\documentclass[finnish,10pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{6}{43}{24--26.10}


\subsection*{Alkuviikko}



%\begin{enumerate}


\begin{alku}

\item 
Laske m��ritelm�n perusteella seuraavien funktioiden Laplace-muunnokset:

a) $f(t)=t^2$, \quad b) $f(t)=t e^{-t}$, 


Mill� osassa s-tasoa ovat voimassa?

\item
Sama kuin edell� n�ihin n�hden:

c) $f(t)=\begin{cases}1,\ \ t\in [1,2] \\
              0,\ \ t\not\in [1,2]  \end{cases}$ \quad 
d) $f(t)=\begin{cases}t,\ \ t\in [0,1] \\
              0,\ \ t > 1 \end{cases} $


\item
Laske seuraavien funktioiden $F(s)$ Laplace-k��nteismuunnokset \rv
%\kohta{a}{

a) $\frac{s+5}{(s+1)(s-3)}$ \quad b) ${\frac{2s+6}{s^2+4}}$  \quad 
c) $\frac{s+8}{s^2+4s+5}$

%a) ${\frac{5}{s+3}}$, b) \quad ${\frac{s-9}{s^2-9}}$ 
%\quad c) ${\frac{s+1}{s^2+1}}$ 

%\item
%Laske my�s seuraavien funktioiden $F(s)$ Laplace-k��nteismuunnokset \rv
%%\kohta{a}{
%a) ${\frac{s^2+3}{s(s^2+4)}}$, b) \quad ${\frac{s+2}{s(s-1)^3}}$ 
%\quad c) ${\frac{1}{s^3(s^2+2)}}$ 


\item
Hy\"odynn\"a derivaatan (tarvittaessa korkeampienkin) 
Laplace-muunnosta seuraavissa
{\it L}-muunnosteht\"aviss\"a:

{\bf a)} $t \cos t $,\ \ {\bf b)} $t e^{-5 t}$, \ \ {\bf c)} $\cosh^2t $

\item
Ratkaise Laplace-muunnoksen avulla (AA)-teht�v�: $x'+3x = e^{-2t}$,
$x(0)=2$.

\item
Ratkaise Laplace-muunnoksen avulla (AA)-teht�v�: $x''+2x'+5x = 1$,
$x(0)=0, x'(0)=0$.

\end{alku}




%\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko}

\begin{loppu}

\item
Laske alla olevan Laplacemuunnostaulukon muunnokset ja k��nteismuunnokset
l�pi. Joudutko tekem��n joitakin {\tt assume}-oletuksia?
Suorita teht�v� niin, ett� lasket joitakin (ainakin alusta aloittaen)
suoraan m��ritelm�n perusteella ja loput laplace-funktiolla.
(K��nteismuunnokseen ei ole helppoa kaavaa, joten se vain invlaplace:lla).

Huomaa, ett� muuttujien j�rjestys on hyvin olennainen.

\item%1
Ratkaise alkuarvoteht�v� $y''+4y'+13y=20e^{-t},\ \ y(0)=1,y'(0)=3$
Laplace-muunnoksen avulla.

%%Mary M. Boas: ratk. s. 644.

Vast: $y(t)=2e^{-t}+e^{-2t}\sin 3t - e^{-2t}\cos 3t$

Suorita ratkaisusi k�sin k�ytt�en vain minimaalisesti Maplea
(esim. osamurtoihin yms.). Tee sitten Maplella k�sinlaskua simuloiden,
kuten HAM-kirjassa on neuvottu. Lopuksi antamalla Maplelle enemm�n vastuuta
(HAM-tyyli on taas sopiva ohjenuora).

\item
Oheisen virtapiirin komponenteilla ja sy�tt�j�nnitteell� on arvot:
$C=50 \mu F$, $L=2 H$, $R=100 \Omega$, $e(t)=50\sin 100 t$ (V).
Kytkin suljetaan hetkell� $t=0$, jolloin siis $i_1(0)=0, i_2(0)=0$.
Laske Laplace-muunnokset $I_1(s)$ ja $I_2(s)$ ja k��nteismuuntamalla
virrat $i_1(t)$ ja $i_2(t)$. Piirr� virtojen kuvaajat ja selvit�, miten
ne k�ytt�ytyv�t suurilla $t$:n arvoilla.
\begin{verbatim}
                     
                /    C  i1(t)   i2(t)
             --/ ----||-->-------->--------
             |  K           |             | 
             |              S             <
             o              S             >
         e(t)               S  L          <  R
             o              S             >
             |              S             <
             |              |             |
             ------------------------------
\end{verbatim}



%{\tt cp /p/edu/mat-1.443/H98/harj9pohja.mws .}
%\begin{loppu}

%\item
%Ratkaise perinteisen harj. 9 teht. 6 eli $y'' + 2 y' = u(t-1), \ \ y(0)=0,  
%y'(0)=1 .$

\item
Lausu kuvan 1 kuvien esitt�m�t funktiot Heavisiden funktioiden 
$H$ yhdistelmin�
ja tarkista tulokset piirt�m�ll�.

\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=kuvat/h6kuva1.eps, height=7cm, width=7cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}


Suorita my�s \verb_ convert(lauseke,piecewise);_ ja kokeile my�s
k��nteist�: \verb_ convert(palalauseke,Heaviside);_
%\end{document}
({\tt piecewise}, kts. HAM s. 63 tai {\tt ?piecewise})

Mieti lopuksi Matlab-lauseke, jolla saat m��ritellyksi Heavisiden funktion.
(Kolme ASCII-merkki� riitt��, jos muuttujasi on yhden merkin mittainen)

\item 
Ratkaise alkuarvoteht�v� $x'' + 2 x' = H(t-1), \ \ x(0)=0,  x'(0)=1 .$

T�ss� $H$ on {\em Heavisiden funktio}, jota usein merkit��n my�s $u$:lla.

$u(t)=\begin{cases} 0, t < 0 \\
                           1, t > 0
      \end{cases}$

Vast: $x(t)=-1/2\,{e^{-2\,t}}+1/2+u(t-1)\left (1/2\,t-3/4+1/4\,{e^{-2\,t+2}}
\right )$

T�m� teht�v� on v�h�n liiankin tarkkaan neuvottu HAM-kirjassa, mutta
siit�h�n on helppo ottaa opiksi (ja saada halpoja laskaripisteit�).

Tee tosiaan vaiheittain ja kiinnit� erityist� huomiota siirtolauseiden
(``s-shift. t-shift'') k�ytt��n.

Varusta asiaa ja sen ymm�rt�mist� valaisevin kommentein.


\item
Ratkaise AA-teht�v� 
$$y''(t)+3y'(t)+y(t)=g(t),\ \ y(0)=1, y'(0)=1,$$
miss�
\[ g(t)=
   \begin{cases}
      0, t < 0,  \\  
       1,  0 \leq  t < 1,    \\  
       -1, 1 \leq t < 2,    \\  
       0, t \ge 2,    

   \end{cases}          
 \]  

Ohje: Kirjoita $g$-funktio ensin Heavisiden funktioiden avulla.
Diffyht�l�n ratkaisu voi olla monimutkaisehko, mutta �l� v�lit�.
Piirr� samaan kuvaan ``her�te'' ja ``vaste'', vaikkapa tyylikk��sti
teksteill� varustettuna, kuten [HAM] s. 187, kuva 10.1.
Voit kokeilla lopuksi my�s ``black-box''-tyyli�:

\verb_ AE:=y(0)=1,D(y)(0)=1: ratk:=dsolve({dyht,AE},y(t),method=laplace);_


\end{loppu}


\subsection*{}



\subsection*{Laplace-muunnokset}

T�m� taulukko ja kaavat (+ joitakin lis�kaavoja) on kokeissa k�ytett�viss�.
\paragraph*{M��ritelm�: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikk�askelfunktio . \rv
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
\vskip 0.25 cm

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $F(s)$ & $f(t)$ & $F(s)$& $f(t)$ & $F(s)$ & $f(t)$ & $F(s)$ 
& $f(t)$ & $F(s)$ & $f(t)$ & $F(s)$ 
\\ \hline \hline
%\multicolumn{4}{|c|} \\ \hline  
  $t^k$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$ & $e^{at}$ & ${\frac{1}{s-a}}$ &
  $\cosh at$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$& $\sinh at$ & ${\frac{a}{s^2-a^2}}$ 
  &$\cos \omega t$ & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ 
&$\sin \omega t$   & ${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

\subsection*{Laplace-muunnokset \maple:ssa}

T�ss� on HAM-kirjassa omaksuttu suositus:

%\begin{verbatim}
\verb_> with(inttrans):alias(L=laplace,IL=invlaplace,u=Heaviside): _
%\end{verbatim} 
Sen j�lkeen voidaan komentaa tyyliin
\verb_ > L(sin(t),t,s);IL(%,s,t);plot(u(t)-u(t-1),t=-1..1); _

\subsection*{Osamurtokehitelm�t}
%$${\frac{}{}}$$
Rationaalifunktioita k��nteismuunnettaessa tarvitaan usein osamurtokehitelmi�.

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, miss� $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
ja yhteiset tekij�t on supistettu.

1) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s-a$ (tarkoittaa, ett� tekij�
ei esiinny korkeammassa potenssissa), otetaan kehitelm��n termi
$${\frac{A}{x-a}}.$$

2) Jos $Q(s)$:ll� on yksinkertainen tekij� $s^2+bx+c$, tulee kehitelm��n termi
$${\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}}$$

3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyv�t korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
$${\frac{A_1}{x-a}}+{\frac{A_2}{(x-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(x-a)^r}}$$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa.

\paragraph*{Osamurrot \maple:ssa ja \matl:ssa}
{\tt convert(lauseke,parfrac,muuttuja)}
\begin{verbatim}
> 1/((s+1)*(s-1));convert(%,parfrac,s);
\end{verbatim}
%${\frac {1}{\left (s-1\right )\left (s+1\right )}}$

\matl: \verb_ help residue_

%\begin{verbatim}
%> 
%\end{verbatim}
%$1/2\,\left (s-1\right )^{-1}-1/2\,\left (s+1\right )^{-1}$

\end{document}



\item
Johda diffyht�l�systeemi oheisen kuvan 
%~\ref{jouset} 
massa-jousisysteemille.
Voit olettaa: $x_1 > x_2 > x_3.$

\begin{figure}
  \begin{center}
    \leavevmode
     \epsfig{file=kuvat/harj6k2.eps, height=4cm, width=7.5cm}
     \caption{}
  \end{center}
\end{figure}


Ratkaise teht�v� Laplace-muunnostekniikalla.

Vihje: T�t� ei tarvitse kirjoittaa 1. kl. $6\times6$-systeemiksi vaan
voidaan hyvin k�sitell� 2. kl. $3\times 3$-systeemin�.
Kirjoita kukin yht�l� erikseen tyyliin
\begin{verbatim}
> dyht1:=diff(y1(t),t,t)=...);dyht2:=...;dyht3:=...;
\end{verbatim}
L-muunna ja ratkaise.

{\bf Huom:} Nimitt�j��n saat korkea-asteisen polynomin. Siihen kannattaa
kokeilla \verb_ factor- _ komentoa. Se ei auta pitk�lle, suorita
sitten \verb_ solve(denom(...)=0,s);_
Nimitt�j�n tekij�ihinjako ei onnistu kokonaislukukunnassa, mutta 
sopivassa laajennetussa lukujoukossa kyll�kin. Komento
\verb_ convert(laus,parfrac,s,sqrt(41));_ sis�lt�� nelj�nnen argumentin,
joksi kannattaa valita sopiva juurilauseke, ehk� tuo yll� oleva toimii.
(Se n�kyy \verb_ solve-_komennon tuloksesta.)
Kts. tarkemmin HAM s. 42


\item

Laplace-muunnosta voidaan soveltaa matriiseihin ja vektoreihin alkioittain
aivan kuten derivointia ym. T�t� formalismia k�ytt�en saadaan aivan
henke�salpaavan kaunis kaava:

$$L\{e^{At}\}=(sI-A)^{-1}.$$

Siten $e^{At}$ voidaan muodostaa my�s laskemalla karakteristisen matriisin
(miinus-merkkisen) k��nteismatriisi ja k��nteismuuntamalla se.

Ratkaise t�t� hyv�ksi k�ytt�en AA-teht�v�
$$
{\bf y'}= 
\left [\begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}4&1\end {array}
\right ] {\bf y}+\left [\begin {array}{c} \sin(t)\\\noalign{\medskip}-\cos(t)
\end {array}\right ],\ \ 
\textbf{y}(0)=\left [\begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}0\end {array}\right ].$$
Muista my�s pys�hty� vertaamaan $e^{At}$:t� {\tt exponential(A,t)}-
tulokseen.

Muistathan \verb_ map(laplace,fmat,t,s);_ jne.

Tarkemmin sanottuna teht�v�ss� olisi j�rkev�� tehd� kaksi asiaa:

1) Soveltaa luennolla johdettua kaavaa yht�l��n 
$\textbf{y'}=A\textbf{y}+\textbf{g}(t)$, jolloin ratkaisu saadaan k��nteismuuntamalla {\bf Y} kaavassa
$\textbf{Y}(s)=(sI-A)^{-1}(\textbf{y}(0)+\textbf{G}(s))$

2) Laskea $e^{At}$ yll� olevalla kaavalla, verrata ja ihastella.

%\end{loppu}

%\begin{enumerate}

\item
Laske Harj. 8, perint. teht. 3 j�lleen pohja-ty�arkkia noudatellen. \rv
Siis
$\dot y=\left [\begin {array}{cc} 1&4\\\noalign{\medskip}-1&-3\end {array}
\right ] y + \left [\begin {array}{c} t\\\noalign{\medskip}1\end {array}
\right ],\ \ \bar y(0)=(1,-1) $

\item
Jotta ei syntyisi sellaista kuvaa, ett� vain $2\times 2$-systeemej� osataan
ratkoa, otetaan hieman haastetta mukaan.

K�sitell��n Harj. 7, perint. teht. 3:n jousisysteemi�. Mallin 
muodostamisratkaisukin on www:ss�:

\verb_ http://www.math.hut.fi/teaching/k3/H/ratk/h7s3.gif _

Oletetaan sopivat numeroarvot, kuten  $k=1, m_1=1, m_2=2, m_3=2$ ja 
$F(t)=\cos \omega t$, jossa voidaan ottaa vaikka $\omega=1$ tai jotain
muuta. Voit valita 
sopivat alkuarvot.

Ratkaise t�m� teht�v� k�ytt�m�ll� matriisiexp-funktiota. Saat k�ytt��
valmista {\tt exponential}-funktiota. Huomaa, ett� jos k�sittelet
1- kl:n systeemin�, on 1. derivaatat otettava uusiksi muuttujiksi, jolloin
syntyy $6\times 6$-systeemi. Saat kyll� toisaalta halutessasi k�sitell�
t�t� my�s tavalliseen ominaisarvotyyliin, jolloin k�sittely $3\times 3$-
systeemin� on my�s mahdollinen.

Piirr� ratkaisuk�yr�t ihan vaan aikariippuvuuskuvina. Faasiavaruus olisi
mielekk��mpi, jos ulkoista voimaa ei olisi tai se olisi vakio. 
Faasiavaruusk�yri� voisi sitten  piirt�� {\tt spacecurve}-komennolla.
J�tet��n t�m� ylim��r�isen harrastuksen varaan.
(T�ydellinen faaiavaruus olisi 6-ulotteinen, mutta t�ss� olisi luontevaa 
piirt�� paikkamuuttujien suhteen, jolloin olisimme 3d-tilanteessa.)

\item
Laske alla olevan Laplacemuunnostaulukon muunnokset ja k��nteismuunnokset
l�pi. Joudutko tekem��n joitakin {\tt assume}-oletuksia?
Suorita teht�v� niin, ett� lasket joitakin (ainakin alusta aloittaen)
suoraan m��ritelm�n perusteella ja loput laplace-funktiolla.
(K��nteismuunnokseen ei ole helppoa kaavaa, joten se vain invlaplace:lla).

Huomaa, ett� muuttujien j�rjestys on hyvin olennainen.

Tarkempia ohjeita ``pohjassa''. My�s HAM-kirjassa on luku 10 omistettu
aiheelle.











