\documentclass[finnish,10pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{4}{41}{10--12.10}

Otetaan t�ll� kertaa systeemill� AV=4, LV=7. Harj 1 -- 4 kuuluvat 1. v�likokeen
aihepiiriin.

\subsection*{Alkuviikko}

\begin{enumerate}


\item
Laske kiertomatriisin 
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$

Ominaisarvot ja -vektorit.
Saadaanko mill��n kiertokulman arvoilla reaalisia ja jos, niin mill�?

%Vastaus laskuteht�v��n:
%Ominaisarvot: $\cos(\theta)+i\sin(\theta),\cos(\theta)-
%i\sin(\theta)$
%Ominaisvektorit:
%$[1,-i],[1,i]$

\item
Diagonalisoi matriisi $A$ tai perustele diagonalisoitumattomuus,
kun 

 a) $A=
\left [\begin {array}{cc} 2&-3\\\noalign{\medskip}0&0\end {array}
\right ]$ \quad b) 
$ A= \left [\begin {array}{cc} 2&4\\\noalign{\medskip}-1&-2\end {array}
\right ] $

Tee diagonalisoituvan tapauksen suhteen johtop��t�s, 
ett� ominaisarvot voivat olla erilliset, vaikka
matriisi ei olekaan symmetrinen. Ovatko ominaisvektorit ortogonaaliset?
%Elleiv�t ole, niin voidaanko ne ortogonalisoida?



\item
Ratkaise systeemi $\V{v}'=A \V{v}$, miss�

$A=\left [\begin {array}{cc}           
                            2&10\\      
                            -1&4    
          \end {array}\right ] $
\kohta{a}{alkuehdolla $\V{v(0)}=[1,0]'$}
\kohta{b}{alkuehdolla $\V{v(0)}=[0,1]'$}
\kohta{c}{Piirr� pplane5-piirroksia, katsele niin faasitaso kuin aikakuvaa
(time series)}

\item
Kaksi s\"aili\"ot\"a, $A$ ja $B$ sis\"alt\"a\"a $50 l$ nestett\"a kumpikin. 
Niit\"a yhdist\"a\"a
kaksi putkea siten, ett\"a $A \to B$ virtaa nestett\"a 
nopeudella $4$ l/min ja
$B \to A$ $1$ l/min ja oletetetaan, ett\"a neste sekoittuu heti. 
Puhdasta vett\"a virtaa s\"aili\"o\"on $A$ nopeudella $3$ l/min
ja s\"aili\"ost\"a $B$ poistuu nestett\"a niinik\"a\"an nopeudella $3$ l/min.
Oletetetaan, ett\"a alkuhe
tkell\"a s\"aili\"o $A$ 
sis\"alt\"a\"a $25$ kg suolaa ja
s\"aili\"o $B$ pelkk\"a\"a vett\"a. M\"a\"arit\"a 
suolam\"a\"ar\"at kummassakin s\"aili\"oss\"a
ajan funktiona. 
Hahmottele ratkaisuk\"ayr\"a faasitasossa, eli $(x_1,x_2)$-tasossa, 
pit�m�ll� siis aikaa $t$ k�yr�parametrina.

\vfill\eject

\begin{verbatim}

3 l/min 
__________          __________
-->       |         |         |
__        |_________|         |
 |         4 l/min ->         |
 |        -----------         |
 |        |         |         |
 |    A   |         |    B    |
 |        |---------|         |
 |         <-- 1 l/min        |
 |        |---------|         ----
 |________|         | ____________-> 3 l/min

\end{verbatim}

Miten pitk�n ajan kuluttua suolam��r�t s�ili�iss� ovat yht�suuret?
Piirr� $x_1(t)$ ja $x_2(t)$ aikariippuvuuskuvana (``time series'')
ja faasitasok�yr�n�. (Ilman pplane5:n apua, muuten saat k�ytt�� Matlabia
tai Maplea.)

\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko}


\begin{enumerate}

\item
Laode s. 174, teht. 8
Piirr� t�ss� ja seuraavassa (ja muissakin vastaavissa) 
ratkaisutrajektoriparvia luennolla hahmoteltua
Matlab-skripti� kehitellen.

\item
Laode s. 174, teht. 9

\item
Laode s. 225, teht. 19


\item
Laode s. 234 jokin teht. 4--7 (valitse vapaasi (ja mielenkiintoisesti)).

\item
BdiP s. 390 teht. 29. Lis�ksi voit kokeilla aniaamtiota
tyyliin msvarahtely2.mws (mutta �l� tuhlaa koko ATK-keskuksen CPU-resursseja
({\em Juho!})

\item BdiP s. 389 teht. 26

\item
BdiP s. 397 teht. 9
\end{enumerate}


\subsection*{Matriisin diagonalisointi}

Jos $n\times n$- matriisilla on $n$ LRT ominaisvektoria, niin se on 
diagonalisoituva. Diagonalisointi (jos mahdollista) tarkoittaa 
matriisien $X$, $D$ ja $X^{-1}$
m��ritt�mist� siten, ett� $A=X D X^{-1}$ .

\end{document}

\subsection*{Sis�tulo, ortogonaalisuus, lineaarikuvaus}

Tason $\R^2$ ja avaruuden $\R^3$ sis�tulo (pistetulo, skalaaritulo) yleistet��n
$\R^n$:��n m��rittelem�ll� vektoreille $\textbf{u}=(u_1,\hdots u_n)$ ja
$\textbf{v}=(v_1,\hdots v_n)$
$$(\textbf{u},\textbf{v})=\sum_{k=1}^n u_k v_k$$ 

\textbf{Sis�tulon perusominaisuudet}
$$(\textbf{u},\textbf{v})=(\textbf{v},\textbf{u})$$
$$(\textbf{u},\textbf{u}) \ge 0, =0 \iff \textbf{u}=\textbf{0}$$
$$(c\textbf{u}+d\textbf{v},\textbf{w})=c(\textbf{u},\textbf{w})+
d(\textbf{v},\textbf{w})$$

Pituus eli normi: $||{\textbf{v}}||=\sqrt{(\textbf{v},\textbf{v}})$

Kompleksitapausessa symmetrisyys muuttuu ``konjugaattisymmetrisyydeksi''

\textbf{Ortogonaalisuus}

Jos $(\textbf{u},\textbf{v})=0$, sanotaan: $\textbf{u}$ ja $\textbf{v}$ 
{\em ortogonaaliset}.

Joukko (yksikk�)vektoreita $\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,
\textbf{e}_m
\rbrace$ on {\em ortonormaali} (ON), jos  $(\textbf{e}_i,\textbf{e}_j)=
\delta_{i,j}$, miss� $\delta_{i,j}=1$, kun $i=j$ ja $0$, kun $i\ne j$.

Jos joukko 
$\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,
\textbf{e}_m\rbrace$ on (ON), niin vektorin $\textbf{v}\in \text{sp}
\lbrace\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\hdots,\textbf{e}_m\rbrace$
koordinaattiesitys on helppo muodostaa:

$$\textbf{v}=\sum_{i=1}^m (\textbf{v},\textbf{e}_i)\textbf{e}_i$$

Jos vektorit ovat ortogonaaliset ja $\ne 0$, niin normeerataan (jaetaan 
normillla).

\end{document}
