# Lectio precursoria

Siskon lectio

f:=x->(x^4+3*x^2-4)/(x^3+2*x^2-4);

# Leikkauspisteet akselien kanssa:

f(0); # y-akseli:

xlp:=solve(f(x)=0,x);

# Halutaan vain reaaliset: (1,0),(-1,0)

# Derivaatan 0-kohdat:

df:=diff(f(x),x);

df:=simplify(df);

# x=0 on 0-kohta, muita 0-kohtia ei saada analyyttiseti, katsotaan:

solve(df=0,x);

# Yritet\303\244\303\244n numeerisesti (jaeataan x=0 pois):

xd:=fsolve(df/x=0);

(numer(df));

plot(df,x=1.5..infinity);

# Onko l\303\266ydetty kaikki derivaatan 0-kohdat?

# Piirret\303\244\303\244n ja/tai jaetaan x(x-xd):ll\357\277\275 tms.

plot(df,x=-1..1);

# N\303\244hd\303\244\303\244n, ett\303\244 ainoat reaaliset 0-kohdat ovet edell\357\277\275 saadut.

#Lasketaan 2. derivaatta n\357\277\275iss\357\277\275 pisteiss\357\277\275

(D@@2)(f)(0),(D@@2)(f)(xd);

# Siis 0:ssa on min ja pistees\357\277\275 xd on max

# funktion arvot ovat

f(0),f(xd);

xmin:=0:xmax:=xd:

# K\303\244\303\244nnepisteet:

d2f:=simplify(diff(f(x),x,x));

osoittaja:=numer(d2f);

solve(osoittaja=0,x);

kp:=fsolve(osoittaja=0,x);

# Onko muita?

plot(osoittaja,x=-infinity..infinity);

# Eip\357\277\275 n\357\277\275yt\357\277\275 olevan, mutta tuota voisi kuitenkin katsoa

# l\357\277\275hemp\357\277\275\357\277\275

plot(osoittaja,x=-4..-2);

# Huomaa: polynomit ovat melkoisen nopeasti kasvavia funktioita

with(plots):

# Piirret\357\277\275\357\277\275n funktio f ja merkit\357\277\275\357\277\275n \357\277\275\357\277\275riarvopisteet sek\357\277\275 k\357\277\275\357\277\275nnepisteet.

funkuva:=plot(f(x),x=-5..3,y=-9..5,discont=true):

aariarvopisteet:=plot([[xmin,f(xmin)],[xmax,f(xmax)]],style=POINT,symbol=DIAMOND):

kaannepisteet:=plot([[kp[1],f(kp[1])],[kp[2],f(kp[2])]],style=POINT,symbol=CIRCLE):

display({funkuva,aariarvopisteet,kaannepisteet});

kp;