Solmuhedelmi\303\244 interpolaatioonHeikki Apiola, 3.2.2019MotiiviAntti Laaksosen tekstiss\303\244 identiteettien l\303\266yt\303\244minen sellaisille
summille kuin vaikkapa 1^5+2^5+...+n^5 tai 1*2*3+2*3*4+...+n*(n+1)*(n+2) voisivat olla matalalla roikkuvia hedelmi\303\244 noin esimerkkien kannalta.Matlabilla nautiskellaan differenssej\303\244 laskien, ja todetaan, ett\303\244 osasummien jonolle ekan jonon tapauksessa 7. differenssit = 0, joten osasummien jono (siihen saakka, kuin dataa on laskettu)voidaan generoida astetta 6 olevalla polynomilla. Laskettiin interpolaatiololynomi Matlabin polyfit-funktiolla, ja saatiin hyv\303\244 yhteensopivuus.
(Virheen maksimi n. 10^(-9)), kun dataa 20 arvoa.Mutta generoiva polynomi liukulukertoimin ei n\303\244yt\303\244 ihan houkuttelevalta. Lis\303\244ksi n\303\244hd\303\244\303\244n hetiLagrangen tai Newtonin esitysmuodoista, ett\303\244 kokonaislukudata johtaa rationaalilukukertoimiin,joten saatavissa on ihan tarkka rationaalikertoiminen polynomi, joka saadaan k\303\244ytt\303\244m\303\244ll\303\244 rationaaliaritmetiikkaa. Matlab:n numeeriset rutiinit k\303\244ytt\303\244v\303\244t "kaksoistarkkuuden" liukulukuja, joten tarkkoihin (ja sieviin) kertoimiin p\303\244\303\244semiseksi tarvitaan symbolilaskentaohjelmaa, t\303\244ss\303\244 Maplea.Data ja 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Kumulatiiviset summat (osasummat):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 laskettiin:>> n=20;
>> v= (1:n).^5 ; % Vektori [1 2 ... n] korotetaan alkioittain potensiin 5.
>> S=cumsum(v) % Kumulatiiviset summat, eli osasummien jono.Saatiin sama S kuin yll\303\244.>> diff(diff(diff(diff(diff(diff(S))))))120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120T\303\244m\303\244 kertoo, ett\303\244 seuraava diff antaa 0-vektorin, ja siis astetta 6 oleva interpolaatiopolynomi interpoloi samantien koko dataa. Interpolaatiopolynomin kertoimet saadaan Matlabin polyfit-funktiolla:>> c6=polyfit(1:7,S(1:7),6)0.166666666666657 0.500000000000220 0.416666666664795 0.000000000007102 -0.083333333343973 0.000000000001007 0.000000000006659>> y=polyval(c6,1:n);>> max(abs(y-S))1.6019e-07 Siis virhe on pieni, mutta ei aivan olematon. Maple laskee tarkalla rationaaliaritmetiikalla (ellei k\303\244sket\303\244 toisin)Siisp\303\244 takaisin Mapleen: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T\303\244ll\303\244 polynomilla saatiin siis oikeat arvot 20:lle osasummalle, ja voidaan jatkaa niin pitk\303\244lle kuin halutaan.Kirjoitetaan viel\303\244 M:nnen osasumman kaava: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 Maplen symbolinen summausfunktio laskea tuon?LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYnLUkjbWlHRiQ2JVEmc3VtbWFGJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRictSSNtb0dGJDYtUSomY29sb25lcTtGJy9GM1Enbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRj0vJSlzdHJldGNoeUdGPS8lKnN5bW1ldHJpY0dGPS8lKGxhcmdlb3BHRj0vJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y9LyUnYWNjZW50R0Y9LyUnbHNwYWNlR1EsMC4yNzc3Nzc4ZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGTC1GLDYlUSRzdW1GJ0YvRjItSShtZmVuY2VkR0YkNiQtRiM2Ki1JJW1zdXBHRiQ2JS1GLDYlUSJrRidGL0YyLUYjNiUtSSNtbkdGJDYkUSI1RidGOUYvRjIvJTFzdXBlcnNjcmlwdHNoaWZ0R1EiMEYnLUY2Ni1RIixGJ0Y5RjsvRj9GMUZARkJGREZGRkgvRktRJjAuMGVtRicvRk5RLDAuMzMzMzMzM2VtRidGWi1GNjYtUSI9RidGOUY7Rj5GQEZCRkRGRkZIRkpGTS1Gam42JFEiMUYnRjktRjY2LVEjLi5GJ0Y5RjtGPkZARkJGREZGRkgvRktRLDAuMjIyMjIyMmVtRicvRk5GZW8tRiw2JVEibUYnRi9GMkY5RjlGOQ==LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JVEpc2ltcGxpZnlGJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRictSShtZmVuY2VkR0YkNiQtRiM2JS1GLDYlUSZzdW1tYUYnRi9GMi8lK2V4ZWN1dGFibGVHUSZmYWxzZUYnL0YzUSdub3JtYWxGJ0ZARj1GQA==Kas, kuinka hienosti! Enp\303\244 olis uskonut.