y(t) = _C1 exp(-2 t) + _C2 exp(-t)Alkuehdot toteuttava ratkaisu on yksinkertaisesti funktio y(t)=0.
Kun t>2, on kyseessä vastaava (EHY), jonka EHY-termi = 1. Määräämättömien kertoimien menetelmällä saadaan heti erityisratkaisu yp=1/2.
Ratkaisuna tarjoillaan nyt funktiota (1/2)H(t-2).
Ongelma on se, missä mielessä tuon voi katsoa toteuttavan alkuehdot (+ se , että yleensä diffyhtälön ratkaisulta vaaditaan mahdollisimman korkea-asteista sileyttä). Huomaa, että yhtä hyvin voidaan alueella t>2 valita mikä tahansa muotoa 1/2 + yh oleva ratkaisu, joten AA-tehtävän ratkaisun yksikäsitteisyydestä ei ole tietoakaan.
Tavanaomainen, klassinen diffyhtälökäsittely edellyttää, että 2. kl. yhtälöllä on jatkuva 2. derivaatta. Tällaisessa epäjatkuvan herätteen tapauksessa se ei kuitenkaan ole mahdollista, siispä tehdään mitä tehtävissä on ja haetaan ratkaisua, joka on jatkuva ja jolla on jatkuva derivaatta (epäjatkuvuus on vasta 2. derivaatassa).
Maplella homma hoituisi näin:
> vp:=diff(y(t),t,t)+3*diff(y(t),t)+2*y(t);
/ 2 \
|d | /d \
vp := |--- y(t)| + 3 |-- y(t)| + 2 y(t)
| 2 | \dt /
\dt /
> yh:=dsolve(vp,y(t));
yh := y(t) = _C1 exp(-2 t) + _C2 exp(-t)
> subs(y(t)=a,vp=1);
/ 2 \
|d | /d \
|--- a| + 3 |-- a| + 2 a = 1
| 2 | \dt /
\dt /
> yp:= solve(eval(subs(y(t)=a,vp=1)),a);
yp := 1/2
> y2:=rhs(yh)+yp;
y2 := _C1 exp(-2 t) + _C2 exp(-t) + 1/2
> dy2:=diff(y2,t);
dy2 := -2 _C1 exp(-2 t) - _C2 exp(-t)
> ae1:=subs(t=2,y2)=0;
ae1 := _C1 exp(-4) + _C2 exp(-2) + 1/2 = 0
> ae2:=subs(t=2,dy2)=0;
ae2 := -2 _C1 exp(-4) - _C2 exp(-2) = 0
> cc:=solve({ae1,ae2},{_C1,_C2});
1 1
cc := {_C1 = 1/2 --------, _C2 = - -------}
2 exp(-2)
exp(-2)
> subs(cc,y2);
exp(-2 t) exp(-t)
1/2 --------- - ------- + 1/2
2 exp(-2)
exp(-2)
Eli ratkaisu on
y(t)=0, kun t<2
yllä oleva lauseke, kun t>2
Siis samahan siitä tulee kuin Laplace-muunnoksella.
Arvostelussa olen ollut aika liberaali, jos ratkaisu on logiikaltaan muuten ollut kelvollinen (esim. edellämainitun johdatteluesimerkin kaltainen).
Laplec-muunnosratkaisussa kaikki on niin automaattisesti sisäänrakennettua, että siinä ei tällainen problematiikka tule näkyviin.