4)

> expand(sin(x+I*y));
                       sin(x) cosh(y) + I cos(x) sinh(y)
(Tämä meni hieman liian helposti).

Tehdään vaiheittain ``manuaalisesti'':

sin(z)=sin(x)*cos(I*y)+cos(x)*sin(I*y);
# sij. z:n paikalle I*y cos z:n ja sin z:n määritelmissä.

cosyht:='cos(I*y)'=(1/2)*(exp(-y)+exp(y)); 
                 cosyht := cos(I y) = 1/2 exp(-y) + 1/2 exp(y)

> sinyht:='sin(I*y)'=(1/(2*I))*(exp(-y)-exp(y));                                
                sinyht := sin(I y) = - 1/2 I (exp(-y) - exp(y))
ts.
> 'sin(I*y)'=sin(I*y);'cos(I*y)'=cos(I*y);
                              sin(I y) = I sinh(y)

                               cos(I y) = cosh(y)

Maple haluaa välttämättä sieventää näin, tämän muodon mekin jo näemme (ilman
Maplea) noista cosyht ja sinyht lausekkeista.

Siis 'käsin' laskienkin päädymme tulokseen:

      u(x,y)=sin(x)*cosh(y),  v(x,y)=cos(x)*sinh(y)

Cauhy-Riemann
u:=sin(x)*cosh(y);v:=cos(x)*sinh(y);

> ux:=diff(u,x);vy:=diff(v,y);        
                              ux := cos(x) cosh(y)

                              vy := cos(x) cosh(y)

> ux:=diff(u,x);vy:=diff(v,y);        
                              ux := cos(x) cosh(y)

                              vy := cos(x) cosh(y)
Siis CR1 toteutuu
> uy:=diff(u,y);vx:=diff(v,x);
                              uy := sin(x) sinh(y)

                              vx := -sin(x) sinh(y)
Samoin CR2

sin z on siis kaikkialla derivoituva, joten se on koko kompleksitasossa
analyyttinen.

Derivaatta: saadaan nyt: ux+I*vx
> ux+I*vx;
                       cos(x) cosh(y) - I sin(x) sinh(y)

Tämä puolestaan on cos:n yhteenlaskukaavan ja edellä olleiden yhtälöiden:
  
   sin(I y) = I sinh(y), cos(I y) = cosh(y)

perusteella = cos z

Annetaan nyt Maplen sanoa kuitenkin viimeinen sana:
                               
> expand(cos(x+I*y));
                       cos(x) cosh(y) - I sin(x) sinh(y)

Kommentti: Tämä oli hauska(?) pieni kompleksifunktiharjoitelma, (vielä)
helpommalla asia olisi saatu selville suoraan exp-funktioon ja yleisiin 
derivoimissääntöihin vedoten, kuten luennolla oli puhe.

-----------------------------------------------------------------