Integroimistekniikkaa inttekn.mw 25.1.2000/12.10.2011

Sellainen syntyy hetkess\303\244. Voitaisiin sijoittaa exel-tyyppiseksi taulukoksi, mutta saavat muuut tutkia ... Alla oleva syntyy monistamalla komentoa #Int(%,x)=int(%,x); ja laittamalla #-merkin tilalle haluttu integroitava (ja :). (Rivinvaihtoon SHIFT-ENTER) 1/cos(x)^2:Int(%,x)=int(%,x); 1/sin(x)^2:Int(%,x)=int(%,x); 1/sqrt(1-x^2):Int(%,x)=int(%,x); 1/(1+x^2):Int(%,x)=int(%,x); 1/cosh(x)^2:Int(%,x)=int(%,x);1/sinh(x)^2:Int(%,x)=int(%,x); 1/sqrt(x^2+1):Int(%,x)=int(%,x); 1/sqrt(x^2-1):Int(%,x)=int(%,x); 1/(1-x^2):Int(%,x)=int(%,x);

restart: Int(diff(f(x),x)/f(x),x)=int(diff(f(x),x)/f(x),x); Int(f(x)^p*diff(f(x),x),x)=int(f(x)^p*diff(f(x),x),x); int(1/x,x); Maple osaa soveltaa yleisi\303\244 s\303\244\303\244nt\303\266j\303\244 m\303\244\303\244rittelem\303\244tt\303\266m\303\244\303\244n funktiolausekkeeseen f(x). Se ei k\303\244sittele eksponentin p poikkeusarvoa p=-1, my\303\266sk\303\244\303\244n se ei osaa kaavojen voimassaoloalueiden mahd. rajoituksia.

N\303\244m\303\244 saadaan suoraan edell\303\244 olevista s\303\244\303\244nn\303\266ist\303\244, kummassakin on osoittajassa nimitt\303\244j\303\244n derivaatta (mahd. merkki\303\244 paitsi). Anetaan Maplen laskea: tan(x): Int(%,x)=int(%,x);cot(x):Int(%,x)=int(%,x);subs(cos(x)=abs(cos(x)),%); Kyll\303\244 tuossa sallitaan cos(x):n ja sin(x):n negatiivisetkin arvot, kun lis\303\244t\303\244\303\244n itseisarvot. Voidaan laittaa mukaan yksinkertaisesti subs:lla: tan(x): Int(%,x)=int(%,x): subs(cos(x)=abs(cos(x)),%); cot(x): Int(%,x)=int(%,x): subs(sin(x)=abs(sin(x)),%);

Suoritetaan sijoitus f:=1/sqrt(exp(2*x)-1); f1:=1/sqrt(t-1); g:=exp(2*x); dt=diff(g,x)*dx; Huom: yll\303\244 oli yht\303\244l\303\266! dxtyht:=solve({%},dx); intf:=f*dx; intf:=subs(dxtyht,intf); Leikataan sininen output-lauseke punaiseksi input-riviksi ja editoidaan. intf := 1/2/(t-1)^(1/2)*dt/t; P\303\244\303\244dyttiin muotoon, josta ei heti n\303\244hd\303\244, miten jatkettaisiin (kun emme ole osaavinamme osittaisintegrointia.) Annetaan Maplen laskea: int(1/2/(t-1)^(1/2)/t,t);subs(t=g,%); diff(%,x); Yll\303\244 oleva k\303\244vi hieman takkuisesti. Onneksi student-pakkauksessa on helppok\303\244ytt\303\266inen ty\303\266kalu changevar. student[changevar] restart:with(student): f:=1/sqrt(exp(2*x)-1); i:=Int(f,x); changevar(t=exp(2*x),i,t); changevar(t=exp(x),i,t); changevar(t=exp(-x),i,t); juurrettava:=1/t^2-1^(1/2); nim:=sqrt(expand(t^2*juurrettava)); Int(-1/nim,t); value(%); subs(t=exp(-x),%); diff(%,x);simplify(%); simplify(%-f,symbolic);

Muotoa ja olevat lausekkeet, miss\303\244 on 2. asteen polynomi, palautuvat arctan- tai arcsin(arccos)-funktioihin. Osaammehan jo koulusta neli\303\266ksi t\303\244ydent\303\244misen, siihenh\303\244n 2. asteen ratkaisukaavakin perustuu. Student osaa sen my\303\266s: restart:with(student): juurr:=completesquare(-x^2+x+4); Seuraavat yritelm\303\244t paljastavat, ett\303\244 t\303\244ss\303\244 vaiheessa kyn\303\244/paperi on verraton yhdistelm\303\244. e2:=Int(1/sqrt('-(x-1/2)^2+17/4'),x); Vaikka yritimme hipsukoiden avulla est\303\244\303\244 Maplea sievent\303\244m\303\244st\303\244, se sievensi vaan! changevar(t=(x-1/2),e2,t); expand(%); juurr := -t^2+17/4; g:=(x-1/2); Otetaan viel\303\244 neli\303\266ksi t\303\244ydent\303\244minen yleisin kertoimin: completesquare(a*x^2+b*x+c,x); subs(a=-1,b=1,c=4,%);

restart: Int(u(x)*diff(v(x),x),x)=int(u(x)*diff(v(x),x),x); Eip\303\244 se Maple arvannut, mit\303\244 tuosta halusimme. No mutta t\303\244m\303\244n se ainakin tekee: Diff(u(x)*v(x),x)=diff(u(x)*v(x),x);map(int,%,x); Osittaisintegrointikaava saadaan nyt siirt\303\244m\303\244ll\303\244 puolelta toiselle: Jostain syyst\303\244 tuo eka Int j\303\244i matikkamoodin ulkopuolelle, no en ryhdy korjailemaan. with(student):

i:=Int(x^2*exp(x),x=2..3); i1:=intparts(i,x^2); i2:=intparts(i1,x); N\303\244in p\303\244\303\244stiin kahdella osittaisintegroinnilla tulokseen, jonka osaamme integroida. Nyt voidaan antaa Maplen jo integroida. value(i2);

i:=Int(1/cos(x)^3,x); i1:=intparts(i,1/cos(x)); f:=(1-cos(x)^2)/cos(x)^3; f:=expand(f); i2:=1/cos(x)^2*sin(x)-Int(f,x); Saatiin yht\303\244l\303\266, jossa ratkaistava integraali esiintyy kummallakin puolella. Vapautetaan muuttuja i arvostaan, koska haluamme k\303\244ytt\303\244\303\244 sit\303\244 muuttujan nimen\303\244 ratkaistavassa yht\303\244l\303\266ss\303\244 (Kts. [HAM] s. ...). i:='i': yhtalo:=i=1/cos(x)^2*sin(x)-i+Int(1/cos(x),x); tulos:=solve(yhtalo,i); Palaamme my\303\266hemmin tyyppi\303\244 olevien integraalien k\303\244sittelyyn, annamme t\303\244ss\303\244 kohdassa Maplen n\303\244ytt\303\244\303\244 osaamistaan. tulos:=value(tulos); simplify(diff(tulos,x)); Oikein meni (kokeile huvin vuoksi, milt\303\244 n\303\244ytt\303\244\303\244 ilman simplify-komentoa).

Jos m tai n on pariton, saadaan palautetuksi polynomiin sijoituksella tai . Esim 1: II:=Int(sin(x)^3*cos(x)^8,x); with(student): ?changevar III:=changevar(u=cos(x), II, u); value(%); subs(u=cos(x),%); Esim. 2: II:=Int(sin(x)^4*cos(x)^7,x); III:=changevar(u=sin(x), II, u); value(%);subs(u=sin(x),%); N\303\244m\303\244 tukevat yleist\303\244 s\303\244\303\244nt\303\266\303\244: tehd\303\244\303\244n sijoitus u="se, jonka potenssi on parillinen".

Jos potenssit ovat parillisia, palautetaan moninkertaisten kulmien kaavoihin. cos(x)^2;combine(%,trig);int(%,x);expand(%,trig); cos(x)^10;combine(%,trig);int(%,x);expand(%,trig); Jos pariton, niin voidaanpa osittaisintegroida with(student): ?intparts Int(sin(x)^5,x); intparts(%,sin(x)^4); changevar(u=cos(x), %, u); value(%);subs(u=cos(x), %); diff(%,x);simplify(%); simplify(%-sin(x)^5); Katsotaan, miten Maplen int laskee ilman avustusta: Int(sin(x)^5,x);value(%);diff(%,x);simplify(%-sin(x)^5);

Muotoa oleva funktio saadaan yll\303\244 olevalla sijoituksella palautumaan rationaalifunktioksi. T\303\244ss\303\244 R(sin(x),cos(x)) tarkoittaa rationaalista lauseketta sinist\303\244 ja cosinista. restart:with(plots): kolmio:=plot([[0,0],[1,0],[1,1/2],[0,0]]): T:=textplot([[1.1,0.25,"t"]]): Yks:=textplot([[0.5,0.03,"1"]]):hypot:=textplot([[0.5,0.3,"sqrt(1+t^2)"]]): display([kolmio,T,Yks,hypot]); restart:g:=tan(x/2);dt:=diff(g,x)*dx;dt:=subs(tan(x/2)=t,dt); sinx:=2*sin(x/2)*cos(x/2);sinx:=subs(sin(1/2*x)=t/sqrt(1+t^2),cos(1/2*x)=1/sqrt(1+t^2),%); cosx:=cos(x/2)^2-sin(x/2)^2;cosx:=subs(sin(1/2*x)=t/sqrt(1+t^2),cos(1/2*x)=1/sqrt(1+t^2),%); normal(%); Esim: Int(1/sin(x),x); with(student): Int(1/sin(x),x);changevar(t=tan(x/2),%,t); T\303\244t\303\244 ei Maple sievenn\303\244 pitemm\303\244lle, edell\303\244 esitetty "k\303\244sin sievennys" on tarpeen.

i[0]:=-exp(-x); for n to 6 do i[n]:=simplify(x^n*exp(-x)+n*i[n-1]); od; #array([seq([i[k]],k=0..6)]); [RA] Esim 10.3.2 n:='n':with(student): II:=Int(sin(x)^n,x=0..Pi/2); intparts(II,sin(x)^(n-1)); -Int(-sin(x)^(n-2)*(n-1)*cos(x)^2,x = 0 .. 1/2*Pi); subs(cos(x)^2=1-sin(x)^2,%); (n-1)*(Int(sin(x)^(n-2),x=0..Pi/2) - Int(sin(x)^n,x=0..Pi/2)); In=(n-1)*(Inm2-In); solve(%,In); Yll\303\244 piti tehd\303\244 v\303\244h\303\244n k\303\244sit\303\266it\303\244. Tutki, mill\303\244 sievennyskomennoilla saataisiin vaivattomasti.

Jos osoittajan asteluku on suurempi tai yht\303\244suuri kuin nimitt\303\244j\303\244n, suoritetaan jako. Integroinnin kannalta j\303\244\303\244 siten k\303\244sitelt\303\244v\303\244ksi tapaus deg(P) < deg(Q) Katsotaan pieni esimerkki, jossa k\303\244ytet\303\244\303\244n "jakokulmana" Maplen funktioita quo ja rem . R:=(x^3+3*x^2)/(x^2+1);P:=numer(R): Q:=denom(R): osam:=quo(P,Q,x);jakoj:=rem(P,Q,x); Ruusi:=osam+jakoj/Q; Tarkistus: normal(Ruusi);simplify(R-Ruusi);

Neli\303\266ksi t\303\244ydent\303\244m\303\244ll\303\244 saadaan nimitt\303\244j\303\244 muotoon tai . Int(x/(x^2+a^2),x)=int(x/(x^2+a^2),x); Int(x/(x^2-a^2),x)=int(x/(x^2-a^2),x); Int(1/(x^2+a^2),x)=int(1/(x^2+a^2),x); Int(1/(x^2-a^2),x)=int(1/(x^2-a^2),x); Kolme ensimm\303\244ist\303\244 on selvi\303\244. Mist\303\244 seuraa nelj\303\244s. 1/(x^2-a^2)=convert(1/(x^2-a^2),parfrac,x); Osamurto eli "partial fraction"

restart: R:=(x^4+1)/(x^3-x^2+x-1); Suoritetaan jako ensin "k\303\244sin": P:=numer(R);Q:=denom(R); P=(a*x+b)*Q+r; yht:=expand(%); kaikkivasemmalle:=lhs(yht)-rhs(yht); kv:=%: coeff(kv,x,4)=0,coeff(kv,x,3)=0; a:=1:b:=1: kv; r:=2: R1:=a*x+b+r/Q; normal(R1); Oikein meni! Oltais saatu suoremmin valmiilla funktioilla (vrt. edell\303\244): osam:=quo(P,Q,x);jakoj:=rem(P,Q,x); Otetaan rationaaliosa k\303\244sittelyyn (polynomi kyll\303\244 hoituu.) Jaetaan nimitt\303\244j\303\244 tekij\303\266ihin: Q:=factor(Q); Reseptin mukaan osamurtokehitelm\303\244 on muotoa: R2:=A/(x-1)+(B*x+C)/(x^2+1); Kerrotaan puolittain Q:lla: vasen_oikea:=2-normal(Q*R2); {seq(coeff(vasen_oikea,x,i)=0,i=0..3)}; solve(%,{A,B,C}); subs(%,R2); "Ik\303\244v\303\244 kyll\303\244" kaikki yll\303\244 olevat hienot operaatiot voidaan korvata yhdell\303\244 ainoalla komennolla. Kirjoitetaan yht\303\244l\303\266n muotoon. R=convert(R,parfrac,x); Sujuuko TKK:n ulkopuolisessa kovassa maailmassa n\303\244in? Mist\303\244 voisi olla kiinni? No nimitt\303\244j\303\244n tekij\303\266ihin jaosta. Voidaan joutua turvautumaan numeerisiin approksimaatioihin polynomin juurille, tottakai. Palataan integraalimuunnoksien yhteydess\303\244 tarkemmin, numeeriset osittaismurtoesitykset kannattaa tehd\303\244 Matlabilla (ainakin jos isoja).