Ominaisarvot, diagonalisointi

[Str] Strang: Linear Algebra
[Gree]Greenberg
[Kre] Kreyszig

• 1. [Harj. 3, LV, teht. 6]
• 2. [Harj. 4 LV, teht. 5]
• 3P. Selvitä omin sanoin, mistä johtuu, että n x n - matriisi A on diagonalisoituva, jos ja vain jos A:lla on n kpl LRT ominaisvektoreita.

  Neliömuodot ja pääakseliprobleema lyhyesti

  Tapaus n=2. Olk.

         q(x1,x2)=ax12+2bx1x2+ cx22 .
  
  Tämä voidaan kirjoittaa: xT A x, missä x=[x1,x2]T ja
                                        [a    b]
                                   A := [      ]
                                        [b    c]
  Jokainen neliömuoto voidaan kirjoittaa näin symmetrisen matriisin avulla
  (ja kääntäen symmetrinen matriisi määriää neliömuodon).
  (Tämä yleistyy mieliv. n:lle)
  

  Diagonalisoidaan matriisi A, A=Q D Q^-1 = Q D Q^T (huom: A symm. => A:n ominaisvektorit ortogonaaliset.

  Suoritetaan muuttujanvaihto y=Q^Tx , tällöin q saa muodon l₁y₁+l₂y₂ , missä l₁ ja l₂ ovat A:n ominaisarvot. Tämä tarkoittaa, että ominaisvektorien muodostamassa "pääakselikoordinaatistossa" yhtälöllä q=vakio on yksinkertainen perusmuoto.

  Tässä on Maple-istunto, joka havainnollistaa asiaa (vrt. KRE Exa 6, s. 412): Tarkastellaan yhtälöä

  17x₁²-30x₁x₂+ 17x₂²=128

  Neliömuodon matriisi on:

           > A:=matrix(2,2,[17,-15,-15,17]);
                                      [ 17    -15]
                                 A := [          ]
                                      [-15     17]
  
  > eigenvects(A);
                       [2, 1, {[1, 1]}], [32, 1, {[-1, 1]}]
  
  > v1:=[1,1]:v2:=[-1,1]:QT:=matrix([v1,v2]):Q:=transpose(QT);
                                       [1    -1]
                                  Q := [       ]
                                       [1     1]
  
  > y:=vector([y1,y2]):d:=diag(2,32):qy:=evalm(y&*d&*y); # Maple ymmärtää
                                         2        2      # Matriisi * vektori-
                               qy := 2 y1  + 32 y2       # tulon ilman vektorin
                                                         # transponointia
  

  Tässä on vasen puoli "pääakselikoordinaateissa", jolloin kannan muodostavat ominaisvektorit. Käyrä voidaan piirtää piirtämällä (tai ajattelemalla) ellipsi ensin xy-tasoon ja kuvaamalla (kierto-)matriisilla Q, ts. alkuperäsiin x-muuttujiin päästään näin: x=Q y . Ellipsin parametriesitys y-muuttujien suhteen on

  > y1:=8*cos(t);y2:=2*sin(t);
                                  y1 := 8 cos(t)
  
                                  y2 := 2 sin(t)
  Takaisin alkuperäisiin:
  
  > x:=evalm(Q&*y);
                  x := [8 cos(t) - 2 sin(t), 8 cos(t) + 2 sin(t)]
  > xl:=convert(x,list):  # Vektorin konversio listaksi (näitä tarvitaan
                          #     Maplessa silloin tällöin.
  > with(plots):
  > display(ellipsi,omvekt);
  
                                      10 +                                      
                                         +                      AAAAAAA         
                                         +               AAAAAAAA   AAAAA       
                                         +         AAAAAA       AAAA   A        
                                         +    AAAAA         AAAA     AA         
                                       5 +AAAA          AAAA       AA           
                                      AAA*          AAAA        AAA             
                                  AAAA   +       AAAA        AAAA               
                              AAAAAAA    +   AAAA          AAA                  
                           AAAA      AAAA+AAA           AAA                     
    +---+--+---+---+--+-***---+---+--+---*---+--+---****+---+--+---+---+--+---+ 
   -10               -5A               0 +       AAA        5                10 
                  AAA                    +   AAAA                               
                AA                       *AAAA                                  
              AA                     A-5A+                                      
            AA                 AAAAAA    +                                      
           A              AAAAA          +
          AA      AAAAAAAA               +                                      
            AAAAAAA                      +                                      
                                     -10 +                                      
  
  

  Tässä kokeiltiin ihan tahallaan, miltä tekstitilassa piirtäminen näyttää, kyllä tuon asian hyvällä tahdolla tuostakin näkee.

• 4. Lue lisää senverran, että voit nautiskella ominaisarvoteorian (matriisin diagonalisoinnin) klassisesta geometrisesta sovelluksesta :
  • [KRE] s. 404: Forms
    s. 412: Transoformation of Forms to Principal Axes
  • [GREE] 4.7. Quadratic Forms s. 192 -->
• 5P. Tee kaksi itse valitsemaasi eri tyyppiä (siis ei kahta ellipsiä) olevaa esimerkkiä yo. kirjoista alueilta:

         [GREE] 4.7. Exe, ss. 198 - 199
         [KRE]  Probl. set 7.14, teht. 25 - 30 s. 414