\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{8}{45}{7 -- 9.11}

2. v�likokeen alueeseen kuuluvat harj. 5 -- 8. Koepaperissa on mukana niin
Laplace- kuin z-muunnostaulukko.

%$\lbrace \rbrace $  % tiedosto:  jono

\subsection*{Alkuviikko}

z-muunnoksia koskevat teht�v�t on hyv� laskea k�sin ja tarkistaa Maplella.

Esim:
\verb_ ztrans(a^k,k,z);_


%\begin{enumerate}


\begin{alku}

\item
%\begin{itemize}

 % \item
(a)  Kirjoita auki yleinen ratkaisukaava 2. kertaluvun vakiokertoimiselle
  yht�l�lle tapauksessa, jossa karakteristisen yht�l�n juuret ovat 
  kompleksiset: $\alpha\pm i\beta$. Merkitse ulkoista voimaa (her�tett�)
  $u(t)$:ll� ja alkuarvoja: $x_0$:lla ja $v_0$:lla. K�yt� konvoluutiota
  hyv�ksi.

 % \item
(b)  Sovella kaavaasi (vanhaan tuttuun)
  alkuarvoteht�v��n 
  $\begin{cases}x''+4 x'+ 13 x = \cos t \\
        x(0)=1,x'(0)=1 \end{cases}$

  (Harjoituksen 3 teht�v��n 4 (av) n�hden vain alkuehdoissa on pieni muutos.) 
  
  
\item
M��rit� z-muunnos ja suppenemisalue seuraaville jonoille:

a) $\lbrace (\frac{1}{4})^k\rbrace$  \quad b) $\lbrace(-3)^k\rbrace$ 
\quad c) $\lbrace3k\rbrace$ 
%\end{itemize}

\item
Jatkuva-aikasignaalista $f(t)=e^{-2\omega t}$ ($\omega\in\R, t > 0$) otetaan n�ytteit�  
$T$:n v�lein. Kirjoita n�ytejonon yleinen termi ja muodosta jonon
z-muunnos.


\item
Johda ${\cal Z}\lbrace \sin k \omega T\rbrace $, miss� $\omega$ ja 
$T$ ovat vakioita.
(Katso tarvittaessa mallia exa 3.5:st�.)

\item
K�yt� 1. siirto-ominaisuutta jonon $\lbrace y_k \rbrace $
z-muuntamiseen, kun
$y_k=\begin{cases}
    0, k < 3 \\
    x_k, k \ge 3 \end{cases},$
miss� $x_k=(\frac{1}{2})^k$.

Laske my�s suoraan m��ritelm�n mukaan ${\cal Z}\lbrace y_k \rbrace$

\item
(a) Muodosta kausaalinen jono $(x_k)$, jolla ei ole z-muunnosta
(eli sarja hajaantuu kaikilla $z\in \C$ .)

(b)
Todista z-muunnoksen kertomisominaisuudet (3.19) ja (3.20) sek� 
alkuarvolause (3.21) eli kohdat (i), (ii) ja (iii) s. 228 .



\end{alku}




%\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko}


\begin{loppu}

\item
Laplace-muunnosta voidaan soveltaa matriiseihin ja vektoreihin alkioittain
aivan kuten derivointia ym. T�t� formalismia k�ytt�en saadaan aivan
henke�salpaavan kaunis kaava:

$$L\{e^{At}\}=(sI-A)^{-1}.$$

Siten $e^{At}$ voidaan muodostaa my�s laskemalla karakteristisen matriisin
(miinus-merkkisen) k��nteismatriisi ja k��nteismuuntamalla se.

Ratkaise t�t� hyv�ksi k�ytt�en AA-teht�v�
$$
{\bf x'}= 
\left [\begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}4&1\end {array}
\right ] {\bf x}+\left [\begin {array}{c} \sin(t)\\\noalign{\medskip}-\cos(t)
\end {array}\right ],\ \ 
\textbf{x}(0)=\left [\begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array}\right ].$$
Muista my�s pys�hty� vertaamaan $e^{At}$:t� {\tt exponential(A,t)}-
tulokseen.

Muistathan \verb_ map(laplace,fmat,t,s);_ jne.

Tarkemmin sanottuna teht�v�ss� olisi sopivaa tehd� kaksi asiaa:

1) Soveltaa luennolla johdettua kaavaa yht�l��n 
$\textbf{x'}=A\textbf{x}+\textbf{g}(t)$, jolloin ratkaisu saadaan 
k��nteismuuntamalla {\bf X} kaavassa
$\textbf{X}(s)=(sI-A)^{-1}(\textbf{x}(0)+\textbf{G}(s))$

2) Laskea $e^{At}$ yll� olevalla kaavalla, verrata ja ihastella.

\item
Muodosta vakiojonon $x_k=1$ z-muunnos ja kertos��nt�j� (3.19), (3.20)
k�ytt�en jonojen $\lbrace(\frac{1}{2})^k \rbrace $,
$\lbrace k(\frac{1}{2})^k \rbrace $,$\ldots$
$\lbrace k^6(\frac{1}{2})^k \rbrace $,$\ldots$.

K�yt� Maplea derivointiin. Voit tietysti tarkistaa {\tt ztrans}:lla.
Piirr� huvin vuoksi z-muunnosfunktioiden kuvajaat 
(rajoittumalla reaaliakseliin).

\item
M��rit� seuraavien funktioiden  z-k��nteismuunnokset:

(a) $\frac{z+2}{z+1}$ \quad (b) $\frac{z}{(z-1)(z+2)}$ (jaa ensin z:lla
ja sitten osamurto) \quad
(c) $\frac{z}{z^2+1}$ \quad(d) $1+\frac{3}{z^2} -\frac{2}{z^9} $ \quad
(e) $\frac{2z^3+6z^2+5z+1}{z^2(2z+1)}$
 
Huomaa, ett� jos sarjakehitelm� $\frac{1}{z}$:n potenssien suhteen jotenkin
``paistaa l�pi'', niin homma on harvinaisen helppo.

%Laske sarjaksi kehitt�m�ll� seuraavat k��nteismuunnokset (yrit� ainakin)
%Laske sitten taulukkotekniikalla (vrt. L-muunnokset).

%{\bf jatkuu  ...}


\item
Oletetaan, ett� olet ostamassa asuntoa ja pyyd�t pankista lainaa.
Takaisinmaksu suoritetaan kuukausittain maksettavin vakioer�isin
maksuin (annuiteetti). Kokonaislaina-aika olkoon 30 vuotta.

a) Miten suuren lainan voit ottaa, jos maksimikuukausier�, jolla pysyt
hengiss�, on $800$ mk.

b) Kuinka paljon kuukausier�� tulee nostaa, jos haluatkin maksaa lainan
20 vuodessa.

Oletetaan, ett� korkoprosentti on $5.5$.

Voit tehd� Maple-ty�arkin, jossa nime�t ensin kaikki asiaan vaikuttavat
parametrit, niit� voit tarpeen tullen muutella.

Vaikka teht�v� on helppo ratkaista muutenkin, k�yt� z-muunnosta, ehk�p�
se tekee pankinjohtajaasi suuren vaikutuksen.

Voit keksi� muitakin asiankuuluvia kysymyksi�, kuten korkoprosentin muutoksen
vaikutus ym.

\item
Ratkaise z-muunnoksen avulla seuraavat differenssiyht�l�t:

(a) $  6 y_{k+2}+5y_{k+1}-y_{k}=5$, ehdoilla $y_0=y_1=0$.

(b) $  y_{n+2}-3y_{n+1}+3y_{n}=1$,  ehdoilla $y_0=1, y_1=0$.

(c) $ y_{n+2}-4y_{n}=3n - 5$,  ehdoilla $y_0=y_1=0 .$
Tee k�sin Maple-avusteisesti ja lis�ksi automaattisemmin (samaan tyyliin
kuin tehtiin L-muunnosten yhteydess�).
Piirr� aikakuvat (murtoviivat).

Pisteit� yhdist�vien murtoviivojen piirtohan tapahtuu n�in:

\verb_ plot([seq([k,yy(k)],k=0..10)]);_ (Lista, jonka alkioina ovat
ao. pisteet esitettyin� koordinaattiparien listoina \verb_ [x,y]_.)

\item
Henkil� H p��tt�� perustaa firman F. F:n p��oma vuoden $k$ alussa olkoon
$C_k$ ja vuoden $k$ kulut olkoot yhteens� $E_k$ .
Liiketoiminnan tuloksena p��oma ja kulut kehittyv�t seuraavasti:

$\begin{cases} 
C_{k+1}=1.5C_k - E_k \\ 
E_{k+1}= 0.21C_k + 0.5 E_k\end{cases}
$

(a) Osoita, ett� pitk�n ajan kuluessa F:n p��oma kasvaa $20$ \%:n vuositahtia.

(b) Jos p��oma 1. vuoden alussa on 12000 mk ja 1. vuoden kulut ovat $7440$ mk,
m��rit� vuosi, jolloin kulut ovat minimiss� ja p��oma sen vuoden alussa.

Piirr� sek� aika- ett� ``faasi''kuvat.

\end{loppu}

\subsection*{Maple-ohjeita}

{\bf Differenssiyht�l�:}

Esim:
\verb_ > a*y(k+2)+b*y(k+1)+c*k=u(k); _

Z-muunnosta voi soveltaa, kuten Laplace-muunnosta, samanlaiset vaiheet.
(Ei tarvitse ladata mit��n.) \\
Suositus: \verb_ alias(Z=ztrans,IZ=invztrans);_

Black box: {\tt rsolve} (vrt. {\tt dsolve)}
%{\bf Sievennyst�}

\begin{itemize} 
\item
evalc  tekee usein hyv�� j�lke� kompleksiluvun re-ja im-osiin jaossa.
Kokeile: {\tt evalc(exp(I*phi));}
\item
T�m�n tyyliset kannattaa ottaa k�ytt��n. ``symbolic'' siirt�� kaiken vastuun
sievennysten p�tevyysalueesta k�ytt�j�lle, usein ihan hyv�.
\verb_combine(%,ln,anything,symbolic); simplify(%,ln,symbolic); _
\item
Osamurtohajoitelmissa kannattaa z-muunnosteht�viss� aina menn� 1. asteen 
tekij�ihin, ts. otetaan kompleksiluvut k�ytt��n.
Jotta Maple suostuu, on teht�v� vastaavasti kuin tehtiin siin� $\sqrt{41}$-
teht�v�ss�. Annetaan Maplen hakea tekij�ihinjakoa laajennetussa ``kunnassa''.
T�ss� tapauksessa ilmoitetaan, ett� $I$ on mukana:

\verb_ lauseke:=convert(lauseke,parfrac,z,I);_

\item
z-k��nteismuunnos saadaan suoraan funktiosta kehitt�m�ll� se $\frac{1}{z}$:n
potenssien suhteen, kuten ylemp�n� todettiin. Maplessa voidaan series komennolla t�m� saada aikaan t�h�n tyyliin:

\verb_ series(F,z=infinity,10)_
  \end{itemize}


\end{document}



















