Laplace-käänteismuunnos

Luennolla esitettiin kysymys, onko käänteismuunnokselle kaavaa. Vastasin, että on, mutta se on aika mutkikas ja vaatii kompleksista integrointia, joka tulee vasta kurssin loppuvaiheessa, viittasin Juhani Pitkärannan kirjaan "Integraalimuunnokset, Otakustantamo no 484.

Huomasin vasta myöhemmin, että kaava esiintyy myös Gree-kirjassamme ss. 871-872 ja hyvin esimerkillä ja kuvalla havainnollistettuna.

Laskenta voidaan suorittaa kompleksi-integrointitekniikalla, mutta tietenkin sen voi aina tehdä myös numeerisilla integrointimenetelmillä. Kaavassa integroidaan imaginaariakselin suuntaista suoraa välillä (-ääretön -> ääretön) , missä suora tulee sijoittaa niin kauas oikealle, että kaikki muunnettavan funktion singulariteetit (kuten nimittäjän 0-kohdat) jäävät suoran vasemmalle puolelle.

Kaava voidaan generoida Maplella komennolla:

> (1/(2*Pi*i))*int(F(s)*exp(s*t),s=gamma-i*infinity..gamma+i*infinity);

Tulos tekstimuodossa (ei ole maailman kauneimman näköinen):

                  gamma + i infinity
                          /
                         |
                         |           F(s) exp(s t) ds
                         |
                        /
                gamma - i infinity
            1/2 -------------------------------------
                                 Pi i