Luentoesimerkki: Riemannin integraaliHeikki Apiola, "New perpectives 2011"-esitykseen liev\303\244sti muokattuKurssi: Informaatioverkostot, kev\303\244\303\244ll\303\244 2000 T\303\244ss\303\244 (24.10.2011) k\303\244ytet\303\244\303\244n "worksheet-modea", uudempaa "document mode" ei tuohon aikaan ollut olemassa, Document mode on edelleen voimissaan, k\303\244ytt\303\266tarkoituksesta (ja makuasioista) riippuu, kumpaa k\303\244ytet\303\244\303\244n. K\303\244ytet\303\244\303\244n my\303\266s joitakin uudempia piirteit\303\244,\302\240kuten k\303\244tev\303\244\303\244 taulukkomahdollisuutta ja kaavojen aikaisempaa helpompaa editointia.
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">1. Pinta-ala summan raja-arvona</Text-field>Tarkastellaan funktion kuvaajan ja x-akselin v\303\244liin j\303\244\303\244v\303\244\303\244 pinta-alaa, jota approksimoidaan suorakaiteiden pinta-alojen summalla. Seuraavassa havainnollistetaan asiaa Maplen student-pakkauksen funktioilla leftbox ja rightbox.with(student):Otetaan esimerkiksi 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 .f:=sqrt(x);
leftbox(f, x = 0 .. 4, 4, title = "Alasumma,n=4");LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=rightbox(f, x = 0 .. 4, 4, title = "Yl\303\244summa,n=4");LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
N\303\244emme, ett\303\244 leftbox laskee funktion arvon kunkin osav\303\244lin vasemmassa p\303\244\303\244tepisteess\303\244 ja rightbox taas oikeassa
vasen := leftsum(f, x = 0 .. 4, 4); value(vasen);NiI=LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=oikea:=rightsum(f,x=0..4,4);value(oikea);LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
Hienonnetaan jakoa:
leftbox(f, x = 0 .. 4, 20);evalf(leftsum(f, x = 0 .. 4, 20));LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=rightbox(f, x = 0 .. 4, 20);evalf(rightsum(f, x = 0 .. 4, 20));LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
Tutkitaan, miten k\303\244y, parhaassa tapauksessa Maple osaa laskea raja-arvot, kun 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M\303\244\303\244ritell\303\244\303\244n summat n:n funktioiksi:Vas:=n->leftsum(f,x=0..4,n);
Oik:=n->rightsum(f,x=0..4,n);Vas(20),Oik(20);evalf(Vas(20)),evalf(Oik(20)); Vrt. yll\303\244.LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=
limit(Vas(n),n=infinity);simplify(); HAA!limit(Oik(n),n=infinity);simplify();LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic= ja HAA HAA!!!
Yl\303\244summien ja alasummien jonoilla on raja-arvot, jotka yhtyv\303\244t. Olemme todistaneet Maplen avustuksella: Funktio LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbWlHRiQ2JVEieEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JI21vR0YkNi1RKCZzcmFycjtGJy9GM1Enbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRj0vJSlzdHJldGNoeUdGPS8lKnN5bW1ldHJpY0dGPS8lKGxhcmdlb3BHRj0vJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y9LyUnYWNjZW50R0Y9LyUnbHNwYWNlR1EmMC4wZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGTC1JJm1zcXJ0R0YkNiMtRiw2J0YuRi8vJStmb3JlZ3JvdW5kR1EsWzEyOCwwLDEyOF1GJy8lLHBsYWNlaG9sZGVyR0YxRjJGOQ== on Riemann-integroituva v\303\244lill\303\244 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkobWZlbmNlZEdGJDYmLUYjNiYtSSNtbkdGJDYkUSIwRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ25vcm1hbEYnLUkjbW9HRiQ2LVEiLEYnRjQvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHUSV0cnVlRicvJSlzdHJldGNoeUdGPS8lKnN5bW1ldHJpY0dGPS8lKGxhcmdlb3BHRj0vJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y9LyUnYWNjZW50R0Y9LyUnbHNwYWNlR1EmMC4wZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdRLDAuMzMzMzMzM2VtRictRjE2JFEiNEYnRjRGNEY0LyUlb3BlbkdRIltGJy8lJmNsb3NlR1EiXUYnRjQ= ja 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 Katsotaan viel\303\244, mit\303\244 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUkjbW9HRiQ2LVEmJmludDtGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1Enbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRjQvJSlzdHJldGNoeUdRJXRydWVGJy8lKnN5bW1ldHJpY0dGNC8lKGxhcmdlb3BHRjkvJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y0LyUnYWNjZW50R0Y0LyUnbHNwYWNlR1EmMC4wZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGRC1GLDYtUSJ+RidGL0YyRjUvRjhGNEY6L0Y9RjRGPkZARkJGRS1GLDYtUSomdW1pbnVzMDtGJ0YvRjJGNUZKRjpGS0Y+RkAvRkNRLDAuMjIyMjIyMmVtRicvRkZGUEYvkomento sanoo: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 Kaikki t\303\244sm\303\244\303\244, IHANAA Maple IHANAA !!! Yleens\303\244 edes osasummaa ei saada lausutuksi "suljetussa muodossa" (vrt. integraalifunktio), sitten viel\303\244 on lim. Kaikki t\303\244ss\303\244 onnistuu. Yll\303\244oleva ei voi yleisess\303\244 tapauksessa onnistua, yht\303\244 v\303\244h\303\244n kuin mink\303\244 tahansa annetun funktion integraalifunktion lausuminen ns. "suljetussa muodossa". Nyt on n\303\244ytt\303\244m\303\266 avoinna puhtaasti matemaattiselle p\303\244\303\244ttelylle yleisten lauseiden muodossa, kuten: "Jatkuva funktio suljetulle v\303\244lill\303\244 on integroituva". Siin\303\244 ei symbolilaskentaohjelmalla ole roolia. Approksimoivien jonojen avulla saadaan uskon vahvistusta, vrt. yll\303\244. Siell\303\244 my\303\266s n\303\244htiin, ett\303\244 t\303\244llainen laatikkomenetelm\303\244 on varsin tehoton numeeriseen integrointiin, teoriaan se kyll\303\244 kelpaa. Tehokkaat numeerisen integroinnin menetelm\303\244t p\303\244\303\244stett\303\244k\303\266\303\266n nyt vuorostaan esiin!
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Funktioiden leftsum, rightsum ja middlesum toiminta</Text-field>Asia selvi\303\244\303\244 parhaiten operoimalla m\303\244\303\244rittelem\303\244tt\303\266mill\303\244 symboleilla f,a,b,n
restart:with(student):leftsum(f(x),x=a..b,n);rightsum(f(x),x=a..b,n);
middlesum(f(x),x=a..b,n);Kyseess\303\244 on siis summa, joka saadaan jakamalla v\303\244li [a,b] tasav\303\244lisesti n:\303\244\303\244n osaan ja jonka termit ovat muotoa 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 , miss\303\244 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEieEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUYvNiVRImlGJ0YyRjUvRjZRJ25vcm1hbEYnLyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPQ== on kyseisten osav\303\244lin vasen, oikea tai keskipiste vastaavasti.
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">Luentoteht\303\244v\303\244</Font></Text-field>Tutki k\303\244yr\303\244n 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 ja x-akselin rajoittamaa pinta-alaa v\303\244lill\303\244 [0,2]. K\303\244yt\303\244 leftsum, leftbox jne. funktioita. Jaa aluksi vaikkapa 10:een osav\303\244liin.Annetaan aikaa n. 10 min. Ratkaisu esitell\303\244\303\244n ja annetaan k\303\244ytt\303\266\303\266n sitten.
<Text-field style="Heading 3" layout="Heading 3">Ratkaisu (suorita itse)</Text-field>leftbox(sin(x),x=0..2,10);rightbox(sin(x),x=0..2,10,colour=blue,shading=yellow);ls:=leftsum(sin(x),x=0..2,10);rs:=rightsum(sin(x),x=0..2,10);value(ls);value(rs);evalf(ls);evalf(rs);evalf(middlesum(sin(x),x=0..2,10));Menn\303\244\303\244n v\303\244h\303\244n asioiden edelle:int(sin(x),x=0..2);evalf(%);evalf(middlesum(sin(x),x=0..2,20));evalf(leftsum(sin(x),x=0..2,20));evalf(rightsum(sin(x),x=0..2,20));Jaettaessa 20:een osav\303\244liin, saatiin 4 oikeaa numeroa t\303\244ss\303\244 esimerkiss\303\244. lefsum ja rightsum antavat ala-ja yl\303\244likiarvon, jotka n\303\244ytt\303\244v\303\244t l\303\244hestyv\303\244n yhteist\303\244 raja-arvoa, joka on integraalin arvo. (Huom: lefsum antaa oikean "alasumman", jos funktio on kasvava koko v\303\244lill\303\244, samalla ehdolla rightsum antaa "yl\303\244summan". T\303\244ss\303\244h\303\244n n\303\244in ei ole, vaan itse asiassa "hiukan paremmin".)
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1"><Font encoding="UTF-8">2. Yl\303\244- ja alasumma</Font></Text-field>Olkoon annettu R-akselin v\303\244li [a,b] . Jaetaan v\303\244li osav\303\244leihin jakopistein 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 , miss\303\244 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYoLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2Ji1JJW1zdWJHRiQ2JS1GLDYlUSJ4RicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUYjNiQtSSNtbkdGJDYkUSIwRicvRjtRJ25vcm1hbEYnRkMvJS9zdWJzY3JpcHRzaGlmdEdGQi1JI21vR0YkNi1RIj1GJ0ZDLyUmZmVuY2VHUSZmYWxzZUYnLyUqc2VwYXJhdG9yR0ZNLyUpc3RyZXRjaHlHRk0vJSpzeW1tZXRyaWNHRk0vJShsYXJnZW9wR0ZNLyUubW92YWJsZWxpbWl0c0dGTS8lJ2FjY2VudEdGTS8lJ2xzcGFjZUdRLDAuMjc3Nzc3OGVtRicvJSdyc3BhY2VHRmZuLUYsNiVRImFGJ0Y3RjpGQy1GSDYtUSIsRidGQ0ZLL0ZPRjlGUEZSRlRGVkZYL0ZlblEmMC4wZW1GJy9GaG5RLDAuMzMzMzMzM2VtRictRiM2Ji1GMjYlRjQtRiM2JC1GLDYlUSJuRidGN0Y6RkNGRUZHLUYsNiVRImJGJ0Y3RjpGQ0YrRkM= ja pisteet muodostavat kasvavan jonon. Merkit\303\244\303\244n 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 , ts. LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiaEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUYvNiVRImlGJ0YyRjUvRjZRJ25vcm1hbEYnLyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPQ== on i:nnen osav\303\244lin pituus. Huomaa, ett\303\244 jaon ei tarvitse olla tasav\303\244linen, kuten edellisissa esimerkeiss\303\244 oli.Joukkoa 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 sanotaan (yll\303\244tyksett\303\266m\303\244sti) v\303\244lin [a,b] jaoksi.Oletetaan, ett\303\244 f:[a,b]->R on jatkuva funkio v\303\244lill\303\244 [a,b]. Jatkuvien funktioiden perusominaisuuden ( [RA] s. 43 Lause 3.4.9 (Weierstrassin lause) tai [Ad] s. 80 Thm. 8(The Max-Min Theorem) mukaan f saavuttaa kullakin osav\303\244lill\303\244 [LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYmLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEieEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYmLUYvNiNRIUYnLUYjNiYtRi82JVEiaUYnRjJGNS1JI21vR0YkNi1RKCZtaW51cztGJy9GNlEnbm9ybWFsRicvJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRkovJSlzdHJldGNoeUdGSi8lKnN5bW1ldHJpY0dGSi8lKGxhcmdlb3BHRkovJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0ZKLyUnYWNjZW50R0ZKLyUnbHNwYWNlR1EsMC4yMjIyMjIyZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGWS1JI21uR0YkNiRRIjFGJ0ZGRkZGOkZGLyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRictRkM2LVEiLEYnRkZGSC9GTEY0Rk1GT0ZRRlNGVS9GWFEmMC4wZW1GJy9GZW5RLDAuMzMzMzMzM2VtRictRiw2JUYuLUYjNiRGP0ZGRmpuRkY=] suurimman ja pienimm\303\244n arvonsa, merkit\303\244\303\244n vastaavia x-pisteit\303\244 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEidUYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUYvNiVRImlGJ0YyRjUvRjZRJ25vcm1hbEYnLyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPQ== ja LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEibEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUYvNiVRImlGJ0YyRjUvRjZRJ25vcm1hbEYnLyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPQ== (kuten upper ja lower).Jakoon P ja funktioon f liittyv\303\244t (Riemann-Darboux) yl\303\244- ja alasummat m\303\244\303\244ritell\303\244\303\244n n\303\244in: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 , 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
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">Teht\303\244v\303\244, jossa tarvitaan yleisempi\303\244 v\303\244lineit\303\244 kuin leftsum ym. [Israel: Esim. (Exa 2 s. 89)]</Font></Text-field>Maplen ohjelmointikielt\303\244 hallitseva opettaja voi sellaisia muokata tai etsi\303\244. Onneksi Robert Israel tarjoilee meille kehitt\303\244mi\303\244\303\244n.Muodosta funktion 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 Riemannin yl\303\244- ja alasummat, kun kyseess\303\244 on v\303\244li [-1,2] ja sen jako 10:een tasav\303\244liseen osaan.K\303\244ytet\303\244\303\244n Robert Israelin tekemi\303\244 valmiita ty\303\266v\303\244lineit\303\244. www.math.hut.fi/teaching/v/maple/koodit.mpl Ota ja lue read:lla n\303\244in:read("c:\134\134Users\134\134Heikki\134\134opetus\134\134v2-3\134\134maple\134\134koodit.mpl"):Syyt\303\244 selostaa funktioita (tai lukea Israelista) tai sitten ei!Funktioissa on kiinnitetty nimet a,b,f,cp .Vaikein osa on etsi\303\244 kultakin osav\303\244lilt\303\244 funktion max- ja min-arvot. Neh\303\244n l\303\266ytyv\303\244t joko p\303\244\303\244tepisteist\303\244 tai derivaatan nollakohdista (kriittiset pisteet)tai singulaaripisteist\303\244 (pisteist\303\244, joissa derivaattaa ei ole). Funktiot upper ja lower hoitavat p\303\244\303\244tepisteet automaattisesti, mutta k\303\244ytt\303\244j\303\244n on annettava lista cp, jossa ovat singulaari- ja kriittiset pisteet. Niiden muodostamiseen k\303\244ytet\303\244\303\244n tietysti Maplea.f:=x->sqrt(abs(x^3-x^2+1));a:=-1:b:=2:n:=10:s:=solve(x^3-x^2+1=0,x);Ratkaisuja on kolme, joista vain ensimm\303\244inen on reaalinen, se saadaan viittauksella s[1].sing:=evalf(s[1]);Lasketaan kriittiset pisteet, eli derivaatan nollakohdat:krp:=solve(diff(f(x),x)=0,x);Liitet\303\244\303\244n singulaaripiste ja kriittiset pisteet per\303\244kk\303\244in listaksi.cp:=[simplify(s[1]),krp];rsum(upper);evalf(%);evalf(rsum(lower));with(plots):display({rbox(upper),rbox(lower)});rbox(upper);rbox(lower);Komeastipa nuo toimivat. Huomaa, ett\303\244 kuvissa oleva pikki on niin kapea, ett\303\244 oletuspiirtopistem\303\244\303\244r\303\244 ei riit\303\244 piirtoon 0-arvoon saakka.print(rbox);print(rect);
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1"><Font encoding="UTF-8">3. M\303\244\303\244r\303\244tyn integraalin m\303\244\303\244ritelm\303\244</Font></Text-field>Idea: Kun jakoa tihennet\303\244\303\244n, tuntuu uskottavalta, ett\303\244 jatkuvan funktion tapauksessa nyt ainakin yl\303\244- ja alasummat l\303\244henev\303\244t kohti samaa yhteist\303\244 raja-arvoa, joka edustaa k\303\244yr\303\244n ja x-akselin rajoittamaa pinta-alaa, jos 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 koko v\303\244lil\303\244 [a,b]. Tarkastelemme t\303\244t\303\244 kysymyst\303\244 l\303\244hemmin.Jaon hienonnus, yhteinen alajako Olkoot LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiUEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUkjbW5HRiQ2JFEiMUYnL0Y2USdub3JtYWxGJ0Y+LyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPg== ja LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiUEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUkjbW5HRiQ2JFEiMkYnL0Y2USdub3JtYWxGJ0Y+LyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPg== v\303\244lin [a,b] jakoja, siten ett\303\244 kaikki edelliseen kuuluvat jakopisteet kuuluvat my\303\266s j\303\244lkimm\303\244iseen, sanotaan, ett\303\244 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiUEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUkjbW5HRiQ2JFEiMkYnL0Y2USdub3JtYWxGJ0Y+LyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPg== on LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiUEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYkLUkjbW5HRiQ2JFEiMUYnL0Y2USdub3JtYWxGJ0Y+LyUvc3Vic2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRidGPg==:n hienonnus.Esim. seuraavat v\303\244lin [0,1] jaot ovat t\303\244llaisia:P1:=0,1/8,1/2,2/3,3/4,1;P2:=0,1/10,1/8,1/2,2/3,3/4,5/6,1;On helppo n\303\244hd\303\244, ett\303\244 jaon hienontaminen pienent\303\244\303\244 (tai pit\303\244\303\244 samana) yl\303\244summaa ja kasvattaa (tai pit\303\244\303\244 samana) alasummaa.
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">Perustelu n\303\244kyy t\303\244st\303\244 kuvasta</Font></Text-field>K\303\244ytet\303\244\303\244n edell\303\244 esiteltyj\303\244 Israel:n ty\303\266v\303\244lineit\303\244.f:=x->0.2*sin(2*Pi*x);a:=0.15:b:=0.28:Ajatellaan, ett\303\244 jakov\303\244lin\303\244 on ensin [0.15,0.28] ja lis\303\244t\303\244\303\244n sitten jaon hienonnuspiste vaikkapa v\303\244lin puoliv\303\244liin. Nyt derivaatan 0-kohta on pisteess\303\244 0.25, joten se laitetaan cp-listaan (kts. edell\303\244). Otetaan ensin alkuper\303\244iseen jakoon kuluva osav\303\244li, jolloin n=1 ja sitten jaetaan kahtia, n=2.cp:=[0.25]:n:=1:display(rbox(upper),scaling=constrained);n:=2:display(rbox(upper),scaling=constrained);Kysymys on siis siit\303\244 itsest\303\244\303\244nselvyydest\303\244, ett\303\244 funktion maksimiarvo osav\303\244lill\303\244 ei voi olla suurempi kuin koko v\303\244lill\303\244. Vastaava asia tietysti p\303\244tee k\303\244\303\244nteiseen suuntaan minimin suhteen. Siin\303\244 koko asia.
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">M\303\244\303\244ritelm\303\244 tulee t\303\244ss\303\244</Font></Text-field>Edell\303\244 todetusta seuraa, ett\303\244 jokainen alasumma on pienempi tai yht\303\244suuri kuin mik\303\244 tahansa yl\303\244summa. T\303\244m\303\244 n\303\244hd\303\244\303\244n yksinkertaisesti siirtym\303\244ll\303\244 yhteiseen alajakoon. T\303\244st\303\244 seuraa reaalilukujen perusominaisuuksien nojalla (supremumin ja infimumin olemassaolo), ett\303\244 alasummien sup on pienemi tai yht\303\244suuri kuin yl\303\244summien inf, kun k\303\244yd\303\244\303\244n siis l\303\244pi kaikki mahdolliset v\303\244lin [a,b] jaot. Jos n\303\244m\303\244 luvut ovat yht\303\244suuret = I, sanotaan, ett\303\244 funktio on integroituva ja merk.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
<Text-field style="Heading 3" layout="Heading 3">Esim: <Equation executable="false" style="2D Comment" input-equation="" display="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">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</Equation> </Text-field>Lasketaan ja osoitetaan integroituvaksi m\303\244\303\244ritelm\303\244n perusteella. Koska funktio on kasvava, saavutetaan kullakin osav\303\244lill\303\244 minimi vasemmassa ja maksimi oikeaassa p\303\244\303\244tepisteess\303\244. Siksi t\303\244ss\303\244 soveltuvat suoraan leftsum - ja rightsum - funktiot.restart:with(student):f:=x->x^2;a:='a':b:='b':n:='n': # ei v\303\244ltt\303\244m\303\244t\303\266n, koska tehtiin restart:L:=leftsum(f(x),x=0..a,n);L:=value(L);R:=rightsum(f(x),x=0..a,n);R:=value(R);limit(L,n=infinity);limit(R,n=infinity);
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">Yleinen Riemannin summa</Text-field>Adams s. 315, [RA] s. 123 (9.2)
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1"><Font encoding="UTF-8">4. M\303\244\303\244r\303\244tyn integraalin ominaisuuksia</Font></Text-field>Lineaarisuus kolmioey. ym.v\303\244liarvolausepaloittain jatkuvan funktion integraali
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">5. Differentiaali- ja integraalilaskennan peruslause</Text-field>
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">6. Integrointitekniikkaa</Text-field>
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">6.1 Sijoitus</Text-field>
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">6.2 Osittaisintegrointi</Text-field>
<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2">6.3 Rationaalifunktiot</Text-field>
<Text-field style="Heading 3" layout="Heading 3">Osamurtohajoitelmat</Text-field>
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1"></Text-field>
<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1"></Text-field>