# Rudinin versio Weierstrassin funktiosta 
# Jatkuva funktio, jolla ei ole missään derivaatta.
# 17.03.08  Heikki Apiola
# Liittyy Markku Halmetojan kirjoitukseen Solmun numerossa 2/2008.
#                                                                                                  
# Apufunktioita: Jaksollinen jatko: JJ
# Aivan kuten Fourier-sarjoissa, tässä on erinomaisen hyödyllinen väline operaattori, joka suorittaa jaksollisen jatkamisen. 
# Hieno toteutus on peräisin  Maple-gurulta: Mike Monaganilta
> restart:
> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined
> 
# Määritellään uudet koodit varmuuden vuoksi myös tässä, vaikka ovatkin  fourier.mpl:ssä (ja ohjelmat.mpl:ssä).
> # Jaksollinen jatko: MapleTech Vol 3 No. 3 1996 (Mike Monagan)
> #
> JJ:=proc(f,d::range)
>   subs({'F'=f,'L'=lhs(d),'D'=rhs(d)-lhs(d)},
>   proc(x::algebraic) local y;
>     y:=floor((x-L)/D);
>     F(x-y*D);
>   end)
> end:
> 
> # Esim:
> #sw:=JJ(signum,-1..1);
> #plot(sw,-4..4);
> #
>  
# Määritellään Rudin funktio phi
> phi0:=x->abs(x);
x -> |x|
> 
# Jatketaan jaksollisena, jaksovälinä [-1,1].
> phi:=JJ(phi0,-1..1);
proc(x::algebraic)  ...  end;
> plot(phi,-2..2);

> 
# Määritellään sarjan osasummafunktio:
> osasumma:=N->sum((3/4)^k*phi(4^k*x),k=0..N);
       N                 
     -----               
      \       k          
       )   /3\     / k  \
N ->  /    |-|  phi\4  x/
     ----- \4/           
     k = 0               
> osasumma(2);
      |           /1     1\|   3 |             /      1\|
      |x - 2 floor|- x + -|| + - |4 x - 2 floor|2 x + -||
      |           \2     2/|   4 |             \      2/|

           9  |              /      1\|
         + -- |16 x - 2 floor|8 x + -||
           16 |              \      2/|
> plot([osasumma(0),osasumma(1),osasumma(2),osasumma(3),osasumma(8)],x=0..1,color=[red,green,blue,black,red]);

> 
# Kuvasta näkyy, miten osasummat muodostuvat. Arvolle N=8 ei kuvan resoluutio enää riitä.
# Lisätään laskentapisteitä ja pienennetään väliä reippaasti:
> plot(osasumma(8),x=0..0.001,numpoints=800);

> 
# Nytpä alkaa näkyä.
# Katsotaan osasummaa N=10, piennetään edelleen väliä.
> 
> 
> plot(osasumma(10),x=0..0.0001,numpoints=800);

> 
# Ja kerran vielä. Nyt N=15 ja väliä joudutaan pienentämään jo arvoon 1/10000000.  
> plot(osasumma(15),x=0..0.0000001,numpoints=800);

> 
# Summa summarum
# 
# On helppo uskoa, että näin voidaan jatkaa loputtomasti. Aina, kun otetaan lisää termejä, pitää lisätä laskentapisteitä 
# ja rajoittua yhä pienempään väliin. Kuva näyttää aina samanlaiselta. Tässä ilmenee funktion fraktaaliluonne.
# Kuvan perusteella funktio näkyy jatkuvana, mutta miten pienessä ympäristössä tahansa on teräviä kulmia, joten derivaattaa
# ei ole missään. (Tämä ei ole matemaattinen todistus, mutta tekee asian havainnolliseksi ja uskottavaksi.)
#