\documentclass[finnish,12pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v23harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
\include{defs}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{10}{47}{21--23.11}


\subsection*{Alkuviikko}

\begin{enumerate}

\item 
Muodosta sekä sini- että kosinisarjat (``half range expansions'') 
seuraaville funktioille, jotka
on määritelty välillä $[0,L]$ 

a) $f(x)=x^2$, b) $f(x)=x^3$, 
c) $f(x)=sin^2 3x $ (L=$\pi$) .

Piirrä alkup. funktioiden kuvaajat muutaman jakson alueella sekä Fourier-
osasummia. (Valitse sopiva numeerinen arvo L:lle.)
Tee ainakin "edustava osajoukko" tiistaiksi ja mahd. täydennys to.


\item
Johda kompleksisen Fourier-sarjamuodon kertoimien (Eulerin) kaavat
käyttämällä systeemin 
$\lbrace e^{i n\omega t} : n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \rbrace$
ortogonaalisuutta (jonka selvittäminen kuuluu myös asiaan).
Homma sujuu aivan saman mallin mukaan kuin $\sin/\cos$- muodossa, tottakai.


\item
4.6.5 teht. 34 s. 346

\item 
4.5.6 teht. 35  s. 346
Piirrä amplitudi- ja vaihespektrit.

\item 
4.5.6 teht. 36 (d)  s. 346
Piirrä amplitudi- ja vaihespektrit

\item
teht. 39 s. 347. (Tässä puhutaan sähköopin termein, mutta matemaattinen
malli on valmiiksi annettu.)

\end{enumerate}

\subsection*{Loppuviikko}

Tehtävät 1--3 sopivat pareittain tehtäviksi. 2 ja 3 ovat vaihtoehtoisia.
Jokunen lisätehtävä saattaa vielä tulla. AV-tehtävien havainnollistuksia
(kuten taajuusspektrejä) voidaan myös siirtää LV-puolelle.

\begin{enumerate}


\item 
Käy läpi Exa 4.17 ss. 326 -- 328. Tietysti Maplea ja kynä/paperi-yhdistelmää
sopivasti käyttäen. Toinen voisi keskittyä enemmän siirtofunktiotapaan ja
toinen klassiseen sarjayritteeseen.

\item
Määritä tasapainotilaratkaisu ("steady state") värähtelysysteemille
 $m x'' + c x' + kx = r(t)$, missä $m=1, c=0.02, k=25$,
 ja $r(t)=\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
                                      -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi 
\end{cases},\ \ r(t+2\pi)=r(t)$ .

riittää tehdä vaikkapa vain "klassiseen" tyyliin (kuten luennolla).

Tutki lisäksi, miten vasteen amplitudit käyttäytyvät, jos jousivakio pienenee
aina arvoon $k=9$ ja toisaalta, jos jousta jäykistetään arvoon $k=49$ saakka.

\item 
Ratkaise AA-teht\"av\"a $x''+2x=r,\ \ x(0)=x'(0)=0$,miss\"a $r(t)$ on $2\pi$-
jaksoinen neli\"oaalto: $$r(t)=\begin{cases}-1,  0 < t < \pi \\
                                   1, \pi < t < 2\pi \end{cases}.$$
Suorita ratkaisu seuraavilla kahdella eri tavalla:
\kohta{a}{Muodosta herätefunktio vaikkapa 3:n jakson alueella ja
ratkaise yhtälö Laplace-muunnoksella. Saat käyttää \maple-funktiota
{\tt dsolve(...,method=laplace);}.

      }

\kohta{b}{
Kehitä $r(t)$ Fourier-sinisarjaksi ja käytä osasummaa $S_7$ 
(eli mukana ovat termit $\sin 7t$-termiin saakka.) oikean herätteen
approksimointiin.
   }

\kohta{c}{
Vertaa molemmilla menetelmillä saamiasi tuloksia, esitä graafisesti
ja katso, miten tarkkuus paranee, kun otat korkeamman asteisia Fourier-
osasummia.
     }
\huom Hyödynnä tietysti ennen mainittua {\tt PeriodicExtender} (alias
 JJ) -funktiota.



\end{enumerate}

\end{document}




\item
s. 476 teht. 27: half and quarter range ext.  Puolen ja nelj\"annesjakson
laajennukset.

Muodosta funktion $f(x)=100, \ \ x\in [0,l]$ puolen jakson sek\"a my\"os 
nelj\"annesjakson sini- ja 
kosinisarjat. Piirr\"a kyseisten jaksollisten laajennusten kuvaajat muutaman
jakson alueelta.

\item
Tee edellist\"a vastaava funktiolle $f(x)=x, \ \ x\in [0,l]$. Piirr\"a kaikki
neljä kuvaajaa, sarjoista tarvitsee muodostaa vain puolen jakson sini ja
nelj\"annesjakson kosini.

\item
teht. 28  s. 477
Jokin kohta: Lasketaan konkreettinen laajennus

\item
s. 482 teht. 3:
Olkoon $f$  $2\pi$-jaksoinen, $f(x)=x$ v\"alill\"a $[-\pi,\pi]$.

a) Piirr\"a $f$:n ja integraalifunktion $F(x)=\int_{-\pi}^x f(t) dt$
kuvaaja.

b) Kehitä $f$ Fourier-sarjaksi, tavoitteena tulos:
$x=2 \sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n-1} }\over{n}}\sin nx, \ \ x\in(-\pi,\pi) $.
%Osoita kehitt\"am\"all\"a t\"am\"a Fourier-sarjaksi, ett\"a
%$$x=2\sum...$$.

Osoita sarjan termeittäistä integrointia koskevan lauseen Gree s. 479 Thm. 2 
avulla, ett\"a mainittu operaatio %sarjan termeitt\"ainen integrointi
on luvallinen ja johda integroimalla sarjaesitys funktiolle $x^2$ v\"alill\"a
$[-\pi,\pi]$.

\item 
Kr 7: s. 594 ch 10.7
Määritä yleinen ratkaisu vaimentamatonta värähtelyä kuvaavalle yhtälölle

$y'' + \omega^2 y = \cos \alpha t + \cos \beta t \ \ (\omega^2\ne \alpha^2,
\beta^2$).


Muodosta funktion $f(x)=x^2,\ \ x\in (-\pi,\pi) $ Fourier-sarja
ja laske sen avulla
sarjojen 

$\sum_{n=1}^\infty {{(-1)^{n}}\over{n^2}}$ ja
$\sum_{n=1}^\infty {{1}\over{n^2}}$

summat. 

Perustele Fourier-sarjojen suppenemislauseen avulla, miksi
suppeneminen tapahtuu ao. arvoja kohti.

Huom! Alkuosan voit halutessasi laskea integroimalla sopivaa, helpommin
laskettavaa 
sarjaa.


\item
Muodosta funktion $f(x)=x^2,\ \ x\in (-\pi,\pi) $ 
Fourier-sarja seuraavasti:

Laske ensin funktion $f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi)$
sinisarja ja sovella siihen termeittäistä integrointia (integroimalla
ao. yht\"al\"o puolittain vaikkapa v\"alill\"a $t=0..x$).
Saat pit\"a\"a tunnettuna summaa:
$\sum_{n=1}^\infty {\frac{1}{n^2}}={\frac{\pi^2}{6}}$


\end{enumerate}


\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{Yleinen tapaus, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}$ \rv
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

\subsubsection*{Puolen jakson laajennukset,$f$ määritelty välillä $(0,L)$}

\paragraph*{Sinisarja}

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
b_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HS_1, HS_2) $$

\paragraph*{Kosinisarja}

$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
a_0={\frac{1}{L}}\int_0^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HC_1 - HC_3) $$

%\subsection*{Integraalikaavoja}

$$\int \!x\sin(px){dx}={\frac {\sin(px)-px\cos(px)}{{p}^{2}}}$$
$$\int \!x\cos(px){dx}={\frac {\cos(px)+px\sin(px)}{{p}^{2}}}$$

\subsection*{Trigonometrian kaavoja}

$\sin(\alpha\pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha\pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\sin ix = i \sinh x, \ \ \cos ix = \cosh x$


%%%%%%%%%%


\item {\bf K 2p}
\kohta{a}{
Muodosta Heavisiden funktion $u(t-a)$ Fourier-sarja välillä $[-L,L]$,
kun $a\in [-L,L]$.
        }
\kohta{b}{
Osoita, että funktioiden $f$ ja $g$ lineaarikombinaation Fourier-
kertoimet ovat vastaavien Fourier-kertoimien lineaarikombiaatioita.
       }
\kohta{c}{
Muodosta a)- ja b)-kohtien avulla funktion 
$$f(x)=\begin{cases}
     1,  x\in [0,1] \vee x\in [2,3] \\
     0,   x\in [1,2] \end{cases}$$
parillisen laajennuksen Fourier-sarja.

       }

\item{\bf K 3p.} %4-5
Tarkastellaan vaimennettua värähtelyä kuvaavaa yhtälöä

$my''+cy'+ky=r(t)$.

Olkoon $m=1, c=0.02, k=25$ ja $$r(t)=
\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
             -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi  \end{cases},\ \ 
r(t+2\pi)=r(t)$$ .

Määritä ``pitkän aikavälin'' (``steady state'') ratkaisu $y(t)$.
(T\"ast\"a on homogeeniosan (ja siten alkuehtojen) vaikutus vaimentunut
pois.)

Periaate: Kehitet\"a\"an $r(t)$ Fourier-sarjaksi. Etsit\"a\"an kutakin sarjan
termi\"a vastaten erityisratkaisua $y_n$ muodossa $y_n=A_n\cos nt+
B_n\sin nt$. Lineaarisuuden perusteella (jos sarjan termeitt\"ain 
derivoiminen
on sallittua) p\"a\"atell\"a\"an, ett\"a $\sum y_n$ on koko yht\"al\"on ratkaisu.

Laske ainakin 5 termi\"a ratkaisusarjasta ja piirr\"a niiden summa sek\"a 
termit erikseen. Jokin niist\"a on dominoiva, identifioi se. Piirr\"a
samaan kuvaan her\"ate $r(t)$ ja "steady state" ratkaisu v\"alill\"a 
$[0,4\pi]$.

Tutki, mitä tapahtuu, jos jousivakiolle annetaan arvo $k=9$ sekä toisaalta
jäykän jousen, vaikkapa $k=49$ tapauksessa. Entä, jos vaimennusta lisätään?

\huom Tässä voit käyttää apuna KRE-kirjan ss. 592--593 esitystä.
Kirjoita \maple-työarkki, jossa teet KRE-esimerkin asiat \maple:n avulla.
Loppukysymykset ovat vasta ``omaa lisäpanostusta''.

\item {\bf K 2p.}
Muodosta $L_2$-approksimaatiot funktioille a) $f(x)=|x|$, b) $f(x)=x$
ja c) $f(x)=x^2$ , kuten AV-teht. 1 (D). Ota ainakin $N=1,2,3,4,5$.
Piirrä kuvat ja pane merkille, miten approksimaation tarkkuus eroaa
jatkuvissa tapauksissa (a, c) verrattuna epäjatkuvaan (b).

\end{enumerate}


\end{document}


















