> 
> # Tehtava 2
> # Kaytetaan tassa sita tapaa, jossa muunnettavat funktiot maaritellaan lausekkeiksi 
> # Olkoon muodostettavan funktion nimi JLapla
> 
> JLapla:=(funktio,t,T,s) -> (1/(1-exp(-T*s)))*int(exp(-s*t)*funktio,t=0..T);

                                            T
                                            /
                                           |
                                           |  exp(- s t) funktio dt
                                           |
                                          /
                                          0
             JLapla := (funktio,t,T,s) -> -------------------------
                                                1 - exp(- T s)
--------------------------------------------------------------------------------
> # Kokeillaan nyt siniin ja kosiniin
> JLapla(sin(t),t,2*Pi,s);

                              exp(- 2 Pi s)      1
                            - ------------- + ------
                                   2           2
                                  s  + 1      s  + 1
                            ------------------------
                                1 - exp(- 2 Pi s)
--------------------------------------------------------------------------------
> simplify(");

                                        1
                                     ------
                                      2
                                     s  + 1
--------------------------------------------------------------------------------
> JLapla(cos(t),t,2*Pi,s);

                             exp(- 2 Pi s) s      s
                           - --------------- + ------
                                   2            2
                                  s  + 1       s  + 1
                           --------------------------
                                1 - exp(- 2 Pi s)
--------------------------------------------------------------------------------
> simplify(");

                                        s
                                     ------
                                      2
                                     s  + 1
--------------------------------------------------------------------------------
> # Funktio nayttaisi toimivan oikein! Mennaan itse tehtavaan.
> # a-kohta
> JLapla((k/p)*t,t,p,s);

                           exp(- p s) (p s + 1) k     k
                         - ---------------------- + ----
                                     2               2
                                    s  p            s  p
                         -------------------------------
                                  1 - exp(- p s)
--------------------------------------------------------------------------------
> simplify(");

                       k (exp(- p s) p s + exp(- p s) - 1)
                       -----------------------------------
                                                 2
                             (- 1 + exp(- p s)) s  p
--------------------------------------------------------------------------------
> # b-kohta\

> siniaalto:=sin(w*t)*(Heaviside(t)-Heaviside(t-Pi/w));

                                 /                              Pi  \
           siniaalto := sin(w t) |Heaviside(t) - Heaviside(t - ----)|
                                 \                               w  /
--------------------------------------------------------------------------------
> JLapla(siniaalto,t,2*Pi/w,s);

           Pi
        2 ----
            w
          /                        /                              Pi  \
         |     exp(- s t) sin(w t) |Heaviside(t) - Heaviside(t - ----)| dt
         |                         \                               w  /
         |
        /
        0
       -------------------------------------------------------------------
                                            Pi s
                                1 - exp(- 2 ----)
                                              w
--------------------------------------------------------------------------------
> simplify(");

- (int(

                                                                     w t - Pi
    exp(- s t) sin(w t) Heaviside(t) - exp(- s t) sin(w t) Heaviside(--------),
                                                                         w

                Pi      / /              Pi s \
    t = 0 .. 2 ----))  /  |- 1 + exp(- 2 ----)|
                 w    /   \                w  /
--------------------------------------------------------------------------------
> # Maple ei osannut laskea nain. Lyhennetaan siis integroimisvali puoleen, koska loppujaksosta
> # funktio on nolla, ja jatetaan Heavisidet pois. JLapla:aa ei voida nyt kayttaa.
> (1/(1-exp(-(2*Pi/w)*s)))*int(exp(-s*t)*sin(w*t),t=0..Pi/w);

                                   Pi s
                             exp(- ----) w
                                     w          w
                             ------------- + -------
                                 2    2       2    2
                                s  + w       s  + w
                             -----------------------
                                            Pi s
                                1 - exp(- 2 ----)
                                              w
--------------------------------------------------------------------------------
> simplify(");

                                  /      Pi s     \
                                w |exp(- ----) + 1|
                                  \        w      /
                        - -------------------------------
                          /              Pi s \   2    2
                          |- 1 + exp(- 2 ----)| (s  + w )
                          \                w  /
--------------------------------------------------------------------------------
>