Diff. yhtälöt ja -systeemit (Ei Laplace)

[Gree]Greenberg
[Kre] Kreyszig
      4.3 Homog. Lin. syst. ...  ss. 166 - 175

• 1. [Harj. 5, AV, teht. 3]

• 2P. Tarkastellaan edelleenkin massa-jousisysteemiä, vapaata vaimennettua värähtelyä. Yhtälöhän on

                my'' cy' + ky=0
         

  Ratkaise ja piirrä sekä aikariippuvuus- että faasitasokuva ja identifioi kriittisen pisteen (0,0) tyyppi alla olevissa tapauksissa. Käytä piirrokseen analyyttistä ratkaisua eikä pelkästään DEtools-työkaluja, piirrä samaan tyyliin kuin pääakseliprobleeman tapauksessa. Saat ratkaista joko systeemiksi muuntaen tai suoraan yritteellä 2. kl. systeemiin.
  • a) m=1, c=0, k=1
  • b) m=1, c=1, k=0.5
  • c) m=1, c=sqrt(5), k=1
  • d) m=1, c=2. k=1

• 3P. Heiluri: Opiskele KRE Exa2 ja Exa 2 ss. 181 - 183 ja tee niiden perusteella selityksin varustetut Maple-worksheetit. Selvitä, mitä faasitason eri osat tarkoittavat fysikaalisesti.

• 4P. Määritä yhtälön (ns. Duffing'n yhtälön) y''+y+y³=0. kriittiset pisteet, suorita linearisointi kussakin niistä ja piirrä faasitasokuvat. Voit käyttää DEtools-kaluja piirroksissa.

• 5. Duffing'n yhtälö on yleisesti muotoa : y''+omega₀²y+by³=0. Olkoon omega₀=1. Piirrä kolme faasitasokuvaa: 1. b=1 (kova jousi), 2. b=0 , 3. b=-1 (pehmeä jousi) Mikä kuva on "erikoislaatuisin"?

• 6P. Ratkaise jokin epähomogeeninen systeemi kokoelmasta GREE 4.6 s. 192 Exercises tai KRE Probl set 4.6 aa. 192 - 195. Käytä matriisieksponenttifunktiota. Saat käyttää valmista Maple- funktiota exponential.