%% Created by Maple 11.01, Linux
%% Source Worksheet: Rudin.mw
%% Generated: Wed Apr 02 11:29:38 EEST 2008
\documentclass{article}
\usepackage{maplestd2e}
\def\emptyline{\vspace{12pt}}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\DefineParaStyle{Maple Heading 1}
\DefineParaStyle{Maple Text Output}
\DefineParaStyle{Maple Dash Item}
\DefineParaStyle{Maple Bullet Item}
\DefineParaStyle{Maple Normal}
\DefineParaStyle{Maple Heading 4}
\DefineParaStyle{Maple Heading 3}
\DefineParaStyle{Maple Heading 2}
\DefineParaStyle{Maple Warning}
\DefineParaStyle{Maple Title}
\DefineParaStyle{Maple Error}
\DefineCharStyle{Maple Hyperlink}
\DefineCharStyle{Maple 2D Math}
\DefineCharStyle{Maple Maple Input}
\DefineCharStyle{Maple 2D Output}
\DefineCharStyle{Maple 2D Input}
\begin{maplegroup}
\begin{center}
\begin{Maple Title}{
\underline{\textbf{Rudinin versio Weierstrassin funktiosta}}}\end{Maple Title}
\end{center}
\begin{center}
\begin{Maple Title}{
\underline{\textbf{Jatkuva funktio, jolla ei ole missään derivaatta.}}}\end{Maple Title}
\end{center}
\begin{center}
17.03.08  Heikki Apiola\end{center}
\begin{center}
Liittyy Markku Halmetojan kirjoitukseen Solmun numerossa 2/2008.\end{center}
\begin{Maple Normal}{
}\end{Maple Normal}
\end{maplegroup}
\section{\textbf{Apufunktioita: Jaksollinen jatko: JJ}}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
Aivan kuten Fourier-sarjoissa, tässä on erinomaisen hyödyllinen väline operaattori, joka suorittaa jaksollisen jatkamisen.}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
Hieno toteutus on peräisin  Maple-gurulta:\textit{Mike Monaganilta}}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{restart:
}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{with(plots):

}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{Maple Normal}{
Määritellään uudet koodit varmuuden vuoksi myös tässä, vaikka ovatkin  fourier.mpl:ssä (ja ohjelmat.mpl:ssä).}\end{Maple Normal}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{# Jaksollinen jatko: MapleTech Vol 3 No. 3 1996 (Mike Monagan)
#
JJ:=proc(f,d::range)
  subs(\{'F'=f,'L'=lhs(d),'D'=rhs(d)-lhs(d)\},
  proc(x::algebraic) local y;
    y:=floor((x-L)/D);
    F(x-y*D);
  end)
end:

# Esim:
#sw:=JJ(signum,-1..1);
#plot(sw,-4..4);
#
 
}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\section{\textbf{Määritellään Rudinin funktio}\mapleinline{inert}{2d}{`&varphi;`; 1}{$\displaystyle $}
}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{phi0:=x->abs(x);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{`&varphi;0` := proc (x) options operator, arrow; abs(x) end proc}{\[\displaystyle \varphi \mbox {{\tt `0`}}\, := \,x\mapsto  \left| x \right| \]}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{Maple Normal}{
Jatketaan jaksollisena, jaksovälinä [-1,1].}\end{Maple Normal}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{phi:=JJ(phi0,-1..1);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{`&varphi;` := proc (x::algebraic) local y; y := floor((1/2)*x+1/2); phi0(x-2*y) end proc}{\[\displaystyle \varphi \, := \,\textbf{proc} (x::algebraic) \\
\textbf{local} \,y; \\
\mapleIndent{1} y\,:=\,\mathit{floor} (1/2 \ast x::algebraic + 1/2);\\
\mapleIndent{1} \mathit{phi0} (x::algebraic-2 \ast y)\\
\textbf{end\ proc};\]}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(phi,-2..2);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\mapleplot{Rudinplot2d1.eps}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{Maple Normal}{
Määritellään sarjan osasummafunktio:}\end{Maple Normal}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{osasumma:=N->sum((3/4)\symbol{94}k*phi(4\symbol{94}k*x),k=0..N);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{osasumma := proc (N) options operator, arrow; sum((3/4)^k*`&varphi;`(4^k*x), k = 0 .. N) end proc}{\[\displaystyle {\it osasumma}\, := \,N\mapsto \sum _{k=0}^{N} \left( 3/4 \right) ^{k}\varphi  \left( {4}^{k}x \right) \]}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{osasumma(2);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\mapleinline{inert}{2d}{abs(x-2*floor((1/2)*x+1/2))+(3/4)*abs(4*x-2*floor(2*x+1/2))+(9/16)*abs(16*x-2*floor(8*x+1/2))}{\[\displaystyle  \left| x-2\,{\it floor} \left( 1/2\,x+1/2 \right)  \right| +3/4\, \left| 4\,x-2\,{\it floor} \left( 2\,x+1/2 \right)  \right| +{\frac {9}{16}}\, \left| 16\,x-2\,{\it floor} \left( 8\,x+1/2 \right)  \right| \]}
\end{maplelatex}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot([osasumma(0),osasumma(1),osasumma(2),osasumma(3),osasumma(8)],x=0..1,color=[red,green,blue,black,red]);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\mapleplot{Rudinplot2d2.eps}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(osasumma(3),x=0..2,numpoints=2*2*2*1800);}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\mapleplot{Rudinplot2d3.eps}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(osasumma(4),x=0..2,numpoints=2*2*2*1800);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\mapleplot{Rudinplot2d4.eps}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{Maple Normal}{
Kuvasta näkyy, miten osasummat muodostuvat. Arvolle N=8 ei kuvan resoluutio enää riitä.}\end{Maple Normal}

\begin{Maple Normal}{
Lisätään laskentapisteitä ja pienennetään väliä reippaasti:}\end{Maple Normal}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(osasumma(8),x=0..0.001,numpoints=800);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\mapleplot{Rudinplot2d5.eps}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{Maple Normal}{
Nytpä alkaa näkyä.}\end{Maple Normal}

\begin{Maple Normal}{
Katsotaan osasummaa N=10, piennetään edelleen väliä.}\end{Maple Normal}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(osasumma(10),x=0..0.0001,numpoints=800);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\mapleplot{Rudinplot2d6.eps}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{Maple Normal}{
Ja kerran vielä. Nyt N=15 ja väliä joudutaan pienentämään jo arvoon\mapleinline{inert}{2d}{10^(-7); 1}{$\displaystyle $}
.}\end{Maple Normal}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{plot(osasumma(15),x=0..0.0000001,numpoints=800);
}{}
\end{mapleinput}
\mapleresult
\mapleplot{Rudinplot2d7.eps}
\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\begin{mapleinput}
\mapleinline{active}{1d}{}{}
\end{mapleinput}
\end{maplegroup}
\section{\textbf{Summa summarum}}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
On helppo uskoa, että näin voidaan jatkaa loputtomasti. Aina, kun otetaan lisää termejä, pitää lisätä laskentapisteitä}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
ja rajoittua yhä pienempään väliin. Kuva näyttää aina samanlaiselta. Tässä ilmenee funktion fraktaaliluonne.}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
Kuvan perusteella funktio näkyy jatkuvana, mutta miten pienessä ympäristössä tahansa on teräviä kulmia, joten derivaattaa}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
ei ole missään. (Tämä ei ole matemaattinen todistus, mutta tekee asian havainnolliseksi ja uskottavaksi.)}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\begin{maplelatex}\begin{Maple Normal}{
}\end{Maple Normal}
\end{maplelatex}
\end{document}
