Harj. 8, teht. 5
=================

> alias(H=Heaviside);

                                      I, H

-------------------------------------------------------------------------------
> dy:=diff(x(t),t,t)+2*diff(x(t),t)=H(t-1);

                        /   2      \
                        |  d       |     /  d      \
                  dy := |----- x(t)| + 2 |---- x(t)| = H(t - 1)
                        |   2      |     \ dt      /
                        \ dt       /
-------------------------------------------------------------------------------
> Ldy:=laplace(dy,t,s);

Ldy :=

   (laplace(x(t), t, s) s - x(0)) s - D(x)(0) + 2 laplace(x(t), t, s) s - 2 x(0)

      exp(- s)
    = --------
          s
-------------------------------------------------------------------------------
> Ldy:=subs({x(0)=0,D(x)(0)=1},Ldy);

                                 2                                 exp(- s)
     Ldy := laplace(x(t), t, s) s  - 1 + 2 laplace(x(t), t, s) s = --------
                                                                       s
-------------------------------------------------------------------------------
> readlib(laplace):
> X:=simplify(solve(Ldy,laplace(x(t),t,s)));

                                     s + exp(- s)
                                X := ------------
                                       2
                                      s  (s + 2)
-------------------------------------------------------------------------------
> xx:=invlaplace(X,s,t);

    xx := 1/2 - 1/2 exp(- 2 t) + H(t - 1) (1/2 t - 3/4 + 1/4 exp(- 2 t + 2))
--------------------------------------------------------------------------------
> plot(xx,t=0.5..1.5);
--------------------------------------------------------------------------------
> eval(subs(x(t)=xx,dy));

   Dirac(1, t - 1) (1/2 t - 3/4 + 1/4 exp(- 2 t + 2))

        + 2 Dirac(t - 1) (1/2 - 1/2 exp(- 2 t + 2)) + H(t - 1) exp(- 2 t + 2)

        + 2 Dirac(t - 1) (1/2 t - 3/4 + 1/4 exp(- 2 t + 2))

        + 2 H(t - 1) (1/2 - 1/2 exp(- 2 t + 2)) = H(t - 1)

---------------------------------------------------------------------------
  Emme halua mennä Diraciin, kun ei ole pakko. Miten todetaan, että saatu
  ratkaisu toteuttaa dy:n? 
  No katsotaan erikseen välit (-infinity,1) ja (1,infinity).
  Edellisellä ratkaisu saadaan sijoittamalla H(t-1)=0 ja jälkimmäisellä
  vastaavasti ... =1.:

> xm:=subs(H(t-1)=0,xx);

                           xm := 1/2 - 1/2 exp(- 2 t)
--------------------------------------------------------------------------------
> xp:=subs(H(t-1)=1,xx);

            xp := - 1/4 - 1/2 exp(- 2 t) + 1/2 t + 1/4 exp(- 2 t + 2)
--------------------------------------------------------------------------------
> eval(subs(x(t)=xm,dy));

                                  0 = H(t - 1)
Tällä alueella (t<1) H(t-1)=0, joten dy toteutuu. 
--------------------------------------------------------------------------------
> eval(subs(x(t)=xp,dy));

                                  1 = H(t - 1)
Tässä taas (t>1) H(t-1)=1, joten tässäkin toteutuu.
(Rajakohtaa t=1 emme tarkastele.)
--------------------------------------------------------------------------------
> eval(subs(t=0,xx));
                              0
------------------------------------------------------------------------------
> eval(subs(t=0,diff(xx,t)));

                              1
------------------------------------------------------------------------------
Siis alkuehdotkin toteutuvat.