\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mlLi025.tex \\
Ajatellaan, ett\"a er\"a\"an asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin,
R ja S matkapuhelinliittymi\"a. 
Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon
siirtym\"amatriisi

$$P=
\left[ \begin {array}{cc}  0.6& 0.3\\\noalign{\medskip} 0.4& 0.7
\end {array} \right].
$$

(Siirtym\"amatriisi esitet\"a\"an transponoituna KRE-kirjan vastaavaan
n\"ahden.)

T\"ass\"a sarakkeet tarkoittavat {\it elatiivia} (sta) ja rivit 
{\it illatiivia} (aan).
1. sarake ja 1. rivi viittaavat R:aan, 2. vastaavasti S:aan.


(a)
Laske matriisin ominaisarvot ja %suurempaa ominaisarvoa vastaava
ominaisvektorit ja totea, ett\"a ne muodostavat $\R^2$:n kannan.

%$\vec{v}_1$ ja kerro, miksi ominaisvektorit muodostavat 
%$\R^2$:n kannan.

(b) 
Olkoon alkuhetkell\"a liittymien m\"a\"ar\"at $\vec{x}_0 = 
\lbrack R,S\rbrack = \lbrack 1000, 1500 \rbrack$.
Laske m\"a\"ar\"at vuoden kuluttua (Matlabilla) tai parin kolmen kuukauden 
kuluttua, jos k\"asin haluat laskea.

(c)
Lausu alkupiste $\vec{x}_0$  ominaisvektorikannassa:
$\vec{x}_0=c_1 \vec{v}_1+ c_2 \vec{v}_2$.

Mit\"a rajavektoria l\"ahestyy jono $\vec{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?

Ylim\"a\"ar\"ainen pohdinta: Riippuuko rajavektorin komponenttien suhde alkuarvosta
$x_0$ ?



\textbf{Avainsanat:} mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, 
stokastinen matriisi, 

\end{tehtava}

%\begin{vihje}
%\end{vihje}

\end{Tehtava}
