Teht. 2
=======
a)
x1 = x0 + h A x1

=> x1=(I-hA)^(-1)*x0   (eli inv(I-hA))*x0
(mikäli käänteismatriisi on olemassa)

b)
Kankeus on kvantifioitavissa sillä, että
 1) A:n (Jacobin matriisi y:n suhteen) ominaisarvot < 0
 2) itseisarvoltaan suurimman ja pienimmän suhde on hyvin suuri.

Tässä tarvitsemme vain 1):tä:  
I-hA on kääntyvä      <=> 
systeemillä (I-hA)x=0 on vain triviaaliratk <=>
yht.  x=h A x    on vain triv. ratk (x=0) <=>
yht. A x= (1/h)x on vain triv. ratk (x=0) <=> 1/h ei ole A:n ominaisarvo.

Koska 1):n mukaan ominaisarvot < 0 ja h > 0, niin 1/h ei ole ominaisarvo,
joten yllä olevan päättelyketjun mukaan I-hA on kuin onkin kääntyvä.

% teht. 2 c).

t0=0;x0=[1 ;1 ]; h=0.02;
eye(2)
ans =

     1     0
     0     1

figure
t1=t0+h;x1=inv(eye(2)-h*A)*x0; hold on; plot([t0,t1]', [x0,x1]'), t0=t1; x0=x1;
t1=t0+h;x1=inv(eye(2)-h*A)*x0; hold on; plot([t0,t1]', [x0,x1]'), t0=t1; x0=x1;
t1=t0+h;x1=inv(eye(2)-h*A)*x0; hold on; plot([t0,t1]', [x0,x1]'), t0=t1; x0=x1;
t1=t0+h;x1=inv(eye(2)-h*A)*x0; hold on; plot([t0,t1]', [x0,x1]'), t0=t1; x0=x1;
t1=t0+h;x1=inv(eye(2)-h*A)*x0; hold on; plot([t0,t1]', [x0,x1]'), t0=t1; x0=x1;
% jo kelpaa!  Tätä on kiva kokeilla pienemmilläkin h:n arvoilla.