Ominaisarvoteorian yhteenveto

[Laode]-kirjassa johdatellaan, motivoidaan, havainnollistetaan hyvin, kannattaa lukea kotona ja kokeilla pplane5:lla. (Joskus perusteellisuus voi haitata yleiskuvan syntymistä, mutta havainnollistukislla on puolensa.)
[BdiP] ss. 359 - 364: Hyvä yhteenveto (kertausluonteinen)
[HAM] ss. 155 - 159: Perusteoriaa lyhyesti + Maplen käyttö. Huom: Vaikka käytännön ominaisarvotehtävissä Matlab onkin yliveto, on Maplella omat etunsa juuri käsitteiden opettelun alueella. [HAM]-kirja perustuu Maplen versioon 5, siellä käytetään with(linalg) -komentoa. Asiat menevät luultavasti hiukan vaivattomammin uuden (versio 6) LinearAlgebra-pakkauksen avulla. Myös vanha linalg on edelleen käytössä.
[GLJ] Toinen kurssikirjamme sisältää myös ominaisarvoyhteenvedon.

Ominaisarvot ja ominaisvektorit

(Eigenvalues, eigenvectors)

Tässä A on neliömatriisi (n x n)

Määr: Tarkastellaan yhtälöä

(1) A x = s x , s in C.

(yleensä merkitään s:n sijasta lambda, mutta kun HTML ..., samasta syystä käytämme tyhmän näköistä joukkoonkuulumismerkkiä "in")
Yhtälöllä on aina triviaaliratkaisiu x=0, olipa s mikä tahansa kompleksiluku.
Kysymys kuuluu:

Määritä luku s siten, että yhtälöllä (1) on ei-triviaaleja ratkaisuvektoreita x.
Määritä sitten kutakin ratkaisua s kohti ao. ratkaisuvektorit.

Tehtävän muokkaus ratkaistavaan muotoon

    A x = s x   <==>  (A-s I)x = 0

Kyseessä on siis homogeeniyhtälö, jonka kerroinmatriisi sisältää parametrin s. Se pitää valita siten, että HY:llä on ei-triv. ratkaisuja, ts. Gaussin eliminaation on tuotettava ainakin 1 nollarivi, joten det(A-s I)=0 .

Ominaisarvojen ja -vektorien etsintä (pienissä tehtävissä)

Muodostetaan karakteristinen polynomi p_A(s)=det(A-s I) ja ratkaistaan sen nollakohdat ==> ominaisarvot.
Ratkaistaan (HY)
(A - s I)x = 0
kullakin ominaisarvolla s.

Ratkaisussa on ainakin yksi vapaa parametri, sanokaamme t, joka voidaan valita mielivaltaisesti (esim. t=1). Jos vapaita parametrejä on useita, täytyy pitää huoli siitä, että saadaan lineaarisesti riippumattomat ratkaisuvektorit. Varma valinta esim. tapauksessa "3 vapaata param" on:

1. om. vekt. : parametrit: 1,0,0
2. om. vekt. : parametrit: 0,1,0
3. om. vekt. : parametrit: 0,0,1

Huom!

Ominaisarvot ovat 1-käs, ominaisvektorit eivät.
Kuhunkin ominaisarvoon liittyy ominaisavaruus, päämääränä on löytää jokin kanta ominaisavaruudelle.

Havainnollisesti

Ominaisvektori osoittaa suuntaan, jonka matriisin edustama lineaarikuvaus pitää paikallaan. Ominaisarvo kuvaa sitä, miten paljon tapahtuu venymää/kutistumaa ko. suunnassa (negatiivisuus merkitsee vastakkaisuuntaisuutta).

Kysymys. Voiko kiertokuvauksella olla ominaisarvoja/vektoreita?
Ehdotus: Jos kiertokulma on 0 tai Pi, niin kyllä, mutta muuten ei?

Mutta: Algebran peruslauseen mukaan jokaisella polynomiyhtälöllä on ratkaisu kompleksitasossa. Siten kiertokuvauksellakin on ominaisarvoja, mutta ne ovat kompleksisia. Itse asiassa kompleksiluvulla kertominen merkitsee kiertämistä tasossa.

Käsitteitä

Ominaisavaruus: Tiettyyn ominaisarvoon kuuluvien ominaisvektorien joukko täydennettynä 0-vektorilla (jotta saadaan VA).
Spektri= ominaisarvojen joukko (kompleksitason osajoukko)
Spektraalisäde: itseisarvoltaan suurimman ominaisarvon itseisarvo. Se antaa ympyrän säteen, jonka sisällä kaikki ominaisarvot (eli spektrin pisteet) ovat.
Karakteristinen polynomi : p_A(s)=det(A-s I)
Ominaisarvon s_k algebrallinen kertaluku = p_k, kun karakteristinen polynomi esitetään tekijöihin jaetussa muodossa:
p_A(s)=(s-s₁)^p₁ ... (s-s_k)^p_k

Ominaisarvon s alg. kertal. merk M_s
Geometrinen kertaluku m_s tarkoittaa vastaavan ominaisavaruuden dimensiota
Pätee: m_s <= M_s
Matriisi A on defektiivinen , jos jollain ominaisarvolla s on aidosti m_s < M_s
Maplen eigenvects - komennon tulostus antaa havainnollisen näytön algebrallisesta ja geometrisesta kertaluvusta.

Peruslauseita

Lause (LRT) Eri ominaisarvoihin liityvät ominaisvektorit ovat LRT.
Tod: Helppo induktiotodistus [QED]

Lause (SYM) Symmetrisen (yleisemmin hermiittisen) matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaaliset.
Tod: Ei vaikea. [QED]

Lause (SYMDIAG), syvällinen Symmetrisen matriisin jokaisen ominaisarvon algebrallinen ja geometrinen kertaluku on sama. Ts. ominaisvektoreista voidaan muodostaa (jopa ortonormeerattu kanta.) Rⁿ:ään. Merkitsee myös: Symmetrinen matriisi on diagonalisoituva.
Tod: "Syvällinen" tarkoittaa: todistus ylittää kurssin vaatimustason, vaan ei tuloksen soveltaminen. [QED]

Esimerkkejä

[HAM] s. 156:

> with(linalg):
A:=matrix([[8,6,6],[-3,-1,-3],[-6,-6,-4]]);
                                  [ 8     6     6]
                                  [              ]
                             A := [-3    -1    -3]
                                  [              ]
                                  [-6    -6    -4]

> Id:=diag(1,1,1);
                                    [1    0    0]
                                    [           ]
                              Id := [0    1    0]
                                    [           ]
                                    [0    0    1]

> p:=det(A-lambda*Id);
                                           2         3
                         p := -4 + 3 lambda  - lambda

> factor(p);
                                                    2
                         -(lambda + 1) (-2 + lambda)

> omarvot:=solve(p=0,lambda);
                              omarvot := -1, 2, 2

> Cmat:=evalm(A-lambda*Id);
                      [8 - lambda         6              6     ]
                      [                                        ]
              Cmat := [    -3        -1 - lambda        -3     ]
                      [                                        ]
                      [    -6            -6         -4 - lambda]

> Cmat1:=subs(lambda=-1,op(Cmat));
                                    [ 9     6     6]
                                    [              ]
                           Cmat1 := [-3     0    -3]
                                    [              ]
                                    [-6    -6    -3]

> Cmat2:=subs(lambda=2,op(Cmat)); 
                                    [ 6     6     6]
                                    [              ]
                           Cmat2 := [-3    -3    -3]
                                    [              ]
                                    [-6    -6    -6]
> G1:=gaussjord(Cmat1);
                                  [1    0     1  ]
                                  [              ]
                            G1 := [0    1    -1/2]
                                  [              ]
                                  [0    0     0  ]

> G2:=gaussjord(Cmat2);
                                    [1    1    1]
                                    [           ]
                              G2 := [0    0    0]
                                    [           ]
                                    [0    0    0]

#B1:=backsub(G1,o,'t'); subs(t[1]=1,op(B1));
#B2:=backsub(G2,o,'t'); 
#v1:=subs(t[1]=1,t[2]=0,op(B2));v2:=subs(t[1]=0,t[2]=1,op(B2));

> B1:=backsub(G1,o,'t'); subs(t[1]=1,op(B1));
                         B1 := [-t[1], 1/2 t[1], t[1]]

                                 [-1, 1/2, 1]
> B2:=backsub(G2,o,'t');
                       B2 := [-t[2] - t[1], t[2], t[1]]

> v1:=subs(t[1]=1,t[2]=0,op(B2));v2:=subs(t[1]=0,t[2]=1,op(B2));
                               v1 := [-1, 0, 1]

                               v2 := [-1, 1, 0]

> eigenvectors(A);
            [2, 2, {[-1, 0, 1], [-1, 1, 0]}], [-1, 1, {[-2, 1, 2]}]


>> A=[8,6,6;-3,-1,-3;-6,-6,-4]
A =
     8     6     6
    -3    -1    -3
    -6    -6    -4

>> p=poly(A)
p =
    1.0000   -3.0000   -0.0000    4.0000

>> lam=roots(p)
lam =
    2.0000
    2.0000
   -1.0000

>> rref(A-lam(1)*eye(3))
ans =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

% OHHOH!! miten ihmeessä
>> format long
>> lam
lam =
   2.00000002344808
   1.99999997655192
  -1.00000000000001
>> A-lam(1)*eye(3)      
ans =
   5.99999997655192   6.00000000000000   6.00000000000000
  -3.00000000000000  -3.00000002344808  -3.00000000000000
  -6.00000000000000  -6.00000000000000  -6.00000002344808
>> rank(ans)
ans =
     3
% Joopa joo, tässä tuli senverran virhettä, että Matlab päätteli 
% rangin 3:ksi.
>> rref(A-lam(3)*eye(3))
ans =
   1.00000000000000                  0   1.00000000000000
                  0   1.00000000000000  -0.50000000000000
                  0                  0                  0

% No kolmas ominaisarvo meni järjellisesti.

% Annetaan Matlabin näyttää kykynsä:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lasketaan numeerisesti luotettavalla ja tehokkaalla tavalla:

>> format short
>> [V,D]=eig(A)
V =
    0.8018    0.6667    0.6880
   -0.2673   -0.3333   -0.7248
   -0.5345   -0.6667    0.0368
D =
    2.0000         0         0
         0   -1.0000         0
         0         0    2.0000

Päivitetty Mon Oct 2 12:57:44 EEST 2000