Solmun elokuun kolmiokysymys

30.8.2001, Heikki Apiola

>

> restart:
with(plots):with(LinearAlgebra):with(linalg):read("c:\\opetus\\k01\\v201.mpl"):

> p0:=[0,0]: p1:=[13,0]: p2:=[13,5]:

> display(plot([p0,p1,p2,p0]),hila(0,13,13,0,5,5),plot([[0,3],[13,3]],thickness=2,color=blue),plot([[8,0],[8,5]],thickness=2,color=blue),textplot({[2,2,"Kolmio1"], [6,1,"Kolmio2"],[4,4,"Suorak. 1"],[10,4.5,"Kolmio3"],[11,3.5,"Kolmio4"],[10.5,1.5,"Suorak. 2"]}),scaling=constrained);

Mainitun kirjan kannessa oleva kuva on periaatteessa yllä oleva, ylempi kolmio on vain piirretty toisinpäin. Näin pienessä koossa piirrettäessä viivojen täytyisi olla ohuempia, jotta kuvan epätarkkuus näkyisi. Nyt näyttää siltä, että kolmion punainen hypotenuusa kulkisi pisteen (8,3) kautta.

Isot suorakulmaiset kolmiot ovat yhtenevät. Epätarkasta kuvasta päättelisimme:Ylemmän ison kolmion ala = Kolmio1+Suorak1+Kolmio3 ja alemman ala=Kolmio4+Suorak2+Kolmio2. Koska pienemmät kolmiot olisivat parittain yhtenevät, niin Suorak1:n ala = Suorak2:n ala, mutta edellisen ala = 16 ruutua ja jälkimmäisen 15 ruutua.

Virhe johtuu siis epätarkasta piirroksesta (ja tosiaankin liian paksuista koordinaattiviivoista).

Lasketaan vielä oikeaa kuvaa varten hypotenuusasuoran ja suoran y=3 leikkauspiste. Sen laskeminen käsin on varmasti jopa helpompaa kuin Maplella, mutta kun nyt olen tämän ohjelman äärellä, niin menköön:

> y:=(5/13)*x;

> x0:=solve(y=3,x);evalf(x0);

Edellisessä kuvassa on heittoa 0.2 yksikköä. Piirretään nyt täsmälleen oikea kuva ja isommassa koossa.

> display(plot([p0,p1,p2,p0]),hila(0,13,13,0,5,5),plot([[0,3],[13,3]],thickness=2,color=blue),plot([[x0,0],[x0,5]],thickness=2,color=blue));

Tästä kun lasketaan suorakulmioiden pinta-alat, niin molemmista tulee 15.6. Niinpä maailmankuvamme on pelastettu!

>