on laskea ns.
``determinantti'' ja todeta, että se on aina nollasta poikkeava, 
kun $x_k$-pisteet ovat erillisiä.
Jos tunnet determinantteja, voit laskea sen tässä 
$3\times 3-$tapauksessa. )

\end{document}
