% Riikka Nurmiainen
% LaTeX2e

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage{t1enc}
%\usepackage{apalike}
\usepackage{vmargin,ifthen}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{here}
%\usepackage{url}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{notebook}
\setlength{\parskip}{\medskipamount}
\setlength{\parindent}{0pt}

\setpapersize{A4}
\setmargins{30mm}{30mm}{150mm}{250mm}{0pt}{0pt}{10mm}{10mm}
%           left  top  width  height head  hsep foot fskip


\def\CellGroup{\bgroup}
\def\endCellGroup{\egroup}

\begin{document}

%\begin{Heikinkommentti}
% Heikin kommentteja ...
%
%\end{Heikinkommentti} 

% Jatkossa lyhyesti %HK

\section*{Tavallisia differentiaaliyhtälöitä Mathematicalla:
osa 1}

Teknillisen korkeakoulun {\em MatTa}-projektissa
(http://www.math.hut.fi/matta/) kehitetään tietotekniikkaa
hyödyntävää opiskelumateriaalia ja samalla tutkitaan opiskelijan
työskentelyä hänen käyttäessään projektissa tuotettuja
opiskelumateriaaleja.  Projektiin liittyen pidin Helsingin
matematiikkalukiossa (Maunulan yhteiskoulu) kurssin, jossa
opiskeltiin tavallisia differentiaaliyhtälöitä Mathematican
~\cite{wolfram} avulla. Sekä tässä artikkelissa sekä myöhemmin
ilmestyvässä kerron joitakin esimerkkejä kurssilla käsitellyistä
aiheista. 

Taustatietona mainittakoon, että kurssi järjestettiin kokonaan
tietokoneluokassa, jossa opiskelijat annettujen ohjeiden avulla
tutkivat differentiaaliyhtälöitä Mathematicaa apuna käyttäen.
Opettaja oli koko ajan läsnä opastamassa. Noin kaksi viikkoa kurssin
alusta kului Mathematicaan tutustumiseen. Vasta sen jälkeen alkoi
perehtyminen differentiaaliyhtälöihin. 

%\begin{Heikinkommentti}
% Mathematica on Solmun numerossa 2/1999 -- 2000 esitellyn Maplen tavoin 
mittava symbolilaskentaohjelmisto. Vrt.
http://www.math.helsinki.fi/Solmu/solmu12/apiola/
%
%\end{Heikinkommentti} 




\subsection*{Differentiaaliyhtälöitä toisella tavalla}


\begin{document}

%\begin{Heikinkommentti}
% Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan ...
% Yksinkertaisin esimerkki
% Putoava kappale ja Newtonin 2. laki, liikeyhtälö
% 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö ilmaisee siis seuraavaa: -> suuntakentän
% idea.
% Yhtälön kertaluku tarkoittaa ...

% Jos differenitaaliyhtälö on muotos y'(t)=f(t), saadaan ratkaisu suoraan
% integroimalla. Muita analyyttisesti ratkeavia ovat ns. separoituvat, 
% lineaariset ym.

% Aivan kuten yhtälön y'=f(t) ratkaisussa voidaan lisätä mielivaltainen 
% integroimisvakio, niin myös yleisemmillä on kokonainen ratkaisujen parvi.
%  Alkuarvotehtävä tarkoittaa ... 

% Faasitaso ja kavalitatiivinen menetelmä, mitä tarkoittaa, tai selitetään
% kohta...
%\end{Heikinkommentti} 

Differentiaaliyhtälöitä käsitellään usein vain opetellen joukko
mekaanisia tietyn tyyppisten yhtälöiden ratkaisukeinoja.
Tällöin saattaa jäädä mielikuva, että kaikki
differentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista analyyttisesti. Tätä
käsitystä vahvistaa se, että alkuarvotehtävän numeeriseen ratkaisemiseen
perehdytään usein eri kurssissa (jos aikaa jää).
Differentiaaliyhtälön ratkaisun kvalitatiivinen tarkastelu jää myös
yleensä pintapuoliseksi.

Maunulassa pidetyllä kurssilla panostettiin lähinnä
differentiaaliyhtälön kvalitatiiviseen tarkasteluun sekä numeerisiin
ratkaisumenetelmiin. 

Laskentaohjelmilla voidaan vaivattomasti piirtää suuntakenttiä
ja faasitasoesityksiä ja tarkastella näiden avulla
ratkaisun/ratkaisujen ominaisuuksia. 

Laskentaohjelmat tarjoavat myös loistavat puitteet differentiaaliyhtälöiden
numeeristen ratkaisumenetelmien opiskelulle. Ohjelman avulla voidaan
verrata differentiaaliyhtälön numeerisia ratkaisumenetelmiä,
pienentää askelpituutta ja tutkia jopa kaoottisia tapauksia. 
Aikaa jää asioiden pohtimiseen ei mekaaniseen suorittamiseen.

% beginHK (tyyliseikka)
Aikaa jää asioiden pohtimiseen mekaanisen suorittamisen sijasta.
% endHK

Yksinkertaisimpien numeeristen menetelmien %HK (Euler, Runge-Kutta)
                                        % Nimet ja termit ehkä rasittavat
                                      % jos niitä tulee liikaa ilman selitystä
ohjelmoiminen tietokoneelle ei myöskään kokeilukurssilla tuottanut
opiskelijalle ongelmia. Tästä aiheesta lisää myöhemmin ilmestyvässä
artikkelissa.

\subsection*{Autonominen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö}

%HK Jos edellä esitetyssä muodossa $y'=f(t,y)$ ei esiinny muuttujaa y
% erikseen  (olisko ``eksplisiittistäkin'' hyvä välttää, en tiedä.

{\em Autonominen} ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muotoa
$y'=f(y).$ Yleisesti autonomisessa yhtälössä tuntemattomana olevan funktion
argumenttia ei ole eksplisiittisesti mukana
yhtälössä, vaan se esiintyy ainoastaan tuntemattoman funktion argumenttina. 

Tarkastellaan esimerkkinä autonomista ensimmäisen kertaluvun
differentiaaliyhtälöä $$y'=y(2-y).$$ 

%HK Yhtälö on sellaista tyyppiä, jossa muuttujat voidaan niin sanotusti
%HK erottaa ja sitä kautta ratkaista analyyttisesti tms...
%HK Osamurtokehitelmästä ei kannattane puhua.
%HK Parhaat symboliaskentaohjelmat osaavat ``temppuvalikoiman'' ...
%HK niinpä Mathematica osaa ratkaista, kas näin ...

Yhtälö on separoituva ja sen
analyyttinenkin ratkaisu saadaan osamurtokehitelmää apuna käyttäen
varsin helposti. Mathematica antaa yhtälön analyyttisen ratkaisun seuraavasti 

\begin{CellGroup}
\dispSFinmath{\Mfunction{DSolve}[y'[t]==y[t](2-y[t]),y[t],t]}
\dispSFoutmath{\big\{\big\{y[t]\rightarrow \frac{2\ {e^{2\ t}}}{{e^{2\ t}}-{e^{2\ \Mfunction{C}[1]}}}\big\}\big\}}

\end{CellGroup}

%HK Lisäksi yhtälöstä näkyy suoraan, että vakiofunktiot ...
Erikoisratkaisuina saadaan $y=0$ ja $y=2$. 
Usein ratkaisujen lausekkeet ovat sen verran mutkikkaita, että
ratkaisufunktioiden käyttäytymisen analysointi suoraan lausekkeesta saattaa
osoittautua hankalaksi. 

\subsubsection*{Kvalitatiivinen tarkastelu}

Tarkastellaan nyt differentiaaliyhtälön ratkaisuja {\em kvalitatiivisesti} ts.
tarkastellaan mitä itse differentiaaliyhtälö kertoo ratkaisuista. 

%HK Tässä olisi kiva, jos olisi hieman perusteellisempi selitys, kenties
% alussa olevaa täydentäen.
Kvalitatiivisessa tarkastelussa käytetään usein apuna
differentiaaliyhtälön {\em suuntakenttää}. Suuntakenttä muodostetaan
laskemalla differentiaaliyhtälöstä $y'=f(t,y)$ sopiviin
hilapisteisiin $(t,y)$ liittyvien suunta-alkioiden kulmakertoimet
$f(t,y)$ ja piirtämällä tämän jälkeen suunta-alkiot. Vertaa kuvan 1
suuntakenttiä. Miten autonomisuus näkyy suuntakentästä? 

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\epsfig{file=kuva1.eps,height=4cm}
\caption{Differentiaaliyhtälöiden $y'=e^{-t}-2y$ ja $y'=y(2-y)$ suuntakentät.}
\end{center}
\end{figure}

Mitä differentiaaliyhtälö $y'=y(2-y)$ sitten kertoo yhtälön
ratkaisufunktioista? Koska diffrentiaaliyhtälö on autonominen,
ratkaisufunktioiden $y=y(t)$ derivaatta riippuu ainoastaan funktion
$y$ arvosta. Välittömästi löydetään yhtälön vakioratkaisut eli
tasapainoratkaisut: $y=0$ tai $y=2$.  Muut ratkaisukäyrät eivät voi
leikata näitä, joten muut ratkaisut sijaitsevat alueissa $y<0$,
$0<y<2$ tai $y>2$. 

Derivaatan kuvaaja (kuva 2) on $y$:n suhteen alaspäin aukeava paraabeli
(nollakohdat $y=0$ ja $y=2$).  Derivaatta on siis positiivinen, kun
$0<y<2$, joten tässä alueessa olevat ratkaisut ovat kasvavia
funktioita. Lisäksi ratkaisut lähestyvät arvoa 2, kun $t$ lähestyy
ääretöntä. Vastaavasti derivaatta on negatiivinen alueissa $y<0$ ja
$y>2$, joten näiden alueiden ratkaisut ovat väheneviä funktioita.
Alueen $y>2$ ratkaisut lähestyvät myös lukua 2, kun $t$ lähestyy
ääretöntä. Alueen $y<0$ ratkaisut taas vähenevät rajatta. Voidaan
päätellä (ja suuntakentästäkin nähdään), että tasapainoratkaisuista
$y=2$ on {\em stabiili} ja $y=0$ on {\em epästabiili}.
% HK Jos puhutaan stabiilista ja epästabiilista, niin kannattaisi
% HK varmaan parilla sanalla kuvata tai ``pehmentää''.

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\epsfig{file=kuva2.eps,height=4cm}
\caption{Lausekkeiden $y(2-y)$ ja 
$2y^3-6y^2+4y$ kuvaajat.}
\end{center}
\end{figure}

Paraabelista voidaan myös nähdä välillä $0<y<2$ olevien ratkaisukäyrien
käännepiste $y=1$. Kuperuuden suunnat saadaan selville esimerkiksi
derivoimalla differentiaaliyhtälöä puolittain, jolloin saadaan yhtälö
$$y''=2y'-2yy'.$$ Kun tähän sijoitetaan alkuperäisestä yhtälöstä
$y'$:n lauseke, saadaan $$y''=2(y(2-y))-2y(y(2-y))=2y^3-6y^2+4y.$$
Laskemalla $y''$:n nollakohdat ja tutkimalla lausekkeen $y''$ merkkiä
(kuva 2) havaitaan, että välille $y>2$ sijoittuvat ratkaisut
ovat alaspäin kuperia ja välille $y<0$ sijoittuvat ylöspäin kuperia.
Välille $0<y<2$ sijoittuvien ratkaisujen toinen derivaatta vaihtaa
merkkiään positiivisesta negatiiviseksi ohittaessaan kohdan $y=1$,
joten tässä kohdassa näiden ratkaisujen kuperuussuunta muuttuu
alaspäin kuperasta ylöspäin kuperaksi. 

\subsection*{Autonominen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö}

Autonominen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muotoa
$y''=f(y,y').$ Tämä voidaan kirjoittaa ensimmäisen kertaluvun
differentiaaliyhtälöpariksi
$$\begin{cases}y'=z \\
z'=f(y,z).\end{cases}$$  
Kun tämä kirjoitetaan muotoon
$$\begin{cases}\dfrac{dy}{dt}=z \\
\dfrac{dz}{dt}=f(y,z)\end{cases}$$  
ja jaetaan puolittain, saadaan
$$\dfrac{dz}{dy}=\dfrac{f(y,z)}{z}.$$ 
Tämän yhtälön
oikealle puolelle voidaan laskea arvo jokaisessa $yz$-tason
pisteessä, jossa se on määritelty.  Tällä tavoin voidaan piirtää
suuntakenttä $yz$- eli $yy'$-tasoon. Suuntakenttä kuvaa ratkaisukäyriä
$$\begin{cases}y=y(t) \\ z=z(t)\end{cases}$$
tässä tasossa. Muuttuja $t$ on siis käyräparametrin asemassa. Kun
tähän suuntakenttään piirretään alkuehdon $y(0)=a$, $z(0)=b$
toteuttava ratkaisukäyrä, saadaan tämän alkuehdon toteuttavan
ratkaisun {\em faasitasoesitys}. 

Tutustutaan faasitasoesitykseen esimerkin avulla.

\subsubsection*{Harmoninen värähtelijä}

Tutkitaan kappaletta (massa $m$), joka on ripustettu
pystysuoraan kierrejouseen, jonka jousivakio on $k$. Kappale
saatetaan pystysuoraan värähdysliikkeeseen poikkeuttamalla se
tasapainoasemasta ja antamalla sille lähtönopeus $v_0.$ Olkoon
positiivinen suunta ylöspäin. Kappaleeseen vaikuttaa tasapainoasemaa
kohti suuntautuva harmoninen voima $F=-ky$, missä $y$ on kappaleen
poikkeama tasapainoasemasta. Kappaleen liikeyhtälö on
$$m y''=-ky.$$ Systeemin liikettä kuvaa siis toisen kertaluvun
vakiokertoiminen, lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö
%HK Luulisin, että joitakin termejä voisi jättää pois. Homogeeninen
%ja lineaarinenkin voivat olla vain turhaa painolastia.
% Toinen kertaluku on ehkä selitetty aiemmassa %HK:ssa.

$$my''+ky=0.$$  Alkuehto $y(0)=y_0$ ja $y'(0)=v_0$ määrää
yksikäsitteisesti värähtelijän radan. Käsin yhtälöä ratkaistaessa
muodostetaan yhtälöä vastaava karakteristinen yhtälö $r^2+k/m=0$,
jonka ratkaisut ovat $r=\pm i \sqrt{k/m}.$
Värähtelevän kappaleen ratakäyräksi saadaan (käsin tai koneella) 
$$y(t)=y_0\cos(\omega_0t)+\dfrac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t),$$
missä on kirjoitettu $\sqrt{k/m}=\omega_0$, joka kuvaa
värähtelyn ominaistaajuutta. Erityisesti, jos alkunopeus $v_0=0$,
liikeradan yhtälö on $y(t)=y_0\cos(\omega_0t).$

%HA Faasitaso? Jotenkin olis hyvä ensin sanoa, mikä on faasitaso.

Alkuarvotehtävän ratkaisu voidaan esittää faasitasossa muokkaamalla
differentiaaliyhtälö yhtälöpariksi $$\begin{cases}y'=z \\ 
z'=-\dfrac{k}{m}y.\end{cases}$$ Olkoon nyt jousivakio $k=5$ ja
kappaleen massa $m=1$. Seuraavassa kuvasarjassa (kuva 3) on kolmen
eri alkuehdon määräämien ratkaisujen faasitasoesitykset ts.  kuvat
paikka--nopeus"-koordinaatistossa.  Etsi faasitasoesityksistä kohdat,
joissa kappale ohittaa tasapainoaseman tai on ääriasemissa. Milloin
kappaleen nopeus on positiivinen/negatiivinen ja milloin se
on itseisarvoltaan pienin/suurin. Miten kappaleen alkunopeus
vaikuttaa amplitudiin?

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\epsfig{file=kuva3.eps,height=6cm}
\caption{Yhdistä harmonisen värähtelijän ratkaisukäyrän
faasitasoesitys oikeaan alkunopeuteen. Kaikissa alkupoikkeama $y(0)=2$.
Alkunopeudet ovat $y'(0)=0$, $y'(0)=-5$ ja $y'(0)=5.$}
\end{center}
\end{figure}

Kuvassa 4 on piirrettyinä kahden kuvassa 3 esitetyn
ratkaisun faasitasoesityksen aikariippuvuuskuvat sekä paikalle että
nopeudelle.  Mieti, minkä kuvien esitykset ovat kyseessä?

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\epsfig{file=kuva4.eps,height=4cm}
\caption{Kahdella eri alkuehdolla aikariippuvuuskuvat paikalle ja nopeudelle.}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection*{Vaimeneva värähtely}

Harmonisen värähtelyn amplitudi säilyy muuttumattomana. Jokainen
todellinen värähtelijä kuitenkin vaimenee vähitellen, ellei sen
värähtelyä ylläpidetä ulkoisella voimalla. Sen energia kuluu
vähitellen työhön liikettä vastustavia voimia vastaan. Oletetaan nyt,
että kappaleeseen vaikuttaa harmonisen voiman lisäksi kappaleen
nopeuteen verrannollinen vastusvoima
$$F_v=-\beta v.$$
Vaimennetun värähtelijän liikeyhtälöksi saadaan
$$my''=-ky-\beta y'.$$
Osaatko muokata yhtälön ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöpariksi?

Yhtälö on vakiokertoiminen, lineaarinen ja homogeeninen.
Tarkastelemalla vastaavan karakteristisen yhtälön juurien eri
tapauksia (kaksi eri suurta reaalijuurta, reaalinen kaksoisjuuri,
kompleksiset juuret) saadaan kolmen tyyppistä vaimenevaa värähtelyä.
\begin{itemize}
\item Ylivaimeneva värähtely, jolloin
kappale ei värähtele, vaan lähestyy eksponentiaalisesti
tasapainoasemaansa. 
\item Kriittinen vaimennus, jolloin tasapainoasemastaan
poikkeutettu kappale heilahtaa korkeintaan kerran tasapainoaseman ohi
ja lähestyy sitä sitten asymptoottisesti.
\item Vaimeneva värähtely, jolloin kulmataajuus on vakio, mutta
pienempi kuin vastaavan vaimenemattoman värähtelyn
ominaiskulmataajuus. Värähtelyn amplitudi pienenee eksponentiaalisesti.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\epsfig{file=kuva5.eps,height=5cm}
\caption{Kolmen erityyppisen vaimenevan värähtelyn faasitasoesitykset. Mikä vastaa
mitäkin?}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
\epsfig{file=kuva6.eps,height=2.7cm}
\caption{Kolmen erityyppisen vaimenevan värähtelyn 
aikariippuvuuskuvat. Yhdistä kuvan 5 kuviin.}
\end{center}
\end{figure}

\subsection*{Lopuksi}

Edellä esitettyjen esimerkkien suuntakenttä, faasitasokuvat ja
aikariippuvuuskuvat on
toteutettu kaupallisella VisualDSolve-paketilla ~\cite{vdsolve}.
Nämä voidaan esittää Mathematicassa ilman tätä pakettiakin. {\em
MatTa}-projektissa on myös kehitteillä kaupallisista ohjelmistoista
riippumaton differentiaaliyhtälöiden visualisoimiseen tarkoitettu paketti.

Differentiaaliyhtälöiden kvalitatiivista tarkastelua varsin laajasti
käsiteltynä löytyy mm. kirjoista ~\cite{hubbard1} ja
~\cite{hubbard2}. Nykyään myös monissa differentiaaliyhtälöitä
käsittelevissä yliopistojen peruskurssitason kirjoissa on kiinnitetty huomiota
kvalitatiiviseen tarkasteluun.

Edellä esitettyjä esimerkkejä voidaan tarkastella myös ilman
interaktiivista laskentaohjelmistoa; kuten juuri olet tämän
lukiessasi tehnytkin. Tietokone tarjoaa kuitenkin mahdollisuuden
muuttaa yhtälöitä, alkuehtoja yms. ja tarjoaa täten loistavan
ympäristön erilaisille kokeiluille.

\vspace{1cm}


\today\\
Riikka Nurmiainen\\
Riikka.Nurmiainen@evitech.fi\\


Artikkelin kirjoittaja on Teknillisen korkeakoulun MatTa-projektissa
mukana oleva Espoon-Vantaan teknillisen
ammattikorkeakoulun matematiikan lehtori.

\begin{thebibliography}{abc}

\bibitem[1]{wolfram} Mathematica, 1988, Wolfram Research, Inc.
(Stephen Wolfram); Champaign, Illinois, USA; http://www.wri.com/, 
Suomessa http://www.clinet.fi/naykki/

\bibitem[2]{vdsolve} Dan Schwalbe \& Stan Wagon, 1997, VisualDSolve,
Visualizing Differential Equations with Mathematica, TELOS, The
Electronic Library of Science, Springer-Verlag, New York

\bibitem[3]{hubbard1} John H. Hubbard \& Beverly H. West, 1991, 
Differential Equations: A Dynamical Systems Approach Part I,
Springer-Verlag, New York

\bibitem[4]{hubbard2} John H. Hubbard \& Beverly H. West, 1995, 
Differential Equations: A Dynamical Systems Approach Part II,
Springer-Verlag, New York

\end{thebibliography}

\end{document}



