2)

u(x,t)=X(x)T(t)

sij. lämpöyhtälöön (alpha=1): ==>     X''   T'
                                      --- = -- = -p^2  (vakio)
                                       X    T

=>  X'' + p^2 X = 0
    T' = -p^2 T

=> X(x)=A cos px + B sin px, T=C exp(-p^2 t)

RE: 0=X(0)=A, 0=X(Pi)=B sin(p*Pi)  => p=n (kokonaisluku) 

un(x,t)=Bn sin nx exp(-n^2 t)

Näiden summa tot. lämpöyhtälön ja RE:t, siten 

                             infinity
                               -----
                                \                          2
                   u(x,t)  =     )     B[n] sin(n x) exp(-n  t)
                                /
                               -----
                               n = 1


toteuttaa myös (kun termeittäin derivoinnin luvallisuus uskotaan).

AE:
=== 

                             infinity
                               -----
                                \                   
                   u(x,0)  =     )     B[n] sin(n x)
                                /
                               -----
                               n = 1
Siis, kun valitaan B[n]:t annetun alkuarvofunktion f(x) Fourier-sinisarjan
kertoimiksi (väl. [0,Pi]), saadaan AE:kin toteutumaan:


>B[n]:= (2/Pi)*(Int(u1*sin(n*x),x=0..Pi/2)+Int(u2*sin(n*x),x=Pi/2..Pi));
               
                       1/2 Pi                     Pi
                      /                          /
                     |                          |
                     |        u1 sin(n x) dx +  |       u2 sin(n x) dx
                     |                          |
                    /                          /
                      0                          1/2 Pi
          B[n] := 2 --------------------------------------------------
                                            Pi

Nämä on helppo integroida käsin, mutta annetaan tässä Maplen laskea:

> simplify(value(B[n]));
             -cos(1/2 Pi n) u1 + u1 - cos(Pi n) u2 + cos(1/2 Pi n) u2
           2 --------------------------------------------------------
                                       Pi n


Tätä voi sievennellä, mutta ei siitä kovin sievää muotoa tule

> Bn:=simplify(value(B[n]));                           
                -cos(1/2 Pi n) u1 + u1 - cos(Pi n) u2 + cos(1/2 Pi n) u2
        Bn := 2 --------------------------------------------------------
                                          Pi n

Tämä kyllä kelpaa vastaukseen, eli vastaus:


                             infinity
                               -----
                                \                          2
                   u(x,t)  =     )     B[n] sin(n x) exp(-n  t)
                                /
                               -----
                               n = 1
missä B[n] on yllä laskettu lauseke (jota voidaan haluttaessa muokata 
erilaisiin muotoihin).

Kuten:

Parilliset ja parittomat indeksit:

> B2k:=subs(cos(Pi*n/2)=(-1)^k,cos(Pi*n)=1,n=2*k,Bn);
                                 k                    k
                            -(-1)  u1 + u1 - u2 + (-1)  u2
                     B2k := ------------------------------
                                         Pi k

> B2kplus1:=subs(cos(Pi*n/2)=0,cos(Pi*n)=-1,n=2*k+1,B[n]);  
                                            u1 + u2
                            B2kplus1 := 2 ------------
                                           Pi (2 k + 1)


Katsotaan vielä alkupäätä:

> seq(eval(Bn),n=1..10);    

  u1 + u2  2 u1 - 2 u2      u1 + u2         u1 + u2      2 u1 - 2 u2
2 -------, -----------, 2/3 -------, 0, 2/5 -------, 1/3 -----------,
    Pi         Pi             Pi              Pi             Pi

        u1 + u2         u1 + u2      2 u1 - 2 u2
    2/7 -------, 0, 2/9 -------, 1/5 -----------
          Pi              Pi             Pi


Tähän liittyvä mws on myös luettavissa, kuvineen (ainakin pian)