> 
> # Tehtava 1

Tässä inputit ja selitykset otettuna suoraan maple/ohjeita.html:stä:
<b> Teht. 1 </b>
<p>
Kannattaa käsitellä vasen puoli (vp) ja oikea puoli (op) erikseen.
<pre>
with(inttrans):alias(L=laplace,IL=invlaplace,H=Heaviside):
vp:=R*diff(i(t),t)+(1/C)*i(t);
Lvp:=L(vp,t,s);
Lvp:=subs(i(0)=0,L(vp,t,s));
</pre>
 Oikea puoli on helpointa muuntaa suoraan määritelmän perusteella:
<pre>
Lop:=int((e0/epsilon)*exp(-s*t),t=0..epsilon); # Lasketaan suoraan L-muunnoksen
                                               # määritelmästä.
Ldy:=Lvp=Lop     # Laplace-muunnettu yhtälö
II:=solve(Ldy,L(i(t),t,s));

</pre>
Huom: Maple ei Laplace-muunna <code> H(t-a):ta </code>, ellei se tiedä
a:n merkkiä. Kokeile vaikka
<pre>
assume(a>0):L(H(t-a),t,s);
assume(epsilon>0);#  Tätä tarvitaan, jotta vastaavasti käänteismuunnokset
                  # jatkossa onnistuisivat.
a:='a':     # Tällä pääsee eroon "assume-ominaisuudesta".
</pre>

Tässä sitten ratkaisuversiot ala Ville L.:

> 
> # Tassa annetaan komento readlib(laplace); nelosversiossa tietysti with(inttrans)
> readlib(laplace):
--------------------------------------------------------------------------------
> sahko:=R*diff(i(t),t)+(1/C)*i(t);

                                     /  d      \   i(t)
                          sahko := R |---- i(t)| + ----
                                     \ dt      /     C
--------------------------------------------------------------------------------
> lsahko:=laplace(sahko,t,s);

                                                     laplace(i(t), t, s)
        lsahko := R (laplace(i(t), t, s) s - i(0)) + -------------------
                                                              C
--------------------------------------------------------------------------------
> alias(H=Heaviside);

                                      I, H
--------------------------------------------------------------------------------
> laplace(H(t-a),t,s);

                             laplace(H(t - a), t, s)
--------------------------------------------------------------------------------
> # Kuten huomaamme, maple ei osaa muuntaa Heavisidea, jos a:lla ei ole numeerista arvoa
> # Muunnetaan nain ollen yhtalon oikea puoli kasin ja annetaan tulos maplelle
> # Olkoon jannitteen huippuarvo=J ja sen saavuttamiseen kulunut aika=eps
> lsahko:=lsahko=(J/eps)*(1/s-(1/s)*exp(-eps*s));

lsahko :=

                                                            /      exp(- eps s)\
                                                          J |1/s - ------------|
                                    laplace(i(t), t, s)     \            s     /
 R (laplace(i(t), t, s) s - i(0)) + ------------------- = ----------------------
                                             C                      eps
--------------------------------------------------------------------------------
> lsahko:=subs(i(0)=0,lsahko);

                                                            /      exp(- eps s)\
                                                          J |1/s - ------------|
                                    laplace(i(t), t, s)     \            s     /
lsahko := R laplace(i(t), t, s) s + ------------------- = ----------------------
                                             C                      eps
--------------------------------------------------------------------------------
> lvirta:=solve(lsahko,laplace(i(t),t,s));

                                      J     J exp(- eps s)
                                  - ----- + --------------
                                    eps s        eps s
                      lvirta := - ------------------------
                                          R s + 1/C
--------------------------------------------------------------------------------
> virta:=invlaplace(lvirta,s,t);

                  /    /           t  \                /          t - eps \\
                  |  J |1 - exp(- ---)|   J H(t - eps) |1 - exp(- -------)||
                  |    \          R C /                \            R C   /|
     virta := - C |- ------------------ + ---------------------------------|
                  \          eps                         eps               /
--------------------------------------------------------------------------------
> # Kokeillaan raja-arvoa:
> limit(virta,eps=0);

                                    undefined
--------------------------------------------------------------------------------
> # Ei onnistunut suoraan. Mutta jos t=0, on myos virta=0 ja raja-arvokin siis = 0
> # Jos taas t>0, on H(t - eps) = 1, kun eps < t, ja nain kay lopulta, kun eps -> 0
> VIRTA:=subs(H(t-eps)=1,virta);

                       /    /           t  \     /          t - eps \\
                       |  J |1 - exp(- ---)|   J |1 - exp(- -------)||
                       |    \          R C /     \            R C   /|
          VIRTA := - C |- ------------------ + ----------------------|
                       \          eps                    eps         /
--------------------------------------------------------------------------------
> limit(VIRTA,eps=0);

                                        J
                                   ----------
                                        t
                                   exp(---) R
                                       R C
--------------------------------------------------------------------------------
>