\documentclass[finnish,12pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{9}{46}{16.11}


\begin{enumerate}

\item
Osoita, ortogonaalisuusominaisuus:
$$\int_{-l}^l \cos {{m\pi x}\over {l}}\cos {{n\pi x}\over {l}} dx =
     \begin{cases} 0,\ \ m\ne n \\
            l, \ \ m=n\ne 0 \end{cases}$$
Vihje: Voit k\"aytt\"a\"a trigonometrian kaavaa 
$\cos \alpha \cos \beta = {{1}\over{2}}(\cos(\alpha+\beta)+
\cos(\alpha-\beta))$ (
joka on helppo johtaa tuttujen $\cos(\alpha+\beta)$-kaavojen avulla).
Toinen tapa on siirty\"a exp-funktioihin vanhan kunnon Eulerin avulla.

\item
%s. 472 Jokin tyyppi\"a:
%teht. 4
%Piirr\"a annetun jaksollisen funktion $f$ kuvaaja (muutaman jakson alueella)
Olkoon $f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi],\ \ f(t+2\pi)=f(t) .$
Piirrä $f$:n kuvaaja muutaman jakson alueella. Muodosta $f$:n Fourier-sarja.
Selvitä, missä pisteissä sarja suppenee ja missä se ei suppene kohti kyseistä
funktion arvoa. Mitä arvoa kohti sarja näissä ``ei-pisteissä'' suppenee?
Piirrä jaksollinen laajennus ja osasummafunktioiden kuvaajia.
Vrt. Exa 4.1 s. 287

\item
Tee Maple-työ, jossa käyt läpi Exa 4.3:n s. 291-293.
Piirrä jaks. laaj. ja osasummia.


\item
Tee edellistä vastaava tehtävä funktiolle $f(x)=\begin{cases}
         100, \ \ -4 < x < -2 \\
         0, \ \ -2 \le x \le 4 \end{cases}$,
$f(x+8)=f(x)$.

%teht. 8 even and odd parts ?

\item %6
Muodosta funktion $f(t)=t^2/4,\ \ t\in (-\pi,\pi) $ Fourier-sarja
ja johda sen avulla sarjaesitykset:

%a) ${{\pi} \over {4}}=\sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n+1}}\over{2n-1}}=
%1-1/3 + 1/5 - ... $

a) ${{\pi^2} \over {6}}=\sum_{n=1}^\infty {{1}\over{n^2}}$

b) ${{\pi^{2}} \over {12}}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}{{1}\over{n^2}}$

Perustele sarjojen suppeneminen Fourier-sarjojen suppenemislauseen avulla.

\item
Muodosta puoliaaltotasasuunnatun siniaallon Fourier-sarja, kts. tarkemmin
teht. 11 s. 308

\item
Tutki {\em Gibbsin ilmiötä} muodostamalla sopivan kanttiaallon Fourier-
sarja ja piirtämällä (paljon) kuvaajia. Vahvista kokeellisesti tuo 
väite n. 9\%:n "yli/ali-ampumisesta".

\end{enumerate}
\end{document}


\item
s. 476 teht. 27: half and quarter range ext.  Puolen ja nelj\"annesjakson
laajennukset.
Muodosta funktion $f(x)=100, \ \ x\in [0,l]$ puolen jakson sek\"a my\"os 
nelj\"annesjakson sini- ja 
kosinisarjat. Piirr\"a kyseisten jaksollisten laajennusten kuvaajat muutaman
jakson alueelta.

\item
Tee edellist\"a vastaava funktiolle $f(x)=x, \ \ x\in [0,l]$. Piirr\"a kaikki
neljä kuvaajaa, sarjoista tarvitsee muodostaa vain puolen jakson sini ja
nelj\"annesjakson kosini.

\item
teht. 28  s. 477
Jokin kohta: Lasketaan konkreettinen laajennus

\item
s. 482 teht. 3:
Olkoon $f$  $2\pi$-jaksoinen, $f(x)=x$ v\"alill\"a $[-\pi,\pi]$.

a) Piirr\"a $f$:n ja integraalifunktion $F(x)=\int_{-\pi}^x f(t) dt$
kuvaaja.

b) Kehitä $f$ Fourier-sarjaksi, tavoitteena tulos:
$x=2 \sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n-1} }\over{n}}\sin nx, \ \ x\in(-\pi,\pi) $.
%Osoita kehitt\"am\"all\"a t\"am\"a Fourier-sarjaksi, ett\"a
%$$x=2\sum...$$.

Osoita sarjan termeittäistä integrointia koskevan lauseen Gree s. 479 Thm. 2 
avulla, ett\"a mainittu operaatio %sarjan termeitt\"ainen integrointi
on luvallinen ja johda integroimalla sarjaesitys funktiolle $x^2$ v\"alill\"a
$[-\pi,\pi]$.

\item 
Kr 7: s. 594 ch 10.7
Määritä yleinen ratkaisu vaimentamatonta värähtelyä kuvaavalle yhtälölle

$y'' + \omega^2 y = \cos \alpha t + \cos \beta t \ \ (\omega^2\ne \alpha^2,
\beta^2$).

\item
Tarkastellaan vaimennettua värähtelyä kuvaavaa yhtälöä

$my''+cy'+ky=r(t)$.

Olkoon $m=1, c=0.02, k=25$ ja $r(t)=\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
                                      -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi 
\end{cases},\ \ 
r(t+2\pi)=r(t)$ .

Määritä ``pitkän aikavälin'' (``steady state'') ratkaisu $y(t)$.

Ratk: Kreyszig

Muodosta funktion $f(x)=x^2,\ \ x\in (-\pi,\pi) $ Fourier-sarja
ja laske sen avulla
sarjojen 

$\sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n}}\over{n^2}}$ ja
$\sum_{n=1}^\infty {{1}\over{n^2}}$

summat. 

Perustele Fourier-sarjojen suppenemislauseen avulla, miksi
suppeneminen tapahtuu ao. arvoja kohti.

Huom! Alkuosan voit halutessasi laskea integroimalla sopivaa, helpommin
laskettavaa 
sarjaa.


\item
Muodosta funktion $f(x)=x^2,\ \ x\in (-\pi,\pi) $ 
Fourier-sarja seuraavasti:

Laske ensin funktion $f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi)$
sinisarja ja sovella siihen termeittäistä integrointia (integroimalla
ao. yht\"al\"o puolittain vaikkapa v\"alill\"a $t=0..x$).
Saat pit\"a\"a tunnettuna summaa:
$\sum_{n=1}^\infty {\frac{1}{n^2}}={\frac{\pi^2}{6}}$


\end{enumerate}


\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{Yleinen tapaus, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}$ \rv
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

\subsubsection*{Puolen jakson laajennukset,$f$ määritelty välillä $(0,L)$}

\paragraph*{Sinisarja}

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
b_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HS_1, HS_2) $$

\paragraph*{Kosinisarja}

$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
a_0={\frac{1}{L}}\int_0^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HC_1 - HC_3) $$

%\subsection*{Integraalikaavoja}

$$\int \!x\sin(px){dx}={\frac {\sin(px)-px\cos(px)}{{p}^{2}}}$$
$$\int \!x\cos(px){dx}={\frac {\cos(px)+px\sin(px)}{{p}^{2}}}$$

\subsection*{Trigonometrian kaavoja}

$\sin(\alpha\pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha\pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\sin ix = i \sinh x, \ \ \cos ix = \cosh x$








