Teknillinen korkeakoulu Apiola Matematiikka

Mat-1.415 Matematiikan peruskurssi V3 syksy 2000

http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/H/

Laskuharjoitus 6 (viikko 43 , 24–26.10)

Alkuviikko

1. Laske määritelmän perusteella seuraavien funktioiden Laplace-muunnokset: a) f(t) = t^{2}, b) f(t) = te^{−t}, Millä osassa s-tasoa ovat voimassa?

2. Sama kuin edellä näihin nähden:

c) f(t) = \begin{cases}1, t ∈ [1, 2] \\ 0, t ∉ [1, 2] \end{cases} d) f(t) = \begin{cases}t, t ∈ [0, 1] \\ 0, t > 1 \end{cases}

3. Laske seuraavien funktioiden F (s) Laplace-käänteismuunnokset

a) \frac{s+5}{(s+1)(s−3)} b) \frac{2s+6}{s^{2}+4} c) \frac{s+8}{s^{2}+4s+5}

4. Hyödynnä derivaatan (tarvittaessa korkeampienkin) Laplace-muunnosta seuraavissa L-muunnostehtävissä:

a) t cos t, b) te^{−5t}, c) cosh^{2} t

5. Ratkaise Laplace-muunnoksen avulla (AA)-tehtävä: x′ + 3x = e^{−2t}, x(0) = 2.

6. Ratkaise Laplace-muunnoksen avulla (AA)-tehtävä: x′′ + 2x′ + 5x = 1, x(0) = 0, x′(0) = 0.

Loppuviikko

1. Laske alla olevan Laplacemuunnostaulukon muunnokset ja käänteismuunnokset läpi. Joudutko tekemään joitakin assume-oletuksia? Suorita tehtävä niin, että lasket joitakin (ainakin alusta aloittaen) suoraan määritelmän perusteella ja loput laplace-funktiolla. (Käänteismuunnokseen ei ole helppoa kaavaa, joten se vain invlaplace:lla). Huomaa, että muuttujien järjestys on hyvin olennainen.

2. Ratkaise alkuarvotehtävä y′′ + 4y′ + 13y = 20e^{−t}, y(0) = 1, y′(0) = 3 Laplacemuunnoksen avulla. Vast: y(t) = 2e^{−t} + e^{−2t} sin 3t − e^{−2t} cos 3t Suorita ratkaisusi käsin käyttäen vain minimaalisesti Maplea (esim. osamurtoihin yms.). Tee sitten Maplella käsinlaskua simuloiden, kuten HAM-kirjassa on neuvottu. Lopuksi antamalla Maplelle enemmän vastuuta (HAM-tyyli on taas sopiva ohjenuora).

3. Oheisen virtapiirin komponenteilla ja syöttöjännitteellä on arvot: C = 50μF, L = 2H, R = 100Ω, e(t) = 50 sin 100t (V). Kytkin suljetaan hetkellä t = 0, jolloin siis i_{1}(0) = 0, i_{2}(0) = 0. Laske Laplace-muunnokset I_{1}(s) ja I_{2}(s) ja käänteismuuntamalla virrat i_{1}(t) ja i_{2}(t). Piirrä virtojen kuvaajat ja selvitä, miten ne käyttäytyvät suurilla t:n arvoilla.

                /    C  i1(t)   i2(t)
             --/ ----||-->-------->--------
             |  K           |             |
             |              S             <
             o              S             >
         e(t)               S  L          <  R
             o              S             >
             |              S             <
             |              |             |
             ------------------------------

4. Lausu kuvan 1 kuvien esittämät funktiot Heavisiden funktioiden H yhdistelminä ja tarkista tulokset piirtämällä. Suorita myös convert(lauseke,piecewise); ja kokeile myös käänteistä:

 convert(palalauseke,Heaviside); (piecewise, kts. HAM s. 63 tai
?piecewise)

Mieti lopuksi Matlab-lauseke, jolla saat määritellyksi Heavisiden funktion. (Kolme ASCII-merkkiä riittää, jos muuttujasi on yhden merkin mittainen)

5. Ratkaise alkuarvotehtävä x′′ + 2x′ = H(t − 1), x(0) = 0, x′(0) = 1. Tässä H on Heavisiden funktio, jota usein merkitään myös u:lla.

u(t) = \begin{cases}0, t < 0 \\ 1, t > 0 \end{cases}

Vast: x(t) = −1/2 e^{−2 t} + 1/2 + u(t − 1) (1/2 t − 3/4 + 1/4 e^{−2 t+2}) Tämä tehtävä on vähän liiankin tarkkaan neuvottu HAM-kirjassa, mutta siitähän on helppo ottaa opiksi (ja saada halpoja laskaripisteitä). Tee tosiaan vaiheittain ja kiinnitä erityistä huomiota siirtolauseiden (“s-shift. t-shift”) käyttöön. Varusta asiaa ja sen ymmärtämistä valaisevin kommentein.

6. Ratkaise AA-tehtävä

y′′(t) + 3y′(t) + y(t) = g(t), y(0) = 1, y′(0) = 1,

Kuva 1:

missä

g(t) = \begin{cases}0, t < 0, \\ 1, 0 ≤ t < 1, \\ −1, 1 ≤ t < 2, \\ 0, t ≥ 2, \end{cases}

Ohje: Kirjoita g-funktio ensin Heavisiden funktioiden avulla. Diffyhtälön ratkaisu voi olla monimutkaisehko, mutta älä välitä. Piirrä samaan kuvaan “heräte” ja “vaste”, vaikkapa tyylikkäästi teksteillä varustettuna, kuten [HAM] s. 187, kuva 10.1. Voit kokeilla lopuksi myös “black-box”-tyyliä:

AE:=y(0)=1,D(y)(0)=1: ratk:=dsolve({dyht,AE},y(t),method=laplace);

Laplace-muunnokset

Tämä taulukko ja kaavat (+ joitakin lisäkaavoja) on kokeissa käytettävissä.

Määritelmä: Annettu f(t), Lf = F, F (s) = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−st}dt Merk. u(t) = H(t)=yksikköaskelfunktio . (Lf′)(s) = sF (s) − f(0), (Lf′′)(s) = s^{2}F (s) − sf(0) − f′(0),

f(t) F (s) f(t) F (s) f(t)  F (s)  f(t)  F (s)  f(t)  F (s) f(t) F (s)
t^{k}  \frac{k!}{s^{k+1}} e^{at}  \frac{1}{s−a} cosh at \frac{s}{s^{2}−a^{2}} sinh at \frac{a}{s^{2}−a^{2}} cos ωt \frac{s}{s^{2}+ω^{2}} sin ωt \frac{ω}{s^{2}+ω^{2}}

Laplace-muunnokset Maple:ssa

Tässä on HAM-kirjassa omaksuttu suositus:

> with(inttrans):alias(L=laplace,IL=invlaplace,u=Heaviside): Sen jälkeen
voidaan komentaa tyyliin > L(sin(t),t,s);IL(%,s,t);plot(u(t)-u(t-1),t=-1..1);

Osamurtokehitelmät

Rationaalifunktioita käänteismuunnettaessa tarvitaan usein osamurtokehitelmiä.

Olk. F (s) = \frac{P (s)}{Q(s)} , missä deg(P) < deg(Q) ja yhteiset tekijät on supistettu.

1) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s − a (tarkoittaa, että tekijä ei esiinny korkeammassa potenssissa), otetaan kehitelmään termi

\frac{A}{x − a} .

2) Jos Q(s):llä on yksinkertainen tekijä s^{2} + bx + c, tulee kehitelmään termi

\frac{Bx + C}{x^{2} + bx + c}

3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme r, otetaan termit

\frac{A_{1}}{x − a} + \frac{A_{2}}{(x − a)^{2}} + … + \frac{A_{r}}{(x − a)^{r}}

ja vastaavasti toisessa tapauksessa.

Osamurrot Maple:ssa ja Matlab:ssa convert(lauseke,parfrac,muuttuja)

> 1/((s+1)*(s-1));convert(%,parfrac,s);
Matlab: help residue