\documentclass[finnish,10pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{7}{44}{31.10 --2.11}


\subsection*{Alkuviikko}



%\begin{enumerate}


\begin{alku}

\item %1% GLJ s. 161 teht. 17 % vastauskirja s. 24
Ratkaise AA-teht�v� $x''+x'+x=g(t)$, $x(0)=1,\ \ x'(0)=0$, miss� \\
$g(t)=\begin{cases}
t, 0 \leq t < 1 \\
2-t, 1 < t < 2 \\
0, t >2
\end{cases}$

\item %2% GLJ s. 162 teht. 23, V s. 28
Jaksollinen funktio $f$, jakso$=4$, m��ritell��n v�lill� $[0,4)$ n�in:\\
$f(t)=\begin{cases}
3t, 0 \leq t < 2 \\
6, 2 \leq t < 4 
\end{cases}$.
Piirr� kuvaaja v�lill� $[0,12)$ ja m��rit� f:n Laplace-muunnos.

\item %3% GLJ s. 172 teht. 25 a,c, Vast: s. 29-30
M��rit� k��nteismuunnos, kun

a) $F(s)=\frac{2s^2+1}{(s+2)(s+3)}$ \quad 
b) $F(s)=\frac{s^2+2}{s^2+2s+5}$

\item %4% GLJ s. 172 teht. 27 a,c
M��rit� seuraavien funktioiden yleistetty derivaatta:\\
a) $f(t)=\begin{cases} 
3t^2, 0 \leq t < 4 \\
2t-3, 4 \leq t < 6 \\
t, t \ge 6
\end{cases}$ \quad
b) $g(t)=\begin{cases} 
t, 0 \leq t < 1 \\
2-t, 1 \leq t < 2 \\
0, t > 2 \\
\end{cases}$

%Harkitse!
\item
Sarjaan kytketyss� RLC- piiriss� on vastus $R=100 \Omega$, kondensaattori 
$C=10^{-4} F$ ja induktanssi
(kela) $L=2 H$. Alkutilassa kondensaattorin varaus ja virta ovat nollilla. 
Hetkell� $t=0$ piiriin synnytet��n impulsiivinen j�nnitepiikki $E\delta(t)$.
M��rit� kondensaattorin varaus $q(t)$ ja virta $i(t)$.


\item%6% 
Ratkaise vaimennettu v\"ar\"ahtelyteht\"av\"a:
$$x''+2x'+x=\delta(t)-H(t-2\pi), x(0)=0,x'(0)=0 .$$
T\"ass\"a her\"atteen\"a (ulkoisena voimana) on impulssi (vasaranisku)
hetkell\"a $t=0$ ja vakiovoima $-1$ ajanhetkest\"a $t=2\pi$ alkaen.
Piirr\"a ratkaisufunktio vaikkapa v\"alill\"a $\lbrack 0,25 \rbrack$.

Sama teht�v� on my�s LV-teht�v�n� (Maple), siin� yhteydess� sitten niit�
kuvia.

%\footnote{Diracin deltan L-muunnos: $L\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$}






\end{alku}




%\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko}

\begin{loppu}
\item
AV-teht�v� 6 Maple-avusteisesti havainnollisine kuvineen.

\item
Johda diffyht�l�systeemi oheisen kuvan 
%~\ref{jouset} 
massa-jousisysteemille.
Voit olettaa: $x_1 > x_2 > x_3.$

\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=kuvat/harj6k2.eps, height=4cm, width=7.5cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}


Ratkaise teht�v� Laplace-muunnostekniikalla tietenkin.

Massat ja jousivakio(t): $m_1=1, m_2=2, m_3=2, k=1$ \\
Alkuehdot:$x_1(0)=1, x_2(0)=2, x_3(0)=3, x_1'(0)=x_2'(0)=x_3'(0)=0 .$ \\
Ulkoinen voima (her�te): $f(t)=\cos \omega t$, olkoon $\omega=1 .$

Vihje: T�t� ei tarvitse kirjoittaa 1. kl. $6\times6$-systeemiksi vaan
voidaan hyvin k�sitell� 2. kl. $3\times 3$-systeemin�.
Kirjoita kukin yht�l� erikseen tyyliin
\begin{verbatim}
> dyht1:=diff(y1(t),t,t)=...);dyht2:=...;dyht3:=...;
\end{verbatim}
L-muunna ja ratkaise.

{\bf Huom:} Nimitt�j��n saat korkea-asteisen polynomin. Siihen kannattaa
kokeilla \verb_ factor- _ komentoa. Se ei auta pitk�lle, suorita
sitten \verb_ solve(denom(...)=0,s);_
Nimitt�j�n tekij�ihinjako ei onnistu kokonaislukukunnassa, mutta 
sopivassa laajennetussa lukujoukossa kyll�kin. Komento
\verb_ convert(laus,parfrac,s,sqrt(41));_ sis�lt�� nelj�nnen argumentin,
joksi kannattaa valita sopiva juurilauseke, ehk� tuo yll� oleva toimii.
(Se n�kyy \verb_ solve-_komennon tuloksesta.)
Kts. tarkemmin HAM s. 42

\item{\bf Projekti 1-2:lle, pisteit� 1-3}
L�hde: [Laode] ss. 586 -- 590.
\begin{enumerate}
\item
Tutustu Laode-kirjan ``Grand Finale''-esimerkkiin
$x''+4x'+5x=\delta_1(t)+2H_3(t)$, $x(0)=0, x'(0)=1 .$

(T�ss� merkit��n $H_c$:ll� GLJ:n $H(t-c)$:t� ja vastaavasti $\delta_c$:ll�
$\delta(t-c)$:t�.) 
Selvit� samassa yhteydess�
my�s, miten osamurtohajoitelmat voidaan tehd� Matlabilla. (funktio realform
t�ytyy kirjoittaa (=kopioida kirjasta) itse, se ei sis�lly Laode-
kokoelmaan.) Suorita toisaalta t�m� esimerkki Maplella. Kerro, mit�
ratkaisukuvasta n�kyy.

\item{Exe. 3. ss. 589 -- 590}
Ratkaise sama teht�v� Matlabin {\tt ode45}-funktiolla. T�ss� t�ytyy kirjoittaa
2. kertaluvun yht�l� 1. kertaluvun systeemiksi. Erityisen kiintoisa kohta
on {\em Diracin} $\delta$:n numeerinen approksimointi.
Kokeile siihen tyylin kuin ehdotetaan Laode:n s. 590 (mutta voit muutella
my�s siell� olevaa $h$-parametria.)
Tee pieni tutkielma siit�, miten $h$-parametrin ja toleranssin valinta
vaikuttaa tulokseen vertailtaessa analyyttisen ratkaisun kanssa.

\end{enumerate}

\item{Toinen projekti 1-2:lle (1-3 p.)}
S�ikyttelin luennolla, ett� jaksolliset saattavat olla vaikeita Laplace-
muunnoksella. T�ss� on hyv� tilaisuus opiskella ja kokeilla, miss� vaikeus
voi piill�, ja miten se voidaan voittaa (ainakin tietyiss� tapauksissa).
Opiskele Laode-kirjasta ss. 593 -- 595 {\em Piecewise smooth peroodic
forcing}. Selvit� vaiheet, ja suorita laskut my�s Maplella.

Toinen idea: Ratkaisua voidaan l�hesty� my�s t�h�n tapaan: Otetaan jaksollisesta
her�tefunktiosta aikasiivuja, vaikka yhden jakson, kahden jakson jne. 
pituisia ja
ratkaistaan vastaavat AA-teht�v�t Maplea hy�dynt�en. Katsotaan ainakin
kuvista, miten saadut ratkaisuapproksimaatiot esitt�v�t edell� saatua
koko teht�v�n ratkaisua. (Arvatenkin approksimaation laatu huononee,
kun lasketaan/piirret��n ratkaisua pitemm�lle kuin approksimoiva
siivu her�tteest�.)

Jos energiaa viel� on, voit kokeilla samaa tekniikkaa johonkin muuhunkin
jaksolliseen.

{\bf Maple-ty�kalu jaksollisten funktioiden k�sittelyyn}

Kts. my�s HAM ss. 127--128

Jos suoritat Maplessa komennon

\verb_read("/p/edu/mat-1.414/maple/ohjelmat.mpl"):_

saat k�ytt��si funktion: 
\begin{verbatim}
# Jaksollinen jatko: MapleTech Vol 3 No. 3 1996
#
JJ:=proc(f,d::range)
  subs({'F'=f,'L'=lhs(d),'D'=rhs(d)-lhs(d)},
  proc(x::algebraic) local y;
    y:=floor((x-L)/D);
    F(x-y*D);
  end)
end:
# Esim:
#sw:=JJ(signum,-1..1);
#plot(sw,-4..4);
\end{verbatim}

T�lle tulee viel� paljon k�ytt�� Fourier-sarjojen yhteydess�.
(Voit tuon read:n sijoittaa {\tt .mapleinit}:iin)

\item
Funktioiden $f$ ja $g$ konvoluutio m\"a\"aritell\"a\"an kaavalla
$$f*g(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau) d\tau$$

M\"a\"arit\"a konvoluutiolauseen ${\it L}(f*g)=(Lf)(Lg)$ avulla 
 seuraavien 
funktioiden Laplace-k\"a\"anteismuunnokset:

{\bf a)} ${\frac{1}{(s-a)^2}}$ \qquad {\bf b)} ${\frac{1}{s^2(s^2+\omega^2)}}$ 
\qquad {\bf c)} ${\frac{s}{(s^2+\omega^2)^2}}$

\vskip 5mm


\end{loppu}

\hrule

Eik�h�n t�ss� taas huvia ja hy�ty� ole ensi torstaihin saakka, 
ihan mukavan tuntuisia teht�vi� generoitui, vaikka sen itse sanonkin!


\subsection*{}



\end{document}



%\end{loppu}

%\begin{enumerate}







\item 
M\"a\"arit\"a seuraavien jaksollisten funktioiden Laplace-muunnokset:
\begin{itemize}
\item{a)}
"Sahalaitafunktio": $f(t)={\frac{k}{p}}t,\ \ 0<t<p,\ \ f(t+p)=f(t)$

\item{b)}
Puoliaaltotasasuunnattu siniaalto:
$$f(t)=\begin{cases}
              \sin \omega t, \ \ 0<t<\pi/\omega \\
              0, \ \ \pi/\omega<t<2\pi/\omega 
\end{cases}
$$ 
                        (jatkuu ${\frac{2\pi}{\omega}}$-jaksoisena).


\end{itemize}


\item

Laplace-muunnosta voidaan soveltaa matriiseihin ja vektoreihin alkioittain
aivan kuten derivointia ym. T�t� formalismia k�ytt�en saadaan aivan
henke�salpaavan kaunis kaava:

$$L\{e^{At}\}=(sI-A)^{-1}.$$

Siten $e^{At}$ voidaan muodostaa my�s laskemalla karakteristisen matriisin
(miinus-merkkisen) k��nteismatriisi ja k��nteismuuntamalla se.

Ratkaise t�t� hyv�ksi k�ytt�en AA-teht�v�
$$
{\bf y'}= 
\left [\begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}4&1\end {array}
\right ] {\bf y}+\left [\begin {array}{c} \sin(t)\\\noalign{\medskip}-\cos(t)
\end {array}\right ],\ \ 
\textbf{y}(0)=\left [\begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array}\right ].$$
Muista my�s pys�hty� vertaamaan $e^{At}$:t� {\tt exponential(A,t)}-
tulokseen.

Muistathan \verb_ map(laplace,fmat,t,s);_ jne.

Tarkemmin sanottuna teht�v�ss� olisi j�rkev�� tehd� kaksi asiaa:

1) Soveltaa luennolla johdettua kaavaa yht�l��n 
$\textbf{y'}=A\textbf{y}+\textbf{g}(t)$, jolloin ratkaisu saadaan k��nteismuuntamalla {\bf Y} kaavassa
$\textbf{Y}(s)=(sI-A)^{-1}(\textbf{y}(0)+\textbf{G}(s))$

2) Laskea $e^{At}$ yll� olevalla kaavalla, verrata ja ihastella.




xfig:st� exportattu kuva:


\begin{picture}(0,0)%
\epsfig{file=juu.eps}%
\end{picture}%
\setlength{\unitlength}{3947sp}%
%
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%
  \reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%
  \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%
  \selectfont}%
\fi\endgroup%
\begin{picture}(5566,3962)(3068,-4690)
\end{picture}
