<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">Esim, jossa raja-arvoa ei ole.</Text-field>

Raja-arvot ja jatkuvuus

Luento 12.2.02 HA

zoom:=(f,x0,y0,w)->plot3d(f(x,y),x=x0-w/2..x0+w/2,y=y0-w/2..y0+w/2,axes=BOX): # Esim: f:=(x,y)->x*y; zoom(f,0,0,1);zoom(f,0,0,1/2);zoom(f,0,0,1/4);

f:=(x,y)->2*x*y/(x^2+y^2);

w:=1:

zoom(f,0,0,w); w:=w/2: # Toista t\303\244t\303\244 zoom(f,0,0,w); w:=w/2: # Toista t\303\244t\303\244 zoom(f,0,0,w); w:=w/2: # Toista t\303\244t\303\244 zoom(f,0,0,w); w:=w/2: # Toista t\303\244t\303\244 zoom(f,0,0,w); w:=w/2: # Toista t\303\244t\303\244

zoom(f,0,0,w); w:=w/2:

w:=w/100;

zoom(f,0,0,w);

Laatikon pystyreunan pituus on 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 kaikissa kuvissa, vaikka deltaa pienennet\303\244\303\244n kuinka.

T\303\244m\303\244 n\303\244ytt\303\244\303\244, ett\303\244 deltaa pienent\303\244m\303\244ll\303\244 ei saada funktion arvoja 2:ta matalamman lieri\303\266n sis\303\244\303\244n.

Kokeellisesti n\303\244hd\303\244\303\244n, ett\303\244 raja-arvoa ei varmastikaan ole. (T\303\244m\303\244 ei ole matemaattinen todistus, mutta kertoo havainnollisesti, mist\303\244 on kysymys.)

with(plots):

implicitplot(f(x,y)=0.5,x=-1..1,y=-1..1,numpoints=1000,filled=true);

contourplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,contours=[.1,.2,.5,1],numpoints=1000,filled=true);

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

f(x,y);

densityplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1);

T\303\244m\303\244 on varsin luotettava funktio. (Ruutu saa sit\303\244 vaaleamman v\303\244rin, mit\303\244 korkeampi arvo funktiolla on.)

<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">Esimerkki raja-arvosta (jatkuvuudesta)</Text-field>

f:=(x,y)->2*x*y/sqrt(x^2+y^2);

w:=1:

zoom(f,0,0,w); w:=w/2:

QyYtSSV6b29tRzYiNiZJImZHRiUiIiFGKEkid0dGJSIiIj5GKSwkRikjRioiIiMhIiI=

JSFH

QyYtSSV6b29tRzYiNiZJImZHRiUiIiFGKEkid0dGJSIiIj5GKSwkRikjRioiIiMhIiI=

JSFH

QyYtSSV6b29tRzYiNiZJImZHRiUiIiFGKEkid0dGJSIiIj5GKSwkRikjRioiIiMhIiI=

JSFH

QyYtSSV6b29tRzYiNiZJImZHRiUiIiFGKEkid0dGJSIiIj5GKSwkRikjRioiIiMhIiI=

JSFH

densityplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1);

implicitplot(f(x,y)=.3,x=-1..1,y=-1..1);

contourplot(f(x,y), x=-1..1,y=-1..1,contours=[0,0.1,0.2,.3],numpoints=1000);

<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">Esim<Font encoding="UTF-8">, jossa s\303\244teitt\303\244iset raja-arvot=0, silti ei raja-arvoa</Font></Text-field>

QyQtSSV3aXRoRzYiNiNJJnBsb3RzRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliR0YlISIi

f:=(x,y)->2*x^2*y/(x^4+y^2);

plot([seq(f(x,k*x),k=[.5,1,2])],x=-1..1,color=[red,green,blue]);

sateella:=k->spacecurve([x,k*x,f(x,k*x)],x=-1..1,color=blue,thickness=3);sateella0:=k->spacecurve([x,k*x,0],x=-1..1,color=blue,thickness=3);

paraabelilla:=k->spacecurve([x,k*x^2,f(x,k*x^2)],x=-1..1,color=red,thickness=2);para0:=k->spacecurve([x,k*x^2,0],x=-1..1,color=red,thickness=2);

plot3d(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,axes=box);

sateella(1);

display(%,%%);

display(%,sateella0(1));

display(%,paraabelilla(1),para0(1));

Sama uudelleen, mutta "hallitummin".

pintakuva:=plot3d(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,axes=box,transparency=0.8):

sadekuva:=display(sateella(1),sateella0(1)):

parakuva:=display(paraabelilla(1),para0(1)):

display(pintakuva,sadekuva,parakuva);

%display(%,style=wireframe);

QyQtSShkaXNwbGF5RzYiNiRJKXNhZGVrdXZhR0YlSSlwYXJha3V2YUdGJSIiIg==

JSFH

Alempi punainen on paraabeli xy-tasossa ja ylempi n\303\244ytt\303\244\303\244 funktion arvot t\303\244ll\303\244 paraabelilla.

Suora sininen on s\303\244de xy-tasossa, k\303\244yr\303\244 sininen n\303\244ytt\303\244\303\244 funktion arvot t\303\244ll\303\244 s\303\244teell\303\244